Calculez permutations, combinaisons et factorielles avec une arithmétique de précision arbitraire qui gère sans débordement des valeurs à plusieurs milliers de chiffres.
Qu'est-ce que la combinatoire ?
La combinatoire est la branche des mathématiques qui compte les arrangements et les sélections de collections finies. Les trois briques de base — factorielle, permutation, combinaison — répondent ensemble à presque toute question du type « combien de façons ... ? », des compteurs de mains de poker aux probabilités de loterie en passant par les temps d'exécution d'algorithmes et la structure du code génétique. Chacune se calcule à partir des autres via de courtes expressions factorielles, donc une seule calculatrice couvre tout le domaine.
Permutation (nPr)
Une permutation est un arrangement où l'ordre compte. Le nombre de façons ordonnées de choisir r éléments parmi n distincts est nPr = n! / (n − r)!. Autrement dit, vous avez n choix pour la première place, n−1 pour la deuxième, ..., n−r+1 pour la r-ième — un produit de r entiers décroissants partant de n.
nPr = n! / (n - r)!
Exemple : arranger 3 lettres choisies dans {A, B, C, D} donne 4P3 = 4!/1! = 24 triplets ordonnés (ABC, ABD, ACB, ACD, ...). Cas réel courant : combien de façons pour 5 chevaux d'occuper les 3 premières places d'une course ? Réponse : 5P3 = 60.
Combinaison (nCr)
Une combinaison est une sélection où l'ordre ne compte pas. Le nombre de façons de choisir r éléments parmi n est nCr = n! / (r! × (n − r)!). On l'écrit aussi C(n,r) ou « n parmi r » et c'est égal à nPr divisé par r! — le r! retire les réordonnancements des éléments choisis.
nCr = n! / (r! × (n - r)!)
Exemple : choisir 3 lettres dans {A, B, C, D} donne 4C3 = 4 sélections ({A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}). Cas réel : un loto choisissant 6 numéros parmi 49 a C(49,6) = 13 983 816 tickets possibles, donc la chance de gagner le jackpot avec un ticket est d'environ 1 sur 14 millions.
Factorielle (n!)
La factorielle de n est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à n : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n, avec la convention 0! = 1 (le produit vide). Elle compte le nombre d'ordonnancements de n éléments distincts et apparaît comme brique de base de nPr et nCr.
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1
Les factorielles croissent plus vite que tout polynôme ou exponentielle simple. 10! = 3 628 800, 20! = 2 432 902 008 176 640 000 et 70! ≈ 1,2 × 10¹⁰⁰. Au-delà de 170!, les doubles IEEE-754 débordent — cette calculatrice utilise BigInt, donc la valeur exacte est préservée pour toute entrée que vous êtes prêt à attendre.
Applications de la combinatoire
La combinatoire a de larges applications dans de nombreux domaines :
- Probabilités & statistiques : comptages de mains de poker, paradoxe des anniversaires, échantillonnage sans remise
- Informatique : comptage de chemins, complexité d'algorithmes, probabilité de collisions de hachage, codes correcteurs d'erreurs
- Cryptographie : taille de l'espace de clés, robustesse des mots de passe, faisabilité du brute-force
- Théorie des jeux : comptage d'états, analyse de jeu optimal, évaluation d'arbres de décision
- Biologie et chimie : combinaisons génétiques, isomères moléculaires, structures secondaires de l'ARN
- Recherche opérationnelle : planification, routage, conditionnement, tableaux de tournoi
Questions fréquentes
Une seule règle : l'ordre compte-t-il ? Si oui, utilisez une permutation. Sinon, une combinaison. Une permutation compte des arrangements : places 1ʳᵉ/2ᵉ/3ᵉ dans une course, les trois premières lettres d'un mot de passe, l'ordre des discours dans une conférence. Une combinaison compte des sélections : quelles 5 cartes composent votre main au poker, quelles 3 personnes forment un comité, quels 6 numéros gagnent au loto. La relation : nPr = nCr × r! — chaque combinaison de r éléments a r! ordonnancements, et la permutation les compte tous. Exemple : choisir 2 lettres dans {A,B,C,D}. Combinaisons : {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D} = 6. Permutations : aussi AB et BA, AC et CA, ... soit 12. nP2 = 4!/2! = 12 ; nC2 = 4!/(2!·2!) = 6. Notez que 12 = 6 × 2! = 6 × 2. En cas de doute, écrivez à la main un petit exemple pour vérifier si AB et BA comptent comme identiques ou différents dans votre problème.
Parce que choisir quels r éléments inclure est mathématiquement identique à choisir quels n−r éléments laisser de côté. Toute sélection de r éléments spécifie de manière unique un ensemble complémentaire de n−r exclus, et inversement, donc les deux comptes sont égaux. Pour 10 personnes choisissant un comité de 3, C(10,3) = 120. De manière équivalente, vous choisissez les 7 personnes hors comité, et C(10,7) = 120 — même nombre. Cette symétrie apparaît aussi dans la formule : C(n,r) = n!/(r!(n−r)!) est inchangée par l'échange de r et n−r. Conséquence pratique : pour calculer C(100, 97), ne bouclez pas 97 fois — calculez plutôt C(100, 3), même valeur en 3 multiplications. Le triangle de Pascal montre cette symétrie comme le miroir gauche-droite de chaque ligne, et le binôme de Newton (a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n−k) b^k utilise la symétrie pour exprimer toute expansion sous la plus petite des deux formes équivalentes.
Le triangle de Pascal est le tableau des coefficients binomiaux disposé de sorte que chaque ligne n contient C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Ligne 0 : 1 ; ligne 1 : 1 1 ; ligne 2 : 1 2 1 ; ligne 3 : 1 3 3 1 ; etc. Le motif est engendré par la récurrence C(n,k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) — chaque entrée intérieure est la somme des deux au-dessus. Raisonnement combinatoire : pour choisir k éléments parmi n, soit le n-ième est inclus (on choisit alors k−1 parmi les n−1 restants), soit exclu (on choisit alors k parmi les n−1 restants). Le triangle a été étudié indépendamment dans plusieurs cultures — Chine (Yang Hui, 1261), Perse (Al-Karaji, vers 1000), Inde (commentaire d'Halayudha sur Pingala, vers 950) et France (Blaise Pascal, 1654) — et apparaît partout, du binôme de Newton aux fractales (le triangle de Sierpinski est Pascal modulo 2), aux nombres de Catalan et à la suite de Fibonacci (sommes de diagonales peu profondes).
La répétition inverse les formules. Avec répétition autorisée, le nombre d'arrangements ordonnés de r éléments parmi n choix est n^r — pour chacune des r places, vous choisissez indépendamment l'un des n éléments. Exemple : un code PIN à 4 chiffres sur 10 chiffres = 10^4 = 10 000. Le nombre de sélections non ordonnées avec répétition (« multiensembles ») est C(n + r − 1, r) — la formule des « étoiles et barres ». Exemple : distribuer 5 bonbons identiques entre 3 enfants : C(5+3−1, 5) = C(7,5) = 21. Sans répétition, on applique les nPr et nCr standards. Matrice de décision rapide : ordre important + répétition → n^r ; ordre important + sans répétition → nPr ; ordre indifférent + sans répétition → nCr ; ordre indifférent + répétition → C(n+r−1, r). Confondre ces quatre cas est la source la plus fréquente d'erreurs de probabilité en examen et en entretien de programmation.
Dans une pièce de seulement 23 personnes, la probabilité qu'au moins deux partagent un anniversaire dépasse 50 % ; avec 70 personnes, elle dépasse 99,9 %. Cela choque la plupart des gens parce que l'intuition s'attend à 365/2 ≈ 180 personnes. L'astuce : on ne demande pas « quelqu'un partage-t-il mon anniversaire » (ce qui réclamerait ~180 personnes) mais « une paire quelconque de la pièce coïncide-t-elle ? » — et le nombre de paires croît quadratiquement comme C(n,2). Avec 23 personnes, on a 253 paires, chacune avec une probabilité ~1/365 de match, soit environ 253/365 ≈ 69 % — proche de la valeur exacte. Le calcul exact passe par le complémentaire : P(tous distincts) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × (365−n+1)/365, et P(au moins une coïncidence) = 1 − P(tous distincts). Cette même structure combinatoire explique pourquoi des collisions de hachage apparaissent après environ √N hachages sur des hachages de N bits (l'attaque dite des anniversaires en cryptographie), et pourquoi MD5 (128 bits) n'est plus jugé résistant aux collisions à 2^64 ≈ 18 trillions d'échantillons.
La plupart des loteries tirent un petit ensemble de numéros d'un pool plus grand. La chance d'obtenir tous les bons est 1 sur le nombre de tirages possibles, qui est une combinaison parce que l'ordre ne compte pas. Loto 6/49 (Canada, Espagne) : C(49,6) = 13 983 816 — environ 1 sur 14 millions. Powerball (USA) : choisissez 5 sur 69 boules blanches et 1 sur 26 rouges, donc C(69,5) × 26 = 11 238 513 × 26 = 292 201 338 — environ 1 sur 292 millions. EuroMillions : C(50,5) × C(12,2) = 139 838 160. La chance de gagner un quelconque prix est bien meilleure car la plupart des loteries paient des lots moindres pour des correspondances partielles (par ex., 3 numéros sur 6). Pour le Loto 6/49, la chance de trouver exactement 3 numéros sur 6 est C(6,3) × C(43,3) / C(49,6) ≈ 1 sur 57. La raison pour laquelle l'avantage de la maison est si grand n'est pas la cote du jackpot, mais la cagnotte : les loteries typiques redistribuent seulement 50 à 60 % des recettes en gains, le reste allant aux frais, taxes et causes sociales.
C(n, 0) vaut 1 car il y a exactement une façon de ne rien choisir — la sélection vide. C'est intuitif et imposé par la formule : C(n, 0) = n! / (0! × n!) = 1, avec 0! = 1 par convention. C(n, n) vaut 1 car il y a exactement une façon de tout choisir — l'ensemble complet. La formule donne C(n, n) = n! / (n! × 0!) = 1. Ces cas limites comptent pour le binôme de Newton : (1 + x)^n = Σ C(n, k) x^k contient un terme constant (k = 0, coefficient C(n,0) = 1) et un terme de tête (k = n, coefficient C(n,n) = 1). Ils correspondent aussi à la symétrie C(n, k) = C(n, n−k) — choisir 0 à inclure revient au même que choisir les n à exclure. Les deux extrémités de chaque ligne du triangle de Pascal valent 1, et les sommes de ligne valent 2^n car c'est le nombre total de sous-ensembles d'un ensemble à n éléments.
Cette calculatrice utilise BigInt pour une précision arbitraire, donc il n'y a pas de limite fixe — seulement pratique. Le goulot est la multiplication de très grands entiers, que BigInt réalise en environ O((chiffres)^1,58) avec l'algorithme de Karatsuba. Pour les factorielles : 100! a 158 chiffres et se calcule en quelques millisecondes ; 1000! a 2568 chiffres et prend une fraction de seconde ; 100000! a 456 574 chiffres et prend plusieurs secondes ; 1 000 000! a 5 565 709 chiffres et peut prendre une ou deux minutes et plusieurs centaines de Mo de mémoire. Pour les combinaisons et permutations, le résultat est généralement bien plus petit que n! grâce aux annulations de la formule, donc C(1000, 5) = 8,25 × 10¹² est instantané même si 1000! est énorme. Pour les besoins statistiques, l'approximation de Stirling log(n!) ≈ n ln(n) − n + 0,5 ln(2πn) donne le log de toute factorielle en O(1) — utile pour les calculs d'entropie, les log-vraisemblances et les métriques informationnelles où chaque chiffre n'est pas nécessaire.
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