Calculatrice de dérivées et d'intégrales

Qu'est-ce que cette calculatrice ?

Une calculatrice de dérivées et d'intégrales est un outil de calcul symbolique qui trouve les dérivées (taux de variation) et les intégrales (aire sous la courbe) de fonctions mathématiques. Contrairement aux calculs numériques, elle fournit des solutions exactes et peut afficher chaque étape.

Elle gère un large éventail de fonctions : polynômes, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques et combinaisons. Indispensable pour les étudiants en analyse et les professionnels qui manipulent des modèles mathématiques.

Dérivées

Définition

La dérivée de f(x) représente le taux de variation instantané de la fonction par rapport à sa variable. Elle se définit par :

f'(x) = lim[h�+'0] (f(x+h) - f(x)) / h

Règles de dérivation courantes

• Règle de puissance : d/dx(x�?�) = nA�x�?��?�A1
• Produit : d/dx(fA�g) = f'A�g + fA�g'
• Quotient : d/dx(f/g) = (f'A�g - fA�g') / gA�
• Chaîne : d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))A�g'(x)

Dérivées trigonométriques

• d/dx(sin x) = cos x
• d/dx(cos x) = -sin x
• d/dx(tan x) = secA� x

Dérivées exponentielles & logarithmiques

• d/dx(eE�) = eE�
• d/dx(ln x) = 1/x
• d/dx(aE�) = aE�A�ln a

Intégrales

Définition

L'intégrale de f(x) représente l'aire sous la courbe entre deux bornes. L'intégrale indéfinie (ou primitive) est toute fonction dont la dérivée redonne f(x) :

�^�f(x)dx = F(x) + C, avec F'(x) = f(x)

Règles d'intégration courantes

• Puissances : �^�x�?�dx = x�?��?�A1/(n+1) + C (n �%� -1)
• Somme : �^�(f + g)dx = �^�f dx + �^�g dx
• Constante : �^�kA�f dx = kA��^�f dx

Intégrales trigonométriques

• �^�sin x dx = -cos x + C
• �^�cos x dx = sin x + C
• �^�secA� x dx = tan x + C

Intégrales exponentielles & logarithmiques

• �^�eE� dx = eE� + C
• �^�(1/x) dx = ln|x| + C
• �^�aE� dx = aE�/ln(a) + C

Applications des dérivées et intégrales

Exemples d'utilisation :

• Physique : vitesse et accélération (dérivées), déplacement (intégrales)
• Économie : coûts marginaux et recettes marginales (dérivées), coût total (intégrales)
• Ingénierie : optimisation, analyse des contraintes, traitement du signal
• Biologie : taux de croissance d'une population, modélisation de concentration
• Infographie : interpolation de courbes et animation
• Machine learning : optimisation par descente de gradient
• Statistiques : densités de probabilité et distributions cumulées

Guide de syntaxe

Utilisez cette syntaxe pour saisir vos fonctions :

• Opérations : +, -, *, /, ^ (puissance)
• Fonctions : sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), log(x), sqrt(x), abs(x)
• Constantes : e (nombre d'Euler), pi
• Utilisez des parenthèses pour grouper : (x+1)^2
• Toujours écrire la multiplication : 2*x et non 2x

Conseils d'utilisation

• Toujours écrire le symbole * pour multiplier
• Les parenthèses précisent l'ordre des opérations
• Les fonctions trigonométriques attendent des radians
• Pour vérifier, dérivez le résultat d'une intégrale : vous devez retrouver f(x)
• Toute intégrale indéfinie inclut une constante arbitraire C