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Solveur d'équations quadratiques

Résolvez ax² + bx + c = 0 pas à pas : racines réelles ou complexes, discriminant Δ, sommet, relations de Viète et forme factorisée. Fractions exactes.

Coefficients pour ax² + bx + c = 0
x2 +
x +
= 0
Analyse des racines
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Comment résoudre une équation quadratique ?

Une équation quadratique est un polynôme de degré 2 en x :

ax2 + bx + c = 0

Les solutions se trouvent grâce à la formule quadratique :

x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / (2a)

Le discriminant (Δ = b² - 4ac) indique la nature des racines :

  • Si Δ >0 : deux racines réelles distinctes
  • Si Δ = 0 : une racine réelle double
  • Si Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées

Applications

Les équations quadratiques décrivent tout processus où deux variables sont reliées par un polynôme de degré 2, ce qui les rend omniprésentes en science et en ingénierie. En physique, la hauteur d'un projectile sous gravité constante est y(t) = y₀ + v₀t − ½gt², une quadratique dont la racine positive est l'instant d'impact. En optique et en architecture, la section de tout réflecteur parabolique — du phare de voiture au radiotélescope de 305 m d'Arecibo — est le graphe y = ax². En génie électrique, la fréquence de résonance d'un circuit RLC et l'impédance de charge optimale pour le transfert maximal de puissance se ramènent à résoudre une quadratique en ω ou R. En finance, l'analyse du seuil de rentabilité avec des courbes de coût quadratiques et le rendement à l'échéance d'une obligation à deux flux futurs sont quadratiques en taux d'actualisation. Même les lois de Kepler du mouvement planétaire, la balistique de chaque boulet de canon du XVIIᵉ siècle et la règle de mise à jour des poids d'AdaBoost en apprentissage automatique se ramènent toutes à ax² + bx + c = 0.

À propos de ce solveur d'équations du second degré

Saisissez les trois coefficients a, b, c de l'équation ax² + bx + c = 0 (a doit être non nul) et le solveur renvoie les deux racines, le discriminant Δ avec une étiquette de verdict colorée et un panneau complet « Analyse des racines » : le sommet de la parabole, l'axe de symétrie, les relations de Viète (somme −b/a et produit c/a des racines) et la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂). Toute la démarche figure aussi dans le cadre 'Étapes de résolution'. Les racines réelles sont affichées en décimal arrondi à 10 chiffres significatifs et les complexes sous la forme p ± qi lorsque Δ < 0. Une vraie racine double est détectée à l'aide d'une tolérance d'arrondi : des coefficients saisis en décimaux ou en expressions affichent donc Δ = 0 plutôt que deux racines différant au dernier chiffre. Le calcul s'exécute entièrement dans votre navigateur — aucun aller-retour serveur — et fonctionne donc hors ligne après le premier chargement.

Questions fréquentes

Pour toute équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0, les deux racines valent x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Le signe ± donne les deux solutions : + pour x₁ et − pour x₂. La formule s'obtient en complétant le carré sur la forme générale et constitue le fondement auquel tous les autres procédés (factorisation, méthode graphique) se ramènent. Le solveur applique la formule directement et affiche chaque étape de substitution.

Le discriminant Δ = b² − 4ac est la quantité sous la racine carrée dans la formule, et son signe détermine la nature des racines. Δ > 0 : deux racines réelles distinctes (la parabole coupe l'axe Ox en deux points). Δ = 0 : une racine réelle double (la parabole est tangente à l'axe Ox au sommet). Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées p ± qi (la parabole ne touche pas Ox). Le discriminant est affiché dans un champ propre au-dessus des racines.

Avec a = 1, b = −3, c = 2 : discriminant Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1, donc deux racines réelles distinctes. En appliquant la formule : x = (3 ± √1) / 2 = (3 ± 1) / 2, soit x₁ = 2 et x₂ = 1. C'est l'exemple chargé par défaut dans le solveur — cliquez sur 'Résoudre' pour voir exactement ces étapes s'afficher.

Oui. Quand le discriminant est négatif, le solveur calcule √(−Δ) comme partie imaginaire et affiche les racines sous la forme p ± qi, avec p = −b/(2a) et q = √(−Δ)/(2|a|). Par exemple x² + x + 1 = 0 a Δ = 1 − 4 = −3, donc x = (−1 ± √3·i)/2 = −0,5 ± 0,866…·i. La magnitude imaginaire q est toujours affichée positive, de sorte que les deux conjuguées sont correctement étiquetées même lorsque a est négatif.

Non. Si a = 0 l'équation devient linéaire (bx + c = 0), avec l'unique solution x = −c/b (lorsque b ≠ 0). Le solveur exige a ≠ 0 et vous prévient sinon. Pour une équation linéaire utilisez un solveur du premier degré — la formule quadratique a 2a au dénominateur, donc a = 0 conduirait à une division par zéro.

Si x₁ et x₂ sont les deux racines de ax² + bx + c = 0, l'équation se factorise en a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Les relations x₁ + x₂ = −b/a et x₁·x₂ = c/a (relations de Viète) découlent directement de ce produit. Factoriser et utiliser la formule donnent toujours les mêmes racines : la factorisation est plus rapide quand a, b, c sont des petits entiers, la formule fonctionne toujours.

Le sommet est sur l'axe de symétrie x = −b/(2a). En substituant ce x on obtient l'ordonnée du sommet : y = c − b²/(4a) = −Δ/(4a). Pour y = x² − 3x + 2, le sommet est en (1,5 ; −0,25). Le sommet est le minimum de la parabole si a > 0, et son maximum si a < 0 — utile pour les problèmes d'optimisation cherchant la plus petite ou plus grande valeur du trinôme. Tout cela apparaît dans le panneau « Analyse des racines » sous les racines, étiqueté minimum ou maximum selon le signe de a.

Cliquez sur « Résoudre » et lisez le panneau « Analyse des racines » sous les racines. Il affiche le sommet (x, y) étiqueté minimum (a > 0) ou maximum (a < 0) — exactement le résultat attendu pour les problèmes d'optimisation comme la flèche minimale d'une poutre, le transfert maximal de puissance ou le seuil de rentabilité/profit maximal — ainsi que l'axe de symétrie x = −b/(2a), la somme (−b/a) et le produit (c/a) des racines selon Viète comme vérifications rapides, et la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂). Pour une racine double, la factorisation se réduit à a(x − r)², et pour des racines complexes elle s'écrit a((x − p)² + q²).

Mouvement d'un projectile : la hauteur en fonction du temps est quadratique, donc savoir quand un objet lancé retombe revient à résoudre une équation quadratique. Géométrie : l'aire d'un rectangle dont les côtés diffèrent d'une quantité fixe mène à une quadratique. Finance : les problèmes 'trouver le taux' avec intérêts composés et les modèles de seuil de rentabilité se ramènent à des quadratiques. Ingénierie : flèche d'une poutre, réflecteurs paraboliques, antennes et résonance d'un circuit RLC s'appuient sur des relations quadratiques.
Solveur d'équations quadratiques — Résolvez ax² + bx + c = 0 pas à pas : racines réelles ou complexes, discriminant Δ, sommet, relations de Viète et forme
Solveur d'équations quadratiques
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