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Resolvedor de Equação Quadrática

Resolva ax² + bx + c = 0 passo a passo: raízes reais ou complexas, discriminante Δ, vértice, relações de Girard e forma fatorada. Frações exatas.

Digite os coeficientes para ax² + bx + c = 0
x2 +
x +
= 0
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Como Resolver Equações Quadráticas?

Uma equação quadrática é uma equação polinomial de segundo grau em uma única variável x com a forma:

ax2 + bx + c = 0

As soluções (raízes) da equação podem ser encontradas usando a fórmula quadrática:

x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / (2a)

O discriminante (Δ = b² - 4ac) determina a natureza das raízes:

  • Se Δ >0: Duas raízes reais distintas
  • Se Δ = 0: Uma raiz real repetida (duas raízes iguais)
  • Se Δ < 0: Duas raízes complexas conjugadas

Aplicações de Equações Quadráticas

Equações quadráticas descrevem qualquer processo em que duas variáveis se relacionam por um polinômio de grau 2, o que as torna onipresentes em ciência e engenharia. Na física, a altura de um projétil sob gravidade constante é y(t) = y₀ + v₀t − ½gt², uma quadrática cuja raiz positiva é o instante do impacto. Em óptica e arquitetura, a seção de qualquer refletor parabólico — do farol de carro ao radiotelescópio de 305 m de Arecibo — é o gráfico y = ax². Na engenharia elétrica, a frequência de ressonância de um circuito RLC e a impedância de carga ótima para máxima transferência de potência se reduzem a resolver uma quadrática em ω ou R. Em finanças, a análise de ponto de equilíbrio com curvas de custo quadráticas e o rendimento até o vencimento de um título com dois fluxos futuros são quadráticos na taxa de desconto. Até as leis de Kepler do movimento planetário, a balística de cada bala de canhão do século XVII e a regra de atualização de pesos do AdaBoost moderno em aprendizado de máquina voltam todas para ax² + bx + c = 0.

Sobre este resolvedor de equação quadrática

Informe os três coeficientes a, b, c da equação ax² + bx + c = 0 (com a diferente de zero) e o resolvedor devolve as duas raízes, o discriminante Δ, o vértice da parábola e a resolução completa na caixa 'Etapas da solução'. Raízes racionais aparecem exatas (por exemplo x = 1/2 ou x = −3), as irracionais em decimal arredondado a 10 algarismos significativos, e as complexas no formato p ± qi quando Δ < 0. A implementação evita os problemas numéricos da fórmula clássica: quando |b| é grande comparado a |ac|, calcular ingenuamente (−b ± √Δ)/(2a) cancela algarismos significativos em uma das raízes, então o resolvedor usa a variante numericamente estável x = 2c / (−b ∓ √Δ) para a raiz menor. Todo o cálculo roda no seu navegador — sem chamadas ao servidor — então funciona até offline depois que a página carrega.

Perguntas Frequentes

Para qualquer equação ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0, as duas raízes são x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). O sinal ± gera as duas soluções: com + obtém-se x₁ e com − obtém-se x₂. A fórmula é deduzida completando quadrados na forma geral e é o fundamento ao qual todos os outros métodos (fatoração, gráfico) acabam se reduzindo. O resolvedor aplica a fórmula diretamente e imprime cada substituição.

O discriminante Δ = b² − 4ac é a parte sob a raiz quadrada da fórmula, e o sinal dele decide o tipo de raízes. Δ > 0: duas raízes reais distintas (a parábola corta o eixo X em dois pontos). Δ = 0: uma raiz real dupla (a parábola toca o eixo X no vértice). Δ < 0: duas raízes complexas conjugadas p ± qi (a parábola não toca o eixo X). O discriminante aparece em um campo próprio acima das raízes para você ler sem olhar o gráfico.

Com a = 1, b = −3, c = 2: discriminante Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1, logo duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula: x = (3 ± √1) / 2 = (3 ± 1) / 2, dando x₁ = 2 e x₂ = 1. Esse é o exemplo padrão da calculadora — clique em 'Resolver' e verá exatamente esses passos aparecer na caixa de solução.

Sim. Quando o discriminante é negativo, o resolvedor calcula √(−Δ) como parte imaginária e imprime as raízes na forma p ± qi, com p = −b/(2a) e q = √(−Δ)/(2a). Por exemplo x² + x + 1 = 0 tem Δ = 1 − 4 = −3, então x = (−1 ± √3·i)/2 = −0,5 ± 0,866…·i. Quando possível, o resultado também aparece em forma simbólica exata.

Não. Se a = 0 a equação vira linear (bx + c = 0), com uma única solução x = −c/b (desde que b ≠ 0). O resolvedor exige a ≠ 0 e avisa caso contrário. Para equações lineares use um resolvedor linear — a fórmula quadrática tem 2a no denominador, então a = 0 levaria a divisão por zero.

Se x₁ e x₂ são as raízes de ax² + bx + c = 0, a equação fatora como a(x − x₁)(x − x₂) = 0. As relações x₁ + x₂ = −b/a e x₁·x₂ = c/a (relações de Girard) saem direto desse produto. Fatorar e aplicar a fórmula dão sempre as mesmas raízes; fatorar costuma ser mais rápido com a, b, c inteiros pequenos, mas a fórmula funciona sempre.

O vértice está sobre o eixo de simetria x = −b/(2a). Substituindo esse x obtém-se a ordenada do vértice: y = c − b²/(4a) = −Δ/(4a). Para y = x² − 3x + 2 o vértice fica em (1,5; −0,25). O vértice é o mínimo da parábola quando a > 0 e o máximo quando a < 0 — útil em problemas de otimização que buscam o menor ou maior valor possível do trinômio.

Lançamento de projéteis: altura em função do tempo é quadrática, então saber quando a bola toca o chão é resolver uma equação quadrática. Geometria: a área de um retângulo cujos lados diferem por uma quantia fixa leva a uma quadrática. Finanças: problemas de 'achar a taxa' com juros compostos e modelos de ponto de equilíbrio se reduzem a quadráticas. Engenharia: deflexão de vigas, refletores parabólicos, antenas e ressonância de circuitos RLC dependem de relações quadráticas.
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