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MathCalculatrice de tangente - tan(x)
Calculez tan(x) et arctan(x) en degrés ou radians. Cercle trigonométrique, tableau des valeurs, pente d'une droite et exemples pas à pas pour élèves et ingénieurs.
Calcul de la tangente
Calculatrice de tangente inverse
Vous avez des commentaires ? Signalez des bugs, suggérez des fonctionnalités ou partagez vos idées — nous lisons toutLa fonction tangente (tan(x))
La fonction tangente, écrite tan(x), est l'une des trois fonctions trigonométriques principales, aux côtés du sinus et du cosinus. Dans un triangle rectangle, tan(θ) vaut le côté opposé à l'angle divisé par le côté adjacent — le TOA du moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA. De manière équivalente, tan(x) = sin(x) / cos(x). Géométriquement, tan(θ) mesure la pente d'une droite passant par l'origine et formant un angle θ avec l'axe des x positifs. Cette double identité — rapport de côtés ET pente d'une droite — explique pourquoi la tangente apparaît en topographie, en conception de rampes, en optique, en traitement du signal et dans la règle de la chaîne du calcul différentiel.
Contrairement au sinus et au cosinus qui restent sagement entre −1 et +1, la tangente part à ±∞ pour certains angles. Ses propriétés essentielles sont :
- Périodicité : tan(x) se répète tous les π radians (180°), pas tous les 2π. Donc tan(x) = tan(x + kπ) pour tout entier k. Cette période plus courte vient directement du fait que sin et cos changent de signe ensemble tous les π.
- Asymptotes verticales : puisque cos(x) = 0 en x = π/2, 3π/2, 5π/2, …, la tangente n'y est pas définie — le graphe file vers ±∞. La fonction ne touche jamais ces asymptotes ; elle s'en approche arbitrairement.
- Symétrie impaire : tan(−x) = −tan(x). La courbe est symétrique par rapport à l'origine, comme le sinus.
- Image non bornée : tan(x) peut prendre toute valeur réelle, de −∞ à +∞. C'est pour cela qu'arctan, qui l'inverse, accepte n'importe quel réel en entrée.
- Graphe : un motif répété de courbes en S séparées par des asymptotes verticales ; chaque branche passe par (kπ, 0) et croît monotonement de −∞ à +∞.
La tangente est largement utilisée dans les domaines où la pente, le gradient ou l'angle d'élévation comptent : génie civil (pente des routes), topographie (hauteur d'objets inaccessibles), informatique graphique (champ de vision de caméra), optique (loi de Snell sous certaines formes) et électrotechnique (déphasage des impédances). En analyse, tan et arctan se mêlent à la règle de la chaîne, aux intégrations par changement trigonométrique et à la fameuse substitution de Weierstrass u = tan(x/2), qui transforme les intégrales rationnelles en sin/cos en intégrales rationnelles ordinaires.
Que sont les Degrés (deg °) et les Radians (rad) ?
Les fonctions trigonométriques acceptent les angles dans deux unités standard : degrés et radians. Les confondre est l'une des principales sources d'erreurs dans les exercices de physique et d'ingénierie, donc cela vaut la peine d'en comprendre la différence.
- Degrés : un tour complet est divisé en 360 parts. Le nombre 360 est historique — il possède pour diviseurs 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … ce qui facilitait les fractions aux astronomes babyloniens vers 2000 av. J.-C.
- Radians : un tour complet vaut 2π ≈ 6,283 radians. Un radian est l'angle sous lequel on voit, depuis le centre d'un cercle, un arc dont la longueur est égale au rayon. Le radian est l'unité naturelle en analyse car d/dx tan(x) = sec²(x) uniquement lorsque x est en radians.
Pour convertir entre les deux unités, utilisez ces formules — elles sont inverses l'une de l'autre :
- Des degrés aux radians : radians = degrés × π180
- Des radians aux degrés : degrés = radians × 180π
Tableau des valeurs courantes de la tangente
| Angle (°) | Angle (Radians) | tan(angle) | tan(angle) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.000 |
| 30° | π/6 | 1/√3 or √3/3 | 0.577 |
| 45° | π/4 | 1 | 1.000 |
| 60° | π/3 | √3 | 1.732 |
| 90° | π/2 | Undefined | - |
| 120° | 2π/3 | -√3 | -1.732 |
| 135° | 3π/4 | -1 | -1.000 |
| 150° | 5π/6 | -1/√3 or -√3/3 | -0.577 |
| 180° | π | 0 | 0.000 |
| 210° | 7π/6 | 1/√3 or √3/3 | 0.577 |
| 225° | 5π/4 | 1 | 1.000 |
| 240° | 4π/3 | √3 | 1.732 |
| 270° | 3π/2 | Undefined | - |
| 300° | 5π/3 | -√3 | -1.732 |
| 315° | 7π/4 | -1 | -1.000 |
| 330° | 11π/6 | -1/√3 or -√3/3 | -0.577 |
| 360° | 2π | 0 | 0.000 |
Notez que tan(90°) et tan(270°) ne sont pas définies, marquées ici par un tiret. Les valeurs réelles explosent vers +∞ d'un côté de ces angles et −∞ de l'autre, selon le sens d'approche. Numériquement, une calculatrice près de 90° renverra des nombres énormes comme 1e15 car cos(89,99999°) est minuscule mais pas exactement zéro.
Questions fréquentes
La tangente est définie comme sin(x) divisé par cos(x). À 90°, sin(90°) = 1 et cos(90°) = 0, donc tan(90°) = 1/0, ce qui est indéfini — division par zéro. Géométriquement, tan(θ) est la pente d'une droite passant par l'origine et faisant un angle θ avec l'axe des x. À 90°, cette droite est verticale, et les droites verticales n'ont pas de pente définie (montée sur zéro avancée). En approchant 90° par en-dessous, tan croît sans limite : tan(89°) ≈ 57, tan(89,9°) ≈ 573, tan(89,99°) ≈ 5 729. En approchant par au-dessus, elle plonge vers −∞ : tan(91°) ≈ −57. Cette rupture est la raison pour laquelle le graphe de tangente possède des asymptotes verticales à chaque multiple impair de π/2 (90°, 270°, 450°, …). Le même problème se produit avec la cotangente aux multiples de π, et avec sécante et cosécante — partout où le dénominateur d'une fonction trig s'annule.
Dessinez un triangle rectangle aux côtés opposé (o) et adjacent (a), et d'hypoténuse h. Par définition, sin(θ) = o/h, cos(θ) = a/h et tan(θ) = o/a. En divisant les deux premières : sin(θ)/cos(θ) = (o/h) / (a/h) = (o/h) · (h/a) = o/a = tan(θ). Donc tan = sin/cos n'est pas une définition séparée ; c'est une conséquence directe de la manière dont les trois fonctions sont construites. Cette identité est la plus utilisée en trigonométrie car elle permet de convertir des problèmes de tangente en problèmes de sinus/cosinus (bornés et bien comportés) et inversement. Elle rend aussi évidentes les asymptotes de la tangente : là où cos s'annule, on divise par zéro. La règle de dérivation tan'(x) = sec²(x) découle aussi de l'application de la règle du quotient à cette identité, combinée à l'identité pythagoricienne sin² + cos² = 1.
Arctan, noté tan⁻¹(x) ou atan(x), prend n'importe quel réel et renvoie un angle. Puisque tan se répète tous les π, arctan doit choisir un intervalle canonique — par convention, (−π/2, +π/2), soit (−90°, +90°). Ainsi arctan(1) = 45°, arctan(−1) = −45°, arctan(très grand nombre) tend vers 90°, et arctan(très négatif) tend vers −90°. Le piège : arctan seul ne distingue pas un point en (1, 1) d'un point en (−1, −1) — tous deux ont une pente de 1 et donnent arctan(1) = 45°, mais ils vivent dans des quadrants différents. C'est pourquoi les langages de programmation fournissent atan2(y, x), qui prend les deux coordonnées et renvoie l'angle complet dans (−π, π], plaçant le point dans son vrai quadrant. Atan2 est la fonction que vous voulez vraiment pour calculer des angles en infographie, robotique et navigation. Ne calculez jamais atan(y/x) quand vous avez x et y séparément ; atan2 est correct dans les quatre quadrants et gère x = 0 sans souci.
Le sinus et le cosinus ont tous deux pour période 2π — ils reviennent à leur valeur de départ après un tour complet. La tangente, au contraire, se répète tous les demi-tours. La raison : tan(x + π) = sin(x + π) / cos(x + π) = (−sin(x)) / (−cos(x)) = sin(x)/cos(x) = tan(x). En tournant de 180°, sin et cos changent tous deux de signe, et les deux négatifs s'annulent dans la fraction. Géométriquement, la droite passant par l'origine d'angle θ est exactement la même que celle d'angle θ + 180° — elles ont la même pente. La pente, c'est ce que mesure la tangente, donc elle ne peut pas distinguer les deux angles et la fonction se répète. Cette période plus courte explique aussi pourquoi arctan a un intervalle de sortie plus étroit qu'arcsin ou arccos.
Pour une droite dans le plan xy, la pente est définie comme la montée sur l'avance : combien y varie pour une variation unitaire de x. Si une droite fait un angle θ avec l'axe des x positifs (mesuré dans le sens trigonométrique), alors pour chaque avance horizontale cos(θ), la droite s'élève de sin(θ). Donc pente = sin(θ)/cos(θ) = tan(θ). Cette identité est le pont entre géométrie et algèbre. Une droite à 45° a une pente tan(45°) = 1, une droite à 30° a une pente tan(30°) = 1/√3 ≈ 0,577, et une droite verticale a une pente tan(90°) indéfinie — concordant avec l'intuition algébrique que les verticales ont une pente infinie. Les ingénieurs civils exploitent cela pour les pentes routières : une pente de 5 % correspond à 0,05, soit un angle arctan(0,05) ≈ 2,86°. Les rampes pour personnes à mobilité réduite doivent en général avoir une pente maximale d'environ 8 % (1:12), soit tan⁻¹(1/12) ≈ 4,76°.
Lors de l'intégration de fonctions rationnelles en sin et cos, les étudiants en analyse apprennent la substitution u = tan(x/2). Elle est magique : elle convertit toute expression rationnelle en sin(x) et cos(x) en une expression rationnelle en u, attaquable ensuite par décomposition en éléments simples. Les trois identités clés sont sin(x) = 2u/(1+u²), cos(x) = (1−u²)/(1+u²) et dx = 2/(1+u²) du. Par exemple, ∫ dx / (1 + cos(x)) devient ∫ 2 du / (1 + (1−u²)/(1+u²)) · 1/(1+u²) = ∫ du = u + C = tan(x/2) + C. Cette technique porte le nom de Karl Weierstrass, analyste allemand du XIXᵉ siècle, bien qu'Euler l'utilisât déjà un siècle plus tôt. C'est l'un des outils les plus puissants du calcul intégral élémentaire et elle vient à bout d'intégrales qui défont toute autre approche.
La tangente a des asymptotes verticales à 90° et 270°, où cos s'annule. Près de ces points, cos est minuscule mais non nul, et diviser par un nombre minuscule donne un résultat énorme. tan(89,9999°) vaut environ 572 957 parce que cos(89,9999°) ≈ 0,00000175. La valeur est mathématiquement correcte, simplement spectaculaire. Il y a aussi un piège numérique : si vous calculez tan comme sin/cos directement en virgule flottante, vous pouvez perdre en précision près de l'asymptote car cos entre dans la zone où les double IEEE-754 ne représentent plus la valeur exacte. Les bibliothèques mathématiques sérieuses (MKL d'Intel, OpenLibm) utilisent des astuces de réduction d'intervalle et des polynômes dédiés pour livrer des résultats correctement arrondis même à des angles extrêmes. En pratique, si vous travaillez à quelques microdegrés de 90°, mieux vaut reformuler le problème en termes de cot(x) = cos(x)/sin(x), qui se comporte bien là.
Topographie : pour mesurer la hauteur d'un bâtiment ou d'une montagne sans y grimper, on mesure l'angle d'élévation θ depuis une distance connue d, et on calcule hauteur = d · tan(θ). Génie civil : les pentes routières et les rampes sont des rapports de tangente. Optique : le champ de vision d'un appareil photo satisfait tan(FOV/2) = (largeur du capteur / 2) / distance focale, ce qui permet de calculer exactement ce qui est dans le cadre. Électrotechnique : dans les circuits à courant alternatif, le déphasage entre tension et courant est arctan(réactance / résistance). Infographie : une matrice de projection en perspective utilise cot(fovy/2) — la cotangente de la moitié du champ de vision — pour mettre correctement les objets à l'échelle. Navigation : le cap entre deux coordonnées GPS s'obtient avec atan2 sur les écarts de longitudes et de latitudes. Astronomie : les mesures de parallaxe stellaire utilisent tan(θ) ≈ θ pour des angles minuscules afin de convertir des déplacements observés en distances en parsecs. Chaque fois que la relation entre un angle et un rapport de deux longueurs compte, la tangente apparaît.
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