Công cụ Tính toán Tính toánCông cụ Toán học Toán học

Giải Phương Trình Bậc 2

Giải ax² + bx + c = 0 chi tiết: nghiệm thực hoặc phức, biệt thức Δ, đỉnh, định lý Viète và dạng phân tích nhân tử. Hiển thị phân số chính xác.

Nhập hệ số cho ax² + bx + c = 0
x2 +
x +
= 0
clearXóaselectChọncopySao chép

Làm thế nào để giải phương trình bậc 2?

Phương trình bậc hai là một phương trình đa thức bậc hai theo biến x có dạng:

ax2 + bx + c = 0

Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng công thức nghiệm:

x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / (2a)

Biệt thức (Δ = b² - 4ac) xác định tính chất của nghiệm:

  • Nếu Δ >0: Hai nghiệm thực phân biệt
  • Nếu Δ = 0: Một nghiệm kép (hai nghiệm bằng nhau)
  • Nếu Δ < 0: Hai nghiệm phức liên hợp

Ứng dụng của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai mô tả mọi quá trình mà hai biến liên hệ qua một đa thức bậc 2, nên chúng có mặt khắp mọi nơi trong khoa học và kỹ thuật. Trong vật lý, độ cao của vật bị ném dưới trọng lực không đổi là y(t) = y₀ + v₀t − ½gt², một phương trình bậc hai mà nghiệm dương chính là thời điểm chạm đất. Trong quang học và kiến trúc, mặt cắt của mọi gương parabol — từ đèn pha ô tô tới chảo radar 305 m của đài Arecibo — đều là đồ thị y = ax². Trong kỹ thuật điện, tần số cộng hưởng của mạch RLC và trở kháng tải tối ưu để truyền công suất cực đại đều quy về giải một phương trình bậc 2 theo ω hoặc R. Trong tài chính, phân tích điểm hoà vốn với đường cong chi phí bậc hai và lợi suất đến đáo hạn của trái phiếu hai dòng tiền tương lai cũng là bậc hai theo lãi suất chiết khấu. Ngay cả định luật Kepler về chuyển động hành tinh, đường đạn của mọi viên đại bác thế kỷ 17, và quy tắc cập nhật trọng số của thuật toán AdaBoost trong học máy hiện đại đều quy về ax² + bx + c = 0.

Về máy giải phương trình bậc 2 này

Nhập ba hệ số a, b, c của phương trình ax² + bx + c = 0 (a phải khác 0) và máy sẽ trả về hai nghiệm, biệt thức Δ, đỉnh parabol và toàn bộ lời giải in trong khung 'Các bước giải'. Nghiệm hữu tỉ in đúng giá trị (ví dụ x = 1/2 hay x = −3), nghiệm vô tỉ in số thập phân làm tròn 10 chữ số có nghĩa, nghiệm phức hiển thị dạng p ± qi khi Δ < 0. Máy xử lý cả vấn đề số học của công thức cổ điển: khi |b| lớn hơn nhiều so với |ac|, việc tính trực tiếp (−b ± √Δ)/(2a) sẽ làm mất chữ số có nghĩa ở một nghiệm, nên máy dùng dạng ổn định x = 2c / (−b ∓ √Δ) cho nghiệm nhỏ. Toàn bộ tính toán chạy trong trình duyệt — không cần gọi máy chủ — nên dùng được offline sau khi tải trang lần đầu.

Câu hỏi thường gặp

Với mọi phương trình ax² + bx + c = 0 và a ≠ 0, hai nghiệm là x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Dấu ± tạo ra hai nghiệm: dấu + cho x₁, dấu − cho x₂. Công thức được suy ra bằng cách 'hoàn thành bình phương' từ dạng tổng quát và là nền tảng mà mọi phương pháp khác (phân tích nhân tử, đồ thị) cuối cùng đều quy về. Máy áp dụng công thức trực tiếp và in từng bước thay số.

Biệt thức Δ = b² − 4ac là phần dưới dấu căn trong công thức nghiệm, và dấu của nó quyết định loại nghiệm. Δ > 0: hai nghiệm thực phân biệt (parabol cắt trục Ox tại hai điểm). Δ = 0: một nghiệm kép (parabol tiếp xúc với trục Ox tại đỉnh). Δ < 0: hai nghiệm phức liên hợp dạng p ± qi (parabol không cắt trục Ox). Máy hiển thị Δ trong một ô riêng phía trên hai nghiệm để bạn đọc nhanh.

Với a = 1, b = −3, c = 2: biệt thức Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1, nên hai nghiệm thực phân biệt. Áp dụng công thức: x = (3 ± √1) / 2 = (3 ± 1) / 2, được x₁ = 2 và x₂ = 1. Đây cũng là ví dụ mặc định trong máy — nhấn 'Giải' là thấy đúng các bước trên hiện ra trong khung lời giải.

Có. Khi Δ < 0, máy tính √(−Δ) như phần ảo và in nghiệm dưới dạng p ± qi, trong đó p = −b/(2a) và q = √(−Δ)/(2a). Ví dụ x² + x + 1 = 0 có Δ = 1 − 4 = −3, nên x = (−1 ± √3·i)/2 = −0,5 ± 0,866…·i. Khi có thể, máy còn hiển thị dạng ký hiệu chính xác bên cạnh giá trị số.

Không. Nếu a = 0 thì phương trình trở thành bậc nhất (bx + c = 0) với một nghiệm duy nhất x = −c/b (giả sử b ≠ 0). Máy yêu cầu a khác 0, sẽ cảnh báo nếu không. Với phương trình bậc nhất hãy dùng máy giải phương trình bậc nhất — công thức nghiệm bậc 2 có 2a ở mẫu, thay a = 0 sẽ chia cho 0.

Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của ax² + bx + c = 0, phương trình phân tích được thành a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Các hệ thức x₁ + x₂ = −b/a và x₁·x₂ = c/a (định lý Viète) suy ra trực tiếp từ tích này. Vì vậy phân tích nhân tử và dùng công thức nghiệm luôn cho cùng kết quả; phân tích nhanh hơn khi a, b, c là số nguyên nhỏ, còn công thức nghiệm thì luôn dùng được.

Đỉnh nằm trên trục đối xứng x = −b/(2a). Thay x đó vào hàm cho hoành độ đỉnh y = c − b²/(4a) = −Δ/(4a). Với y = x² − 3x + 2, đỉnh ở (1,5; −0,25). Khi a > 0 đỉnh là điểm thấp nhất, khi a < 0 là điểm cao nhất — hữu ích cho các bài toán tối ưu tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của tam thức bậc hai.

Chuyển động ném: độ cao theo thời gian là hàm bậc hai, nên việc tìm khi nào quả bóng ném chạm đất là giải một phương trình bậc 2. Hình học: diện tích hình chữ nhật có hai cạnh chênh nhau một đoạn cố định dẫn về phương trình bậc 2. Tài chính: bài toán 'tìm lãi suất' với lãi kép và mô hình hoà vốn quy về bậc 2. Kỹ thuật: võng dầm, gương parabol, ăng-ten parabol và cộng hưởng mạch RLC đều dựa trên quan hệ bậc 2.
Giải Phương Trình Bậc 2 — Giải ax² + bx + c = 0 chi tiết: nghiệm thực hoặc phức, biệt thức Δ, đỉnh, định lý Viète và dạng phân tích nhân tử. Hiển
Giải Phương Trình Bậc 2
Xem thêm
Máy tính toán họcMáY TíNH TOáN HọC32
WuToolsWUTOOLS