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Calculatrice de PGCD

Calculatrice PGCD avec algorithme d'Euclide détaillé et décomposition en facteurs premiers. Trouvez le PGCD, GCD ou HCF et le PPCM pour simplifier fractions et formats d'image.

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Comment calculer le PGCD ?

Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand entier positif qui divise plusieurs nombres sans laisser de reste. Il permet de simplifier des fractions et de résoudre de nombreux problèmes.

PGCD de plusieurs nombres :

  • Calculez d'abord le PGCD des deux premiers nombres
  • Utilisez ce résultat avec le nombre suivant
  • Répétez jusqu'à traiter tous les nombres

PGCD(12, 18, 24) = 6

Méthode par factorisation première :

  • Décomposez chaque nombre en facteurs premiers
  • Identifiez les facteurs communs
  • Multipliez les facteurs communs avec les exposants les plus faibles

48 = 2⁴ × 3

60 = 2² × 3 × 5

PGCD(48, 60) = 2² × 3 = 12

Trouver le PGCD avec l'algorithme d'Euclide :

Le cadre des étapes affiche désormais toute la chaîne des restes d'Euclide, réduisant chaque paire selon a = q × b + r jusqu'à ce que le reste atteigne 0 — la méthode canonique qui fonde aussi les inverses modulaires et la configuration de RSA. Pour deux nombres non nuls, il indique également le PPCM via PPCM = (a × b) / PGCD, pratique pour simplifier les fractions et les formats d'image.

252 = 2 × 105 + 42 ; 105 = 2 × 42 + 21 ; 42 = 2 × 21 + 0 → PGCD(252, 105) = 21

Exemples fréquents de PGCD

NombresPGCD
12, 186
24, 3612
15, 255
8, 12, 164
20, 30, 4010
7, 111
100, 200100

À propos de cette calculatrice de PGCD

Cette calculatrice accepte n'importe quelle liste d'au moins deux entiers positifs — séparés par virgules, espaces ou retours à la ligne — et renvoie leur plus grand commun diviseur avec toute la démarche par l'algorithme d'Euclide. PGCD, GCD et HCF désignent la même quantité : la calculatrice affiche le label PGCD mais le résultat ne change pas selon la terminologie. Le cadre 'Étapes du calcul' imprime à la fois la chaîne des restes d'Euclide et la décomposition en facteurs premiers, ce qui sert à la fois pour une réponse rapide et pour la révision.

Questions fréquentes

Le PGCD de deux entiers a et b est le plus grand entier positif qui divise à la fois a et b sans reste. Exemple : PGCD(12, 18) = 6 car 6 divise 12 (12 ÷ 6 = 2) et 18 (18 ÷ 6 = 3) exactement, et aucun entier plus grand ne le fait. Le PGCD ne dépasse jamais le plus petit des nombres, et il l'égale uniquement lorsque ce plus petit divise déjà l'autre (PGCD(6, 18) = 6).

Remplacez la paire (a, b) par (b, a mod b), où 'a mod b' est le reste. Répétez jusqu'à ce que le reste soit 0 ; le diviseur de l'étape précédente est le PGCD. Exemple pour PGCD(48, 60) : 60 mod 48 = 12 ; 48 mod 12 = 0 ; donc PGCD = 12. L'algorithme s'exécute en O(log min(a, b)) étapes et reste la méthode pratique la plus rapide — la calculatrice l'utilise par défaut.

Décomposez chaque nombre en facteurs premiers ; pour chaque facteur premier apparaissant dans TOUTES les décompositions, prenez la plus petite puissance et multipliez. Exemple PGCD(48, 60) : 48 = 2⁴·3, 60 = 2²·3·5. Les facteurs communs sont 2 et 3 ; leurs plus petites puissances sont 2² et 3¹. PGCD = 2² × 3 = 12. Le cadre 'Étapes du calcul' affiche ces décompositions à côté du tracé d'Euclide.

PGCD(12, 18) = 6. PGCD(24, 36) = 12. PGCD(48, 60) = 12. Le tableau de référence au bas de la page liste d'autres couples usuels — PGCD(8, 12) = 4, PGCD(15, 25) = 5, PGCD(9, 12, 15) = 3 — pour vérifier la calculatrice ou les exercices du manuel.

Pour rendre une fraction irréductible, divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Pour 48/60 : PGCD(48, 60) = 12, donc 48/60 = (48 ÷ 12)/(60 ÷ 12) = 4/5. Diviser par un diviseur commun plus petit simplifierait la fraction mais laisserait encore une étape à faire ; diviser par le PGCD donne directement la forme irréductible.

Oui — ces trois noms désignent la même quantité : le plus grand entier positif divisant deux nombres ou plus sans reste. Les manuels français disent 'PGCD' (Plus Grand Commun Diviseur) ; les manuels américains disent 'GCF' (Greatest Common Factor) ou 'GCD' (Greatest Common Divisor) ; les manuels britanniques et indiens disent 'HCF' (Highest Common Factor). La calculatrice renvoie le même résultat quel que soit le vocabulaire.

Oui — deux entiers sont dits 'premiers entre eux' lorsque leur PGCD vaut 1. Ils ne partagent aucun facteur premier. Exemples : PGCD(8, 9) = 1, PGCD(15, 16) = 1, PGCD(35, 99) = 1. Cette propriété est centrale en théorie des nombres et en cryptographie : la génération des clés RSA, par exemple, exige un exposant premier avec la fonction indicatrice d'Euler du module.

Carrelage : pour couvrir un rectangle 24 m × 36 m avec les plus grands carreaux carrés possibles sans en couper, leur côté doit valoir PGCD(24, 36) = 12 m. Musique : deux motifs rythmiques de 8 et 12 temps se rejoignent toutes les PGCD(8, 12) = 4 pulsations. Cuisine : répartir 18 cookies et 24 brownies en parts identiques donne PGCD(18, 24) = 6 parts. L'allocation de bande passante, les rapports d'engrenages et l'arbre de Stern–Brocot reposent aussi sur le PGCD.
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Calculatrice de PGCD
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