Calculatrice de matrices

Qu'est-ce qu'une calculatrice matricielle ?

Il s'agit d'un outil capable d'exécuter diverses opérations sur des matrices (tableaux rectangulaires de nombres disposés en lignes et colonnes). Les matrices sont fondamentales en algèbre linéaire et omniprésentes en physique, ingénierie, graphisme, économie, etc.

Cette calculatrice prend en charge le déterminant, l'inverse, les valeurs propres et vecteurs propres, l'addition, la soustraction, la multiplication, la transposition et plus encore.

Opérations matricielles

Déterminant

Le déterminant est un scalaire calculé à partir d'une matrice carrée. Il indique notamment si la matrice est inversible (déterminant non nul) ou singulière (déterminant nul). On note det(A) ou |A|.

Pour une matrice 2A-2 [[a,b],[c,d]], det(A) = ad - bc.

Inverse d'une matrice

L'inverse de A, notée A�?�A1, est la matrice qui vérifie A A- A�?�A1 = I (matrice identité). Seules les matrices carrées à déterminant non nul sont inversibles. L'inverse est utile pour résoudre des systèmes linéaires.

Si A A- A�?�A1 = I, alors A�?�A1 est l'inverse de A.

Transposée

La transposée s'obtient en échangeant lignes et colonnes. On la note A��? ou A'.

Si A = [[1,2],[3,4]], alors A��? = [[1,3],[2,4]].

Valeurs propres et vecteurs propres

Les valeurs propres I� satisfont Av = I�v avec v vecteur propre non nul. Elles décrivent comment un vecteur propre est dilaté par la transformation associée à la matrice.

Elles interviennent en analyse de données (ACP), mécanique quantique, vibrations, algorithme PageRank, etc.

Addition et soustraction

Deux matrices de mêmes dimensions s'additionnent ou se soustraient élément par élément : (A + B)�曃� = A�曃� + B�曃�.

Multiplication matricielle

Le produit A A- B demande que le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le résultat est obtenu en faisant le produit scalaire entre lignes de A et colonnes de B.

Si A est mA-n et B est nA-p, alors A A- B est mA-p.

Produit par un scalaire

Multiplier une matrice par un scalaire k revient à multiplier chaque élément par k : (kA)�曃� = k A- A�曃�.

Applications des matrices

Les matrices sont utilisées partout :

• Graphisme : transformations, rotations, homothéties
• Physique : mécanique quantique, relativité, propagation d'ondes
• Ingénierie : analyse structurelle, circuits électriques, contrôle
• Économie : modèles input-output, théorie des jeux
• Statistiques : analyses multivariées, régressions
• Machine learning : réseaux de neurones, transformations de données
• Cryptographie : algorithmes de chiffrement/déchiffrement

Conseils d'utilisation

• Vérifiez les dimensions demandées par l'opération
• Pour l'inverse, la matrice doit être carrée et de déterminant non nul
• Les valeurs propres ne se calculent que pour des matrices carrées
• Pour A A- B, le nombre de colonnes de A doit correspondre aux lignes de B
• Utilisez la transposée pour convertir un vecteur ligne en vecteur colonne