Thêm game tại WuGames.ioTài trợKhám phá kho game trình duyệt miễn phí — chơi ngay, không tải, không đăng ký.Chơi ngay
Công cụ Tính toán Tính toánCông cụ Toán học Toán học

Giải Phương Trình Bậc 2

Giải ax² + bx + c = 0 chi tiết: nghiệm thực hoặc phức, biệt thức Δ, đỉnh, định lý Viète và dạng phân tích nhân tử. Hiển thị phân số chính xác.

Nhập hệ số cho ax² + bx + c = 0
x2 +
x +
= 0
Phân tích nghiệm
clearXóaselectChọncopySao chép

Làm thế nào để giải phương trình bậc 2?

Phương trình bậc hai là một phương trình đa thức bậc hai theo biến x có dạng:

ax2 + bx + c = 0

Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng công thức nghiệm:

x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / (2a)

Biệt thức (Δ = b² - 4ac) xác định tính chất của nghiệm:

  • Nếu Δ >0: Hai nghiệm thực phân biệt
  • Nếu Δ = 0: Một nghiệm kép (hai nghiệm bằng nhau)
  • Nếu Δ < 0: Hai nghiệm phức liên hợp

Ứng dụng của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai mô tả mọi quá trình mà hai biến liên hệ qua một đa thức bậc 2, nên chúng có mặt khắp mọi nơi trong khoa học và kỹ thuật. Trong vật lý, độ cao của vật bị ném dưới trọng lực không đổi là y(t) = y₀ + v₀t − ½gt², một phương trình bậc hai mà nghiệm dương chính là thời điểm chạm đất. Trong quang học và kiến trúc, mặt cắt của mọi gương parabol — từ đèn pha ô tô tới chảo radar 305 m của đài Arecibo — đều là đồ thị y = ax². Trong kỹ thuật điện, tần số cộng hưởng của mạch RLC và trở kháng tải tối ưu để truyền công suất cực đại đều quy về giải một phương trình bậc 2 theo ω hoặc R. Trong tài chính, phân tích điểm hoà vốn với đường cong chi phí bậc hai và lợi suất đến đáo hạn của trái phiếu hai dòng tiền tương lai cũng là bậc hai theo lãi suất chiết khấu. Ngay cả định luật Kepler về chuyển động hành tinh, đường đạn của mọi viên đại bác thế kỷ 17, và quy tắc cập nhật trọng số của thuật toán AdaBoost trong học máy hiện đại đều quy về ax² + bx + c = 0.

Về máy giải phương trình bậc 2 này

Nhập ba hệ số a, b, c của phương trình ax² + bx + c = 0 (a phải khác 0) và máy sẽ trả về hai nghiệm, biệt thức Δ kèm nhãn kết luận có màu, cùng bảng 'Phân tích nghiệm' đầy đủ: tọa độ đỉnh parabol, trục đối xứng, định lý Viète (tổng −b/a và tích c/a của hai nghiệm) và dạng phân tích nhân tử a(x − x₁)(x − x₂). Toàn bộ lời giải cũng được in trong khung 'Các bước giải'. Nghiệm thực hiển thị dạng thập phân làm tròn 10 chữ số có nghĩa, nghiệm phức hiển thị dạng p ± qi khi Δ < 0. Nghiệm kép được nhận biết bằng sai số làm tròn, nên hệ số nhập dạng thập phân hay biểu thức vẫn báo Δ = 0 thay vì hai nghiệm lệch nhau ở chữ số cuối. Toàn bộ tính toán chạy trong trình duyệt — không cần gọi máy chủ — nên dùng được offline sau khi tải trang lần đầu.

Câu hỏi thường gặp

Với mọi phương trình ax² + bx + c = 0 và a ≠ 0, hai nghiệm là x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Dấu ± tạo ra hai nghiệm: dấu + cho x₁, dấu − cho x₂. Công thức được suy ra bằng cách 'hoàn thành bình phương' từ dạng tổng quát và là nền tảng mà mọi phương pháp khác (phân tích nhân tử, đồ thị) cuối cùng đều quy về. Máy áp dụng công thức trực tiếp và in từng bước thay số.

Biệt thức Δ = b² − 4ac là phần dưới dấu căn trong công thức nghiệm, và dấu của nó quyết định loại nghiệm. Δ > 0: hai nghiệm thực phân biệt (parabol cắt trục Ox tại hai điểm). Δ = 0: một nghiệm kép (parabol tiếp xúc với trục Ox tại đỉnh). Δ < 0: hai nghiệm phức liên hợp dạng p ± qi (parabol không cắt trục Ox). Máy hiển thị Δ trong một ô riêng phía trên hai nghiệm để bạn đọc nhanh.

Với a = 1, b = −3, c = 2: biệt thức Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1, nên hai nghiệm thực phân biệt. Áp dụng công thức: x = (3 ± √1) / 2 = (3 ± 1) / 2, được x₁ = 2 và x₂ = 1. Đây cũng là ví dụ mặc định trong máy — nhấn 'Giải' là thấy đúng các bước trên hiện ra trong khung lời giải.

Có. Khi Δ < 0, máy tính √(−Δ) như phần ảo và in nghiệm dưới dạng p ± qi, trong đó p = −b/(2a) và q = √(−Δ)/(2|a|). Ví dụ x² + x + 1 = 0 có Δ = 1 − 4 = −3, nên x = (−1 ± √3·i)/2 = −0,5 ± 0,866…·i. Độ lớn phần ảo q luôn hiển thị dương, nên hai nghiệm liên hợp được ghi đúng dấu kể cả khi a âm.

Không. Nếu a = 0 thì phương trình trở thành bậc nhất (bx + c = 0) với một nghiệm duy nhất x = −c/b (giả sử b ≠ 0). Máy yêu cầu a khác 0, sẽ cảnh báo nếu không. Với phương trình bậc nhất hãy dùng máy giải phương trình bậc nhất — công thức nghiệm bậc 2 có 2a ở mẫu, thay a = 0 sẽ chia cho 0.

Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của ax² + bx + c = 0, phương trình phân tích được thành a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Các hệ thức x₁ + x₂ = −b/a và x₁·x₂ = c/a (định lý Viète) suy ra trực tiếp từ tích này. Vì vậy phân tích nhân tử và dùng công thức nghiệm luôn cho cùng kết quả; phân tích nhanh hơn khi a, b, c là số nguyên nhỏ, còn công thức nghiệm thì luôn dùng được.

Đỉnh nằm trên trục đối xứng x = −b/(2a). Thay x đó vào hàm cho tung độ đỉnh y = c − b²/(4a) = −Δ/(4a). Với y = x² − 3x + 2, đỉnh ở (1,5; −0,25). Khi a > 0 đỉnh là điểm thấp nhất, khi a < 0 là điểm cao nhất — hữu ích cho các bài toán tối ưu tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của tam thức bậc hai. Tất cả hiển thị trong bảng 'Phân tích nghiệm' dưới phần nghiệm, ghi rõ nhỏ nhất (a > 0) hay lớn nhất (a < 0).

Nhấn 'Giải' rồi đọc bảng 'Phân tích nghiệm' dưới phần nghiệm. Bảng liệt kê tọa độ đỉnh (x, y) ghi rõ nhỏ nhất (a > 0) hay lớn nhất (a < 0) — chính là kết quả cần cho bài toán tối ưu như cực tiểu võng dầm, truyền công suất cực đại hay điểm hoà vốn/lợi nhuận tối đa — cùng trục đối xứng x = −b/(2a), tổng (−b/a) và tích (c/a) nghiệm theo Viète để kiểm tra nhanh, và dạng phân tích a(x − x₁)(x − x₂). Với nghiệm kép, dạng phân tích thu về a(x − r)², còn nghiệm phức ghi dạng a((x − p)² + q²).

Chuyển động ném: độ cao theo thời gian là hàm bậc hai, nên việc tìm khi nào quả bóng ném chạm đất là giải một phương trình bậc 2. Hình học: diện tích hình chữ nhật có hai cạnh chênh nhau một đoạn cố định dẫn về phương trình bậc 2. Tài chính: bài toán 'tìm lãi suất' với lãi kép và mô hình hoà vốn quy về bậc 2. Kỹ thuật: võng dầm, gương parabol, ăng-ten parabol và cộng hưởng mạch RLC đều dựa trên quan hệ bậc 2.
Giải Phương Trình Bậc 2 — Giải ax² + bx + c = 0 chi tiết: nghiệm thực hoặc phức, biệt thức Δ, đỉnh, định lý Viète và dạng phân tích nhân tử. Hiển
Giải Phương Trình Bậc 2
Xem thêm
Máy tính toán họcMáY TíNH TOáN HọC32
WuToolsWUTOOLS