Calcul
MathCalculatrice de logarithmes
Calculatrice de logarithme gratuite pour toute base — log₂, log₁₀ (logarithme décimal), ln (logarithme népérien) et bases personnalisées. Changement de base inclus.
Un logarithme se représente mathématiquement ainsi : logba = c
Ce qui signifie que bc = a
Ce qui signifie que bc = a
Calculatrice de changement de base
Vous avez des commentaires ? Signalez des bugs, suggérez des fonctionnalités ou partagez vos idées — nous lisons toutQu'est-ce qu'un logarithme ?
Un logarithme répond à la question « à quelle puissance dois-je élever cette base pour obtenir ce nombre ? ». Si 10³ = 1000, alors log₁₀(1000) = 3 — même fait, deux écritures. Le logarithme est l'inverse exact de l'exponentiation : tout ce qu'on fait en élevant une base à une puissance, le logarithme le défait en extrayant l'exposant. Cette relation inverse rend les logs indispensables pour tout problème impliquant une croissance ou une décroissance exponentielle — intérêts composés, désintégration radioactive, niveaux sonores en décibels, magnitudes sismiques sur l'échelle de Richter, croissance démographique, propagation virale ou temps d'exécution de la recherche dichotomique.
La notation standard log_b(a) = c se lit « le logarithme en base b de a vaut c » et représente trois grandeurs :
logb(a) = c
- [i]b[/i] est la base du logarithme — le nombre qui est multiplié de façon répétée.
- [i]a[/i] est l'argument — le nombre dont on cherche le logarithme.
- [i]c[/i] est le résultat — combien de fois il faut élever la base [i]b[/i] pour obtenir [i]a[/i].
Exemple
Si la base est 10 (logarithme décimal, utilisé en pH, décibels et Richter), alors log₁₀(100) = 2 car [strong]10² = 100[/strong]. On écrit [strong]log₁₀(100) = 2[/strong]. Si la base est e ≈ 2,71828 (logarithme népérien, noté ln), alors ln(e) = 1, ln(e²) = 2, et ainsi de suite — le logarithme népérien est l'inverse de la fonction exponentielle eˣ qui apparaît dans les équations de croissance continue.
Règles de logarithmes
Règle du produit
logb(a × c) = logb(a)+logb(c)
Règle du quotient
logb(
ac
) = logb(a)-logb(c)Règle de puissance
logb(ac) = c × logb(a)
Règle d'échange de base
logb(c) =
1logc(b)
Formule de changement de base
logb(a) =
logc(a)logc(b)
Questions fréquentes
« log » sans indice n'a pas le même sens partout. Dans la plupart des manuels et sur les calculatrices, « log » seul signifie log base 10 (logarithme décimal) ; « ln » désigne spécifiquement le log base e (logarithme népérien, e ≈ 2,71828). En informatique et théorie de l'information, « log » signifie en général log base 2. Dans les articles de mathématiques pures, « log » correspond souvent à log base e (équivalent de ln). Cette calculatrice évite l'ambiguïté en demandant toujours la base de façon explicite — les pastilles sous le champ permettent de choisir log₂, ln (logₑ) ou log₁₀ en un clic. Si vous voyez « log » écrit quelque part sans que le contexte précise la base, supposez la base 10, sauf si le domaine est l'analyse ou les mathématiques avancées.
Le nombre e (≈ 2,71828) est spécial parce que la dérivée de eˣ est eˣ — aucune autre base n'a cette propriété. Cela fait du logarithme népérien le log « ami du calcul » : la dérivée de ln(x) vaut exactement 1/x, alors que celle de log₁₀(x) est le plus laid 1/(x ln 10). Tout processus de croissance continue — intérêts composés en continu, désintégration radioactive, loi de refroidissement de Newton — a une vitesse proportionnelle à la valeur actuelle, et intégrer cette proportionnalité fait toujours apparaître e. La base 10 est plus parlante pour les ordres de grandeur (chaque pas est ×10), mais la base e est le choix naturel quand la mathématique sous-jacente porte sur des changements dans le temps. C'est pour cela que la physique, l'ingénierie et la finance préfèrent ln, tandis que les échelles du quotidien (décibels, pH, Richter) préfèrent log₁₀.
Pour des résultats exacts, on ne peut le faire à la main que lorsque la réponse est un entier — log₁₀(1000) = 3, log₂(64) = 6, log₅(125) = 3 — en reconnaissant que l'argument est une puissance de la base. Pour les cas non entiers (log₁₀(7), log₂(50)), il faut une calculatrice, des tables de logarithmes ou une approximation par série de Taylor. Avant les calculatrices, les scientifiques transportaient des tables de logs à 4 à 7 chiffres (les tables de Briggs de 1624 donnaient 14 décimales) ; la règle à calcul, de 1622 à 1972, était essentiellement une table de logs physique — la multiplication devenait une addition de longueurs. La formule de changement de base log_b(a) = ln(a) / ln(b) est ce qui permet à une calculatrice basique n'ayant que les touches ln et log₁₀ de calculer des logs dans n'importe quelle base.
La formule indique log_b(a) = log_c(a) / log_c(b) pour n'importe quelle nouvelle base c. On en a besoin dès que la situation demande un log en base b alors que votre outil ne calcule qu'en base 10 ou en ln. Exemple : pour trouver log₃(81) sur une calculatrice n'ayant que log et ln, calculez log(81) / log(3) = 1,908 / 0,477 = 4 — et effectivement 3⁴ = 81. C'est aussi ce qui rend la complexité informatique « O(log n) » indépendante de la base : changer de base ne fait que multiplier par une constante, et la notation O() ignore les constantes. Le second formulaire de cette page est dédié à cela — il calcule log_b(a) puis convertit en toute nouvelle base c en un clic.
Les trois mesurent des grandeurs qui couvrent un éventail énorme — l'intensité sonore, du chuchotement au réacteur, couvre 12 ordres de grandeur, l'énergie sismique plus de 10, et le pH 14. Une échelle linéaire rendrait les petites valeurs invisibles à côté des grandes. L'échelle logarithmique compresse la plage — chaque unité correspond à un facteur 10 (ou 2 sur certaines échelles sonores) — et les nombres restent lisibles. En décibels, 60 dB est 1 000 000 de fois plus intense que 0 dB, mais l'écart numérique n'est que de 60. Sur l'échelle de Richter, la magnitude 7 libère environ 32 fois plus d'énergie que la magnitude 6 (Richter en base 10 pour l'amplitude, mais passer de mouvement à énergie ajoute un autre exposant). pH 4 est dix fois plus acide que pH 5 ; pH 3 est cent fois plus acide que pH 5. Si le log fonctionne pour la perception humaine, c'est parce que nos sens (audition, vision, douleur) répondent eux aussi approximativement en logarithmique (loi de Weber-Fechner).
Oui, quand l'argument est compris entre 0 et 1. log₁₀(1) = 0 car 10⁰ = 1 ; log₁₀(0,1) = -1 car 10⁻¹ = 0,1 ; log₁₀(0,001) = -3 car 10⁻³ = 0,001. Le logarithme tend vers moins l'infini quand l'argument tend vers 0 par la droite, c'est pourquoi les courbes de log ont une asymptote verticale en x = 0. Ce qui N'EXISTE PAS : le logarithme de 0 lui-même (aucune puissance d'une base positive ne vaut 0) et le logarithme d'un nombre négatif (aucune puissance réelle d'une base positive ne donne un résultat négatif — les logarithmes complexes, eux, savent le faire). Si vous demandez log(0) ou log(-5) à cette calculatrice, elle renvoie « non défini ». En acoustique, pH et Richter, les valeurs de log négatives sont courantes — elles signifient simplement « plus petit que la valeur de référence ».
Cinq règles couvrent presque toute manipulation algébrique : (1) Produit : log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) — la multiplication à l'intérieur devient une addition à l'extérieur, règle qui a rendu la règle à calcul possible. (2) Quotient : log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). (3) Puissance : log_b(xⁿ) = n × log_b(x) — les exposants sortent en facteur, utile pour résoudre des équations type 2ˣ = 7 (on prend le log des deux côtés, on obtient x = log(7)/log(2)). (4) Échange de base : log_b(c) = 1 / log_c(b). (5) Changement de base : log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), présenté plus haut. Ensemble, elles permettent de simplifier n'importe quelle expression de log en une forme que la calculatrice traite. Ces règles fonctionnent aussi à l'envers — reconnaître qu'une somme de logs peut se combiner en un seul log est souvent ce qui rend un problème abordable.
Deux cas limites importants. log_b(1) = 0 pour toute base b, parce que b⁰ = 1 pour tout b — élever n'importe quoi à la puissance zéro donne 1. log_b(b) = 1 pour toute base b, parce que b¹ = b — élever n'importe quelle base à la puissance un redonne la base. Donc ln(e) = 1, log₁₀(10) = 1, log₂(2) = 1, etc. Cas particuliers : ln(1) = 0 et log₁₀(1) = 0. Ces deux identités (log de 1 vaut zéro, log de la base vaut un) ancrent toute fonction logarithmique et rendent les courbes prévisibles — elles passent toutes par (1, 0) et (b, 1). Quand vous voyez ln(eˣ) = x, c'est juste la règle de puissance combinée à ln(e) = 1 : ln(eˣ) = x × ln(e) = x × 1 = x.
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