Calculatrice ln - Logarithme népérien

Qu'est-ce que le logarithme naturel ?

Le logarithme naturel est l'inverse de la fonction exponentielle de base e (nombre d'Euler ≈ 2,718281828459). On le note ln(x) ou log_e(x).

Pour tout x >0, ln(x) représente la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x : si y = ln(x), alors e^y = x.

Propriétés essentielles :

• Inverse de l'exponentielle : e^ln(x) = x et ln(e^x) = x.
• ln(1) = 0 car e^0 = 1.
• ln(e) = 1 car e^1 = e.
• Produit : ln(xy) = ln(x) + ln(y).
• Quotient : ln(x/y) = ln(x) - ln(y).
• Puissance : ln(x^a) = a A- ln(x).
• Croissance continue : décrit les processus de croissance/décroissance continue comme les intérêts composés.

Le logarithme naturel intervient largement en calcul différentiel et intégral, notamment dans les équations différentielles modélisant des phénomènes comme la croissance d'une population ou la désintégration radioactive.

Pourquoi « naturel » ?

Le terme « naturel » provient du fait que ce logarithme s'appuie sur la constante e, qui apparaît spontanément dans de nombreux phénomènes mathématiques et physiques.

• Base e : ce nombre surgit dans les études de croissance exponentielle, de variations continues et dans des résultats fondamentaux de l'analyse.
• Croissance/décroissance : de nombreux processus naturels se décrivent avec des exponentielles de base e, et ln est leur inverse.
• Calcul différentiel : la dérivée de ln(x) est 1/x, ce qui simplifie les calculs.
• Intégration : l'intégrale de 1/x mène naturellement au logarithme.
• Modélisation : dans la probabilité, l'information ou la thermodynamique, ln simplifie de nombreuses formules.
• Simplicité : il apporte élégance et compacité aux expressions théoriques.

Bien que le nom puisse paraître abstrait, il reflète l'omniprésence de e et la capacité du logarithme naturel à décrire des phénomènes « naturels ».

Tableau de valeurs usuelles de ln(x)