Calcul
MathSolveur d'équations polynomiales
Solveur d'équations polynomiales en ligne. Toutes racines réelles et complexes des polynômes linéaires, quadratiques, cubiques, quartiques et de degré supérieur.
Vous avez des commentaires ? Signalez des bugs, suggérez des fonctionnalités ou partagez vos idées — nous lisons toutUn solveur qui trouve toutes les racines réelles et complexes d'un polynôme de n'importe quel degré.
Qu'est-ce qu'une équation polynomiale ?
Elle s'écrit sous la forme :
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
où n est un entier positif (le degré) et a₀, a₁, ..., aₙ sont les coefficients avec aₙ ≠ 0.
Comment fonctionne le solveur ?
La calculatrice utilise différentes méthodes numériques :
- Degré 1 : solution directe x = -b/a
- Degré 2 : formule quadratique pour des solutions exactes
- Degré 3 : formule de Cardan ou substitution trigonométrique
- Degré ≥ 4 : algorithmes numériques (Durand-Kerner, Newton-Raphson)
Applications
Les polynômes apparaissent dans de nombreux domaines :
- Physique : équations de mouvement, fonctions d'onde, mécanique quantique
- Ingénierie : traitement du signal, contrôle, analyse structurelle
- Économie : fonctions de coût, optimisation de revenus
- Graphisme : interpolation et ajustement de courbes
- Chimie : calculs d'équilibre, cinétique des réactions
Questions fréquentes
Le degré est la plus haute puissance de x dans le polynôme. Pour 3x² + 5x − 7, le terme le plus haut est 3x², donc le degré vaut 2 (quadratique). Pour 2x⁵ − x + 1, c'est 2x⁵, degré 5 (quintique). Le degré conditionne plusieurs choses : le nombre de racines (toujours exactement n avec multiplicité), le nombre maximal de points de retournement du graphe (au plus n−1), et le comportement à l'infini (pour de grandes |x|, le polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré). Dans ce solveur, on saisit les coefficients par degré décroissant — d'abord celui de xⁿ, puis xⁿ⁻¹, et ainsi de suite jusqu'au terme constant.
Le théorème fondamental de l'algèbre (TFA), démontré par Carl Friedrich Gauss en 1799, énonce que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe. En factorisant les racines une à une, un polynôme de degré n s'écrit toujours comme produit de n facteurs linéaires (x − r₁)(x − r₂)...(x − rₙ), il a donc exactement n racines comptées avec multiplicité. Certaines racines peuvent être répétées (x² − 2x + 1 = (x−1)² a la racine 1 de multiplicité 2), et les racines complexes d'un polynôme à coefficients réels viennent toujours par paires conjuguées (si 2+3i est racine, alors 2−3i l'est aussi). C'est pourquoi un polynôme à coefficients réels et de degré impair a toujours au moins une racine réelle.
Oui, à coefficients réels et de degré pair. L'exemple le plus simple est x² + 1 = 0, dont les racines sont +i et −i — purement imaginaires, aucune réelle. Le motif se généralise : x⁴ + 1 = 0 a quatre racines complexes et aucune réelle, x⁶ + 1 = 0 en a six et aucune réelle. Géométriquement, le graphe du polynôme ne croise jamais l'axe des x. Un polynôme à coefficients réels de degré impair a toujours au moins une racine réelle (le graphe va à +∞ d'un côté et −∞ de l'autre, il croise donc 0 quelque part). C'est pour cela que toute équation cubique a au moins une solution réelle — pratique à savoir pour les problèmes de physique ou d'ingénierie avec des cubiques.
Cardan (pour les cubiques) et Ferrari (pour les quartiques) sont des expressions algébriques fermées qui donnent les racines exactes en fonction des coefficients, comme la formule quadratique. Elles existent mais sont monstrueuses et numériquement instables — Cardan peut produire des valeurs intermédiaires complexes même quand toutes les racines finales sont réelles (le fameux casus irreducibilis), obligeant à des astuces trigonométriques pour récupérer des nombres sensés. Pour le degré 5 et plus, le théorème d'Abel-Ruffini (1824) démontre qu'il n'existe aucune formule générale par radicaux. Les solveurs modernes utilisent donc des méthodes numériques itératives — Newton-Raphson, Durand-Kerner, Bairstow — qui convergent vers les racines avec une précision arbitraire en temps fini. Compromis : les méthodes numériques donnent des décimales précises mais pas de formes symboliques. Pour du symbolique, passez par un CAS comme Wolfram ou Maxima.
Durand-Kerner (alias Weierstrass) est une méthode itérative qui approche simultanément les n racines d'un polynôme, plutôt qu'une par une. Elle part de n estimations distinctes réparties dans le plan complexe (généralement sur un cercle dont le rayon est borné par les coefficients via la borne de Cauchy) et met à jour chaque estimation par r_i ← r_i − p(r_i) / ∏(r_i − r_j) pour j ≠ i. Convergence quadratique près des racines — le nombre de chiffres corrects double quasiment à chaque itération — et, contrairement à Newton-Raphson, elle trouve toutes les racines en parallèle sans avoir à dégonfler le polynôme après chaque racine trouvée. C'est la routine standard de la plupart des solveurs en production, dont roots() de MATLAB, roots de NumPy et cet outil.
Erreur d'arrondi en virgule flottante. Un polynôme comme x² − 4x + 4 = (x−2)² devrait donner la racine double x = 2, mais un solveur numérique peut calculer x = 2,0000000001 + 0,0000000003i — cette partie imaginaire minuscule est du bruit d'arrondi, pas une vraie composante complexe. Le solveur applique un seuil (typiquement 1e-10 relatif à la magnitude des coefficients) et arrondit ces parties imaginaires quasi nulles à zéro avant affichage. Si vous voyez « 0,000000001 + 0,000000001i », considérez que c'est zéro. Pour des racines exactes, il faudrait un système d'algèbre symbolique en arithmétique exacte, mais les réponses en virgule flottante ici sont exactes à 12-14 décimales près, largement suffisant pour de l'ingénierie ou de la physique.
Alors le polynôme est en réalité de degré inférieur à celui saisi. Si vous définissez un polynôme de degré 3 comme 0x³ + 2x² − x + 1 = 0, le 0 initial signifie que c'est en fait la quadratique 2x² − x + 1 = 0, pas une cubique. Le solveur détecte ce cas et refuse de résoudre, en affichant une erreur — parce que résoudre « degré 3 avec coefficient dominant 0 » est ambigu (certaines bibliothèques traitent comme polynôme de degré inférieur, d'autres comme indéfini). Retirez le 0 initial et réduisez le degré jusqu'au terme le plus haut réellement non nul.
En principe oui, avec des réserves. Durand-Kerner converge pour n'importe quel degré et les ordinateurs modernes traitent un polynôme de degré 100 en quelques millisecondes. Le souci pratique est le conditionnement numérique : les polynômes de haut degré avec racines proches ou multiples deviennent extrêmement sensibles à l'arrondi des coefficients — le polynôme de Wilkinson (degré 20 avec racines 1, 2, ..., 20) est l'exemple pédagogique classique : un changement de 10⁻⁹ sur un coefficient déplace plusieurs racines de plus de 1,0. Au-delà du degré 50 avec coefficients sensibles, vous pouvez voir des erreurs importantes même si l'algorithme converge. Si vous avez réellement besoin de ce niveau pour du travail sérieux, basculez sur une méthode dédiée — valeurs propres de matrice compagnon ou recherche de racines symbolique en arithmétique exacte. Pour un usage courant (ingénierie, devoir, physique jusqu'à degré 10 environ), ce solveur suffit largement.
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