Calcul
MathCalculatrice de sinus
Calculez sin(x) et arcsin(x) en degrés ou radians. Cercle trigonométrique, tableau des valeurs, loi des sinus et exemples pas à pas pour élèves et ingénieurs.
Calcul du sinus
Calculatrice de sinus inverse
Vous avez des commentaires ? Signalez des bugs, suggérez des fonctionnalités ou partagez vos idées — nous lisons toutLa fonction sinus ( sin(x) )
La fonction sinus, écrite sin(x), est l'une des trois fonctions trigonométriques principales. Dans un triangle rectangle, sin(θ) est égal au rapport entre le côté opposé à l'angle θ et l'hypoténuse — c'est le célèbre SOH du moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA. Au-delà des triangles, le sinus est la coordonnée y d'un point obtenu en faisant tourner un point d'un angle x autour de l'origine sur le cercle trigonométrique, ce qui explique sa périodicité. Le sinus apparaît partout : courant alternatif, ondes sonores, lumière, marées océaniques, pendules, oscillateurs harmoniques en mécanique quantique et analyse de Fourier des signaux.
La valeur de sin(x) est toujours comprise entre −1 et +1, et son graphique trace une onde régulière. Les propriétés essentielles à retenir sont :
- Périodicité : sin(x) se répète tous les 2π radians (360°), donc sin(x) = sin(x + 2kπ) pour tout entier k. C'est ce qui rend la fonction idéale pour modéliser les phénomènes cycliques.
- Symétrie impaire : sin(−x) = −sin(x). La courbe est symétrique par rapport à l'origine, contrairement au cosinus qui se reflète sur l'axe y.
- Image bornée : −1 ≤ sin(x) ≤ 1 pour tout réel x. C'est pourquoi on l'utilise pour modéliser des ondes dont l'amplitude ne diverge pas.
Sur le cercle trigonométrique (rayon 1, centré à l'origine), si l'on tourne le point (1, 0) d'un angle x dans le sens trigonométrique, la coordonnée y du nouveau point est sin(x) et la coordonnée x est cos(x). Cette définition géométrique étend le sinus à tous les nombres réels — positifs, négatifs ou absurdement grands — et constitue la base du calcul effectué par les calculatrices.
Que sont les Degrés (deg °) et les Radians (rad) ?
Les fonctions trigonométriques acceptent les angles dans deux unités standard : degrés et radians. Les confondre est l'une des principales sources d'erreurs dans les exercices de physique et d'ingénierie, donc cela vaut la peine d'en comprendre la différence.
- Degrés : un tour complet est divisé en 360 parts. Le nombre 360 est historique — il possède pour diviseurs 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … ce qui facilitait les fractions aux astronomes babyloniens vers 2000 av. J.-C.
- Radians : un tour complet vaut 2π ≈ 6,283 radians. Un radian est l'angle sous lequel on voit, depuis le centre d'un cercle, un arc dont la longueur est égale au rayon. Le radian est l'unité naturelle en analyse car d/dx sin(x) = cos(x) uniquement lorsque x est en radians.
Pour convertir entre les deux unités, utilisez ces formules — elles sont inverses l'une de l'autre :
- Des degrés aux radians : radians = degrés × π180
- Des radians aux degrés : degrés = radians × 180π
Tableau des valeurs courantes du sinus
| Angle (°) | Angle (Radians) | sin(angle) | sin(angle) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.00 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 0.50 |
| 45° | π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 90° | π/2 | 1 | 1.00 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | 0.50 |
| 180° | π | 0 | 0.00 |
| 210° | 7π/6 | -1/2 | -0.50 |
| 225° | 5π/4 | -√2/2 | -0.7071 |
| 240° | 4π/3 | -√3/2 | -0.8660 |
| 270° | 3π/2 | -1 | -1.00 |
| 300° | 5π/3 | -√3/2 | -0.8660 |
| 315° | 7π/4 | -√2/2 | -0.7071 |
| 330° | 11π/6 | -1/2 | -0.50 |
| 360° | 2π | 0 | 0.00 |
Questions fréquentes
Dessinez un triangle équilatéral de côté 2, dont les trois angles valent 60°. Coupez-le en deux par une droite descendant d'un sommet : on obtient deux triangles rectangles identiques, chacun avec un angle de 30° au sommet, 60° en bas à gauche et 90° là où la coupe rencontre la base. L'hypoténuse vaut toujours 2 (le côté d'origine), et le côté opposé à l'angle de 30° vaut exactement la moitié de la base, soit 1. Par la définition SOH, sin(30°) = opposé ÷ hypoténuse = 1 ÷ 2 = 1/2. Ce même triangle donne cos(30°) = √3/2 (par Pythagore sur le côté restant) et tan(30°) = 1/√3. Ce ne sont pas des approximations — ce sont des valeurs exactes rationnelles et irrationnelles que les élèves doivent mémoriser, et qui reviennent sans cesse dans les problèmes de physique sur plans inclinés et tirs paraboliques à 30° ou 60°.
sin(x) prend un angle et renvoie un rapport entre −1 et 1. sin⁻¹(x), aussi noté arcsin(x) ou asin(x), prend un rapport dans [−1, 1] et renvoie un angle. Ce sont des opérations inverses, donc sin(arcsin(0,5)) = 0,5 et arcsin(sin(30°)) = 30°. La subtilité, c'est que le sinus n'est pas injectif — sin(30°), sin(150°), sin(390°) valent tous 0,5 — donc arcsin doit choisir une réponse canonique. Par convention, il renvoie l'angle dans [−90°, +90°] (ou [−π/2, +π/2] en radians). C'est pourquoi cette calculatrice affiche deux résultats d'arcsin : la valeur principale et l'angle supplémentaire 180° − principal, qui ont le même sinus. Avertissement de notation : sin⁻¹(x) NE signifie PAS 1/sin(x) ; l'inverse multiplicatif est csc(x), la cosécante. Confondre les deux est une erreur classique qui coûte cher en examen.
Mathématiquement sin(π) = 0 exactement, mais π lui-même ne peut pas être stocké exactement par un ordinateur — c'est un irrationnel à décimales infinies, et la double précision IEEE-754 ne garde que les 15 à 17 premiers chiffres significatifs. Donc quand vous tapez π, la calculatrice utilise réellement 3,141592653589793, légèrement inférieur au vrai π. Le sinus d'un nombre légèrement inférieur à π est un petit nombre positif (la série de Taylor donne environ π − 3,141592653589793 ≈ 1,22e−16). À retenir : tout résultat avec un exposant e−15 ou e−16 doit être considéré comme zéro, simplement arrondi par les limites de l'arithmétique binaire. Les bibliothèques numériques sérieuses gèrent cela avec une réduction d'argument haute précision (algorithme de Payne–Hanek), mais le problème de fond est fondamental : la plupart des réels ne sont pas représentables en binaire.
Utilisez les degrés en géométrie, topographie, navigation, usinage, menuiserie ou dans tout contexte où des humains parlent à des humains d'angles — « tourne le volant de 45 degrés » est intuitif. Utilisez les radians en analyse, physique et programmation. La règle d/dx sin(x) = cos(x) n'est valable qu'en radians ; en degrés la dérivée devient (π/180)·cos(x), peu élégante. De même, la série de Taylor sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − … ne converge vers la bonne valeur que si x est en radians. La plupart des langages de programmation (math.sin de Python, Math.sin de JavaScript, sin du C) attendent des radians par défaut, c'est pourquoi tracer sin(45) en Python donne 0,851 au lieu de 0,707 — vous avez oublié la conversion. En cas de doute, convertissez avec degrés × π/180.
La loi des sinus affirme que dans tout triangle (pas seulement rectangle), le rapport de chaque côté au sinus de l'angle opposé est constant : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, où R est le rayon du cercle circonscrit. Utilisez-la lorsque vous connaissez deux angles et un côté (AAS ou ASA) ou deux côtés et un angle non compris (CCA, le cas ambigu). C'est l'outil principal pour résoudre les triangles non rectangles en topographie : on peut mesurer deux angles depuis une ligne de base vers un arbre lointain et calculer la distance. Le cas CCA est qualifié d'« ambigu » car une même paire de côtés et un angle peuvent parfois décrire deux triangles différents — par exemple, deux côtés 5 et 7 avec un angle opposé de 30° peuvent se fermer en un triangle de 38° ou de 142°. Vérifiez toujours avec la loi des cosinus si vous soupçonnez le cas ambigu.
La définition du sinus par triangle rectangle ne fonctionne que pour les angles entre 0° et 90° — un triangle ne peut pas contenir un angle de 200°. La définition par le cercle trigonométrique règle ce problème. Tracez un cercle de rayon 1 centré à l'origine. Pour tout angle θ (positif dans le sens direct depuis l'axe des x positifs, négatif dans le sens indirect), le point du cercle à cet angle a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Pour θ = 270°, le point est (0, −1), donc sin(270°) = −1. Pour θ = −90°, le point est aussi (0, −1), donc sin(−90°) = −1. Pour θ = 720° (deux tours), on revient à (1, 0), donc sin(720°) = 0. Le cercle trigonométrique rend le sinus périodique, impair et défini sur tous les réels — des propriétés impossibles à exprimer avec les seuls triangles.
Dans presque tout ce qui oscille. Le courant alternatif domestique est une onde sinusoïdale à 50 Hz (Europe) ou 60 Hz (États-Unis) : tension(t) = 230 · sin(2π · 50 · t) volts. Les notes musicales pures sont des sinusoïdes — un La 440 Hz est une pression d'air variant comme sin(2π · 440 · t). Les marées sont approximativement la somme d'une sinusoïde de 12,42 h (lunaire) et d'une de 12 h (solaire). L'angle d'un pendule suit un sinus pour de petites oscillations. La lumière, la radio et le Wi-Fi sont des ondes électromagnétiques modélisées par des sinus et cosinus. La transformée de Fourier — utilisée en JPEG, MP3, IRM et reconnaissance vocale — décompose tout signal en somme de sinus et cosinus de fréquences différentes. Quand les ingénieurs disent « traitement du signal », ils veulent essentiellement dire « manipuler des sinusoïdes ».
Les calculatrices ne stockent pas une table géante de valeurs ; elles utilisent une astuce en deux temps. D'abord la réduction d'argument : on prend l'entrée x, on lui retire le plus grand multiple de 2π pour rester dans [0, 2π], puis on exploite les symétries (sin(π − x) = sin(x), sin(−x) = −sin(x), sin(π/2 − x) = cos(x)) pour replier l'angle dans [0, π/4]. Ensuite l'évaluation : sur ce petit intervalle, la série de Taylor sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + … converge à toute vitesse — six ou sept termes donnent 15 chiffres de précision. Les calculatrices de poche utilisaient historiquement CORDIC (1959, Volder), qui ne nécessite qu'additions, décalages de bits et une table d'arctangentes précalculée — parfait pour un matériel sans multiplieur. Les processeurs modernes ont des multiplieurs rapides, donc ils préfèrent des polynômes d'approximation minimax de Remez. Dans tous les cas, le résultat affiché est précis à environ une demi-unité dans la dernière décimale.
CALCULATRICES MATHéMATIQUES32
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