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MathCalculatrice de versine - versin(x) et aversin(x)
Calculatrice de versine : versin(x), aversine et la flèche (sagitta) d'un arc pour déduire le rayon de courbure. Pour topographie, rail/route et optique.
Calculatrice d'aversine
Vous avez des commentaires ? Signalez des bugs, suggérez des fonctionnalités ou partagez vos idées — nous lisons toutQu'est-ce que la versine ?
La versine, notée versin(x) ou vers(x), est la « sinus verse » d'un angle. Elle mesure la distance verticale entre le centre du cercle unité et le point d'intersection du rayon formant l'angle x.
Peu connue aujourd'hui, elle était pourtant courante en navigation, astronomie et géométrie sphérique avant l'ère numérique.
Définition :
versin(x) = 1 - cos(x)Propriétés :
- Image : [0, 2], minimum en x = 0, maximum en x = I?.
- Période : 2I?.
- Symétrie : fonction paire (versin(x) = versin(-x)).
- Dérivée : sin(x).
- Intégrale : x - sin(x) + C.
Toujours utile en trigonométrie sphérique, navigation et traitement du signal.
Qu'est-ce que l'aversine ?
L'aversine, ou arcversine, est la fonction inverse de la versine : elle donne l'angle dont la versine vaut y.
Définition :
aversin(y) = arccos(1 - y)Propriétés :
- Domaine : y ∈ [0, 2].
- Image : [0, I?].
- Croissante sur tout le domaine.
- Valeurs : aversin(0) = 0, aversin(1) = I?/2, aversin(2) = I?.
L'aversine reste pertinente en navigation et géodésie pour retrouver un angle à partir de la versine.
Valeurs usuelles de versine
Quelques exemples :
- versin(0A�) = 0
- versin(30A�) = 1 - �^s3/2 �%^ 0,134
- versin(45A�) = 1 - �^s2/2 �%^ 0,293
- versin(60A�) = 0,5
- versin(90A�) = 1
- versin(120A�) = 1,5
- versin(180A�) = 2
Questions Fréquemment Posées
Le sinus verse d'un angle, noté vers(θ) ou versin(θ), est défini par 1 − cos(θ). Géométriquement, sur le cercle unité, le sinus verse représente la petite distance horizontale entre l'extrémité de la corde et le point le plus à droite du cercle pour un arc d'angle θ. Comme cos(θ) varie de −1 à +1, le sinus verse varie de 0 (en θ = 0°) à 2 (en θ = 180°). Pour les petits angles, vers(θ) ≈ θ²/2, ce qui explique pourquoi il apparaît dès qu'on approxime la flèche d'un arc court. Le sinus verse est toujours non négatif, ce qui le distingue du cosinus, et c'est cette propriété que les ingénieurs d'autrefois appréciaient dans les tables de courbure de ponts et de voies ferrées.
Avant les calculatrices électroniques, le cosinus des petits angles était malcommode parce qu'il vaut 1 moins un nombre minuscule — et cette soustraction détruisait la précision dans les tables de logarithmes à 5 chiffres. Le sinus verse contourne ce problème en étant directement ce nombre minuscule, les navigateurs pouvaient donc le lire avec tous ses chiffres significatifs. Les marins utilisaient les tables de sinus verse avec les tables de haversinus pour la formule de distance orthodromique — le plus court chemin entre deux points du globe. Les astronomes l'employaient pour convertir entre ascension droite/déclinaison et distance zénithale. Le sinus verse n'est devenu obsolète qu'avec l'arrivée des calculatrices de poche dans les années 1970, mais survit dans les manuels anciens de navigation et de topographie.
Le haversinus vaut exactement la moitié du sinus verse : hav(θ) = vers(θ)/2 = (1 − cos(θ))/2 = sin²(θ/2). L'identité du demi-angle sin²(θ/2) = (1 − cos(θ))/2 rend le haversinus particulièrement utile : il est toujours entre 0 et 1, ne déborde jamais et ne perd pas de précision près de 0° ou 180°. La distance orthodromique entre deux points de latitude/longitude utilise le haversinus de l'angle central, pas le sinus verse, parce que la formulation haversinus est numériquement stable pour les points antipodaux comme pour les points très proches. Historiquement, les marins munis de tables de sinus verse divisaient simplement la valeur par deux, ou consultaient une table de haversinus imprimée à côté.
Le sinus verse inverse, arcvers(y) ou vers⁻¹(y), retrouve l'angle θ tel que vers(θ) = y. Comme vers(θ) = 1 − cos(θ), il suffit de réarranger : cos(θ) = 1 − y, donc θ = arccos(1 − y). C'est la façon standard de calculer le sinus verse inverse sur une calculatrice moderne. La fonction est définie pour y dans [0, 2] et retourne θ dans [0°, 180°] (ou [0, π] radians). En pratique, le sinus verse inverse apparaît lorsqu'on connaît la flèche d'un arc et qu'on doit en déduire l'angle central — courant en ingénierie routière et ferroviaire où l'on mesure la corde et la flèche mais où le rayon et l'angle doivent être déduits.
Le coversinus, noté cvs(θ) ou coversin(θ), est le sinus verse du complément : cvs(θ) = vers(90° − θ) = 1 − sin(θ). De même, vers(θ) = 1 − cos(θ) utilise le cosinus tandis que le coversinus utilise le sinus. Tous deux sont non négatifs quand leur argument est dans [0°, 180°] et tous deux varient de 0 à 2. Le coversinus apparaît moins souvent que le sinus verse mais relève de la même ère des tables de navigation et des identités de la trigonométrie sphérique. Il existe aussi havercosinus hav(180° − θ) et hacoversinus, tous définis pour éviter la soustraction inconfortable de 1 moins un nombre minuscule. L'ingénierie moderne les emploie rarement, sauf dans des formules héritées.
Dans la conception de courbes horizontales pour routes, voies ferrées et pipelines, le sinus verse mesure l'écart entre le milieu d'une corde et la courbe elle-même — appelé flèche ou sagitta. Si R est le rayon de courbure et 2θ l'angle sous-tendu par une corde, la flèche s = R × vers(θ). Les géomètres parcouraient autrefois la corde avec un cordeau et mesuraient le déplacement perpendiculaire pour déterminer le rayon sans instrument spécialisé : R ≈ corde² / (8 × flèche) pour les petits angles. Cette même identité sert en optique pour la sagitta des miroirs sphériques, en fabrication pour les gabarits d'arc de cercle, et en tir à l'arc pour calculer la hauteur de la poignée.
À partir de cos(θ) = 1 − θ²/2! + θ⁴/4! − θ⁶/6! + ..., en retranchant de 1 on obtient la série de Taylor : vers(θ) = θ²/2! − θ⁴/4! + θ⁶/6! − θ⁸/8! + ..., avec θ en radians. Pour θ petit, vers(θ) ≈ θ²/2 avec une erreur θ⁴/24 ≈ 4 × 10⁻⁵ à θ = 0,1 rad (environ 5,7°). Cette approximation quadratique est à la base de la formule de la petite flèche et de l'approximation parabolique d'un arc de cercle. Pour une précision supérieure sans sommer beaucoup de termes, les ordinateurs évaluent généralement cos(θ) par réduction d'argument puis soustraient de 1 — en acceptant l'erreur de cancellation — ou utilisent des algorithmes dédiés retournant 1 − cos(θ) sans cette soustraction.
Bien que le sinus verse soit rarement nommé aujourd'hui, la fonction 1 − cos(θ) apparaît naturellement dans tout contexte impliquant de l'énergie ou un carré de distance. La fenêtre de Hann en DSP, w(n) = (1 − cos(2π n / N))/2, est littéralement un haversinus mis à l'échelle — un demi sinus verse — et domine l'analyse par trames en audio et le prétraitement FFT. En mécanique, l'énergie d'un pendule à l'angle θ par rapport à la verticale est mgL × vers(θ), c'est pourquoi les pendules à petit angle oscillent quadratiquement. Dans la mise en forme d'impulsions en cosinus surélevé pour les communications numériques, le spectre contient 1 + cos(πf/B), encore un parent du sinus verse. Donc même si les ingénieurs ne disent plus « sinus verse », l'identité 1 − cos reste partout où l'oscillation rencontre l'énergie.
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