Tính toán
Toán họcTính căn - tính khai căn
Máy tính căn bậc hai, ba, n. Rút gọn surd, căn phức, phương pháp Babylon, tính vô tỉ của √2.
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cảCách tính Căn?
Tính căn nghĩa là tìm một giá trị mà khi nâng lên một lũy thừa nhất định sẽ cho lại số ban đầu — phép toán nghịch của lũy thừa. Hai trường hợp phổ biến nhất là căn bậc hai (giá trị bình phương cho lại x) và căn bậc ba (giá trị lập phương cho lại x); căn bậc n tổng quát cho mọi lũy thừa nguyên dương. Cả ba được tính bằng đẳng thức số mũ phân số ⁿ√x = x^(1/n), cho phép một thuật toán duy nhất xử lý toàn bộ họ. Bên dưới các dạng cơ bản và công thức, phần FAQ bao quát căn phức của số âm, rút gọn surd như √50 = 5√2, lặp Babylon / Newton để tính thủ công, và vì sao người Pythagoras cổ đại coi tính vô tỉ của √2 là scandal. Bảng tham chiếu ở cuối cho hai mươi căn bậc hai đầu đến ba chữ số thập phân để kiểm tra nhanh.
1. Căn bậc hai:
- Tìm căn bậc hai bằng ký hiệu √ hoặc máy tính. Về mặt hình học, √x là cạnh của hình vuông có diện tích x.
- Tính căn bậc hai thủ công bằng đẳng thức số mũ phân số:
- Với một số x ≥ 0, căn bậc hai chính √x bằng x nâng lên 0,5: √x = x^0,5
- Ví dụ: √16 = 16^0,5 = 4. Với số không phải bình phương hoàn hảo như √50, rút gọn bằng cách trích các bình phương hoàn hảo: √50 = √(25 × 2) = 5√2 ≈ 7,071.
square root = 160.5 = 4
2. Căn bậc ba:
- Tìm căn bậc ba bằng ký hiệu ∛ hoặc máy tính. Về mặt hình học, ∛x là cạnh của hình lập phương có thể tích x.
- Tính căn bậc ba thủ công bằng đẳng thức số mũ phân số:
- Với một số x, căn bậc ba ∛x bằng x nâng lên 1/3: ∛x = x^(1/3)
- Ví dụ: ∛8 = 8^(1/3) = 2. Khác căn bậc hai, căn bậc ba của số âm là số thực: ∛(−8) = −2.
cube root = 3√8 = 8(1/3) = 2
3. Căn bậc n:
- Tính căn bậc n bằng đẳng thức số mũ phân số:
- Với một số x và bậc n, căn bậc n ⁿ√x bằng x nâng lên 1/n: ⁿ√x = x^(1/n)
- Ví dụ: ⁴√16 = 16^(1/4) = 2. Với cơ số âm, kết quả là thực chỉ khi n lẻ; khi n chẵn, kết quả là số phức.
nth root = 4√16 = 16(1/4) = 2
Căn có thể vượt ra khỏi số thực. Căn bậc hai của số âm là ảo: √(−1) = i, vậy √(−9) = 3i. Các căn bậc chẵn (n = 2, 4, 6, ...) của số âm luôn có tính chất này; căn bậc lẻ (n = 3, 5, 7, ...) vẫn là thực. Định lý cơ bản của đại số đảm bảo rằng mỗi số khác 0 có đúng n căn bậc n phân biệt trong mặt phẳng phức — với n = 2 một cơ số dương có hai căn thực (±√x), và các căn phức xuất hiện theo cặp liên hợp với mọi cơ số thực.
Trong thực tế, hầu hết mọi người dùng máy tính hoặc phần mềm cho căn vì chúng không kết thúc và vô tỉ với gần như mọi đầu vào. Ngay cả khi đáp số chính xác (√25 = 5, ∛125 = 5), việc đánh giá dấu phẩy động bên dưới có thể làm tròn ở chữ số cuối, nên hãy xác nhận bằng cách bình phương/lập phương kết quả để so với đầu vào.
Câu hỏi thường gặp
Theo định nghĩa, căn bậc hai chính phải thỏa (√x)² = x. Với x dương điều này hoạt động trực tiếp: √4 = 2, và 2² = 4. Với x = −1, không có số thực nào bình phương bằng −1, vì bình phương bất kỳ số thực nào — dương hay âm — cho kết quả không âm. Các nhà toán học mở rộng hệ số bằng cách định nghĩa i = √(−1), với tính chất i² = −1. Ký hiệu mới này mở khóa các số phức a + bi, tạo thành một trường đóng đại số trong đó mọi đa thức đều có nghiệm. Một khi có i, mọi căn bậc hai đều xác định: √(−9) = √9 × √(−1) = 3i, và phương trình bậc hai với biệt thức âm có nghiệm (công thức −b ± √(b² − 4ac), chia cho 2a, chỉ cho đầu ra phức khi b² − 4ac < 0). Tên gọi lịch sử "ảo" ban đầu mang nghĩa miệt thị, do Descartes đặt năm 1637, nhưng số phức hóa ra không thể thiếu cho kỹ thuật điện xoay chiều, cơ học lượng tử, xử lý tín hiệu, động lực học chất lỏng và hầu như bất cứ thứ gì liên quan đến xoay hay dao động.
Do tính chẵn lẻ của số mũ. (−x)² = x² luôn cho số dương, nên không có số thực nào bình phương bằng số âm — đó là lý do √(−4) nằm ngoài số thực. (−x)³ = −x³, là số âm khi x dương, nên lập phương một số thực âm cho số thực âm — nghĩa là phép nghịch, căn bậc ba của số âm, phải là số thực âm. Cụ thể, ∛(−8) = −2 vì (−2)³ = −8. Quy tắc tổng quát: ⁿ√(−x) là số thực khi và chỉ khi n lẻ. Với n chẵn (n = 2, 4, 6, ...), tất cả n căn bậc n phức của số âm đi theo cặp liên hợp tâm trên trục ảo, không cái nào là thực. Với n lẻ (n = 3, 5, 7, ...), đúng một trong n căn phức là thực và âm; phần còn lại là cặp phức liên hợp. Máy tính này trả về căn thực khi tồn tại (căn thực chính), và báo lỗi hoặc trả về độ lớn phức khi không tồn tại.
Surd là một căn bậc hai (hoặc bậc cao hơn) không thể đánh giá thành số hữu tỉ — √2, √7, ∛5 đều là surd. Rút gọn surd nghĩa là kéo ra mọi thừa số bình phương hoàn hảo (hoặc lũy thừa n hoàn hảo) ra khỏi căn, để lại số nhỏ nhất có thể bên trong. Quy trình cho căn bậc hai: (1) phân tích số dưới căn ra các thừa số nguyên tố; (2) ghép các nguyên tố giống nhau thành cặp; (3) đưa mỗi cặp ra ngoài như một thừa số đơn; (4) giữ các nguyên tố không ghép cặp bên trong. Ví dụ: √72 — phân tích 72 = 2³ × 3² = 4 × 2 × 9 = 36 × 2. Đưa √36 = 6 ra, để lại √2 bên trong. Vậy √72 = 6√2 ≈ 8,485. Khác: √48 = √(16 × 3) = 4√3. Tại sao phải bận tâm? Surd rút gọn dễ kết hợp đại số hơn (2√3 + 5√3 = 7√3, nhưng √12 + √75 trông không liên quan cho đến khi rút gọn thành 2√3 + 5√3), và bảo toàn tính chính xác — 5√2 chính xác, 7,0710678... đã làm tròn. Giải tích, chứng minh hình học và đáp án dạng chính xác trong đại số đều thích surd rút gọn. Cho căn bậc n, ý tưởng tương tự khái quát: kéo lũy thừa n hoàn hảo ra, để phần còn lại bên trong.
Phương pháp Babylon (còn gọi là phương pháp Heron, hoặc Newton-Raphson áp dụng cho f(g) = g² − x) là kỹ thuật tay thực dụng nhất và hội tụ trong vài lần lặp. Thuật toán tìm √x: (1) Đoán g, bất kỳ giá trị khởi đầu dương — ước lượng thô gần √x là đủ. (2) Thay g bằng (g + x/g) / 2 — trung bình của g và x/g. (3) Lặp bước 2 đến khi đáp số ổn định. Ví dụ với √20: bắt đầu g = 4. Lặp 1: (4 + 20/4)/2 = (4 + 5)/2 = 4,5. Lặp 2: (4,5 + 20/4,5)/2 = (4,5 + 4,444)/2 = 4,4722. Lặp 3: (4,4722 + 20/4,4722)/2 = 4,47214. Giá trị thực là 4,47213595... — ba lần lặp cho ta 7 chữ số đúng. Phương pháp Babylon nhân đôi số chữ số đúng mỗi lần lặp (hội tụ bậc hai), đó là lý do nó vẫn được dùng trong các triển khai sqrt dấu phẩy động phần cứng trên hầu hết CPU. Phương pháp có từ các bảng đất sét Babylon khoảng năm 1800 TCN — thuật toán tính toán liên tục được dùng cổ nhất.
Với x thực dương, có — cả ba ký hiệu cho cùng giá trị, căn bậc hai chính (dương). √16 = 16^(1/2) = 16^0,5 = 4. Nhưng tương đương âm thầm gãy với cơ số âm hoặc phức, vì biểu thức x^(1/2) đặt ra câu hỏi mà √x trả lời theo quy ước. Ký hiệu √ cụ thể chỉ căn bậc hai chính: với x dương trả về căn dương (√4 = +2, không phải −2); với x thực âm trả về căn ảo dương (√(−4) = +2i). Ký hiệu x^(1/2) có thể nghĩa một trong hai, và mơ hồ xuất hiện nếu bạn nối nó với quy tắc lũy thừa. Ví dụ, áp dụng (x²)^(1/2) = x chỉ đúng khi x ≥ 0; với x = −3, (−3)² = 9 và √9 = 3, không phải −3. Hầu hết máy tính (gồm cái này) cài x^0,5 như từ đồng nghĩa với √x chính, nhưng nếu bạn làm đại số ký hiệu phải theo dõi quy ước dấu và các căn đa giá trị tiềm năng rõ ràng. Cảnh báo tương tự áp dụng cho số mũ phân số cao hơn và hàm căn bậc n.
Vì nó lật đổ triết học Pythagoras rằng mọi quan hệ trong tự nhiên có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số các số nguyên. Trường phái Pythagoras, khoảng 500 TCN, dạy rằng hình học, âm nhạc và bản thân vũ trụ được xây trên tỉ lệ số nguyên — 2:3 tạo quãng năm âm nhạc, 3:4 quãng tư, v.v. Khi đường chéo của hình vuông đơn vị hóa ra có độ dài √2, họ có thể chứng minh (bằng cái ngày nay gọi là phản chứng) rằng không phân số p/q tối giản nào bằng √2: bất kỳ phân số như vậy sẽ buộc cả p và q đều chẵn, mâu thuẫn với giả thiết tối giản. Truyền thuyết kể người phát hiện, Hippasus xứ Metapontum, hoặc bị dìm chết ngoài biển hoặc bị trục xuất vì tiết lộ scandal này — dù câu chuyện có thể đã được phóng đại. Hậu quả sâu hơn là người Hy Lạp phải phát triển lý thuyết "đại lượng" (công trình sau này của Eudoxus) tách khỏi số, sự phân tách kéo dài đến thế kỷ 19, khi Dedekind và Cantor cuối cùng xây dựng số thực một cách chặt chẽ. Ngày nay mọi chứng minh ở trường phổ thông về tính vô tỉ của √2 về cơ bản dùng cùng lập luận Pythagoras.
Mọi số phức khác 0 có đúng n căn bậc n phân biệt, phân bố đều quanh gốc với gia số góc 2π/n. Với n = 2 (căn bậc hai), có hai căn khác dấu — √4 có căn +2 và −2. Với n = 3 (căn bậc ba), ba căn — một thực và hai liên hợp phức với cơ số dương; một thực và hai liên hợp phức với cơ số âm. Căn bậc n chính, theo quy ước, là giá trị duy nhất có argument (góc) dương nhỏ nhất trong mặt phẳng phức: với x thực dương, căn bậc n chính là căn thực dương; với x thực âm và n lẻ, là căn thực âm; với x thực âm và n chẵn, nằm trên trục ảo dương (hoặc tương tự gần nhất). Máy tính này trả về căn thực chính khi tồn tại; cho các căn chỉ phức (cơ số âm với n chẵn), hành vi tùy n: với n = 2 có thể trả về căn ảo, và với n chẵn cao hơn bạn có thể cần công cụ số phức. Bộ đầy đủ n căn được tìm bằng cách nhân căn chính với căn n đơn vị, e^(2πki/n) cho k = 0, 1, ..., n−1.
Căn bậc hai xuất hiện liên tục trong vật lý, kỹ thuật, thống kê và khoa học máy tính. Khoảng cách Pythagoras (√(x² + y²)) là nền tảng của mọi thứ từ định vị GPS đến vật lý game đến chuẩn gradient mạng neural. Độ lệch chuẩn trong thống kê là √(phương sai) — căn bậc hai kéo đơn vị về lại đại lượng gốc. Nghiệm công thức bậc hai, chu kỳ con lắc (T = 2π√(L/g)), sắp xếp năng lượng động học thành vận tốc (v = √(2E/m)), tổng trở mạch AC, RMS (căn quân phương) trong âm thanh, và định luật nghịch đảo bình phương của trọng lực và điện từ đều liên quan căn bậc hai. Căn bậc ba xuất hiện trong tỉ lệ thể tích: nếu bạn nhân ba kích thước tuyến tính của một vật 3D, thể tích nhân 27, vậy để nhân thể tích lên N bạn cần tỉ lệ tuyến tính ∛N. Số Mach trong siêu thanh, chu kỳ cơ học quỹ đạo (định luật thứ ba Kepler liên quan a^(3/2)), và tỉ lệ trộn bê tông đều dùng căn bậc ba. Căn bậc n cao hơn xuất hiện trong quy đổi lãi kép thành lãi hàng năm, momen quán tính, và hệ số Lorentz tương đối tính 1/√(1 − v²/c²) có √ ở trung tâm. Gần như không lĩnh vực định lượng nào thoát khỏi căn.
Bảng căn bậc hai
| Number (x) | Square Root (√n) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1.414 |
| 3 | 1.732 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2.236 |
| 6 | 2.449 |
| 7 | 2.646 |
| 8 | 2.828 |
| 9 | 3 |
| 10 | 3.162 |
| 11 | 3.317 |
| 12 | 3.464 |
| 13 | 3.606 |
| 14 | 3.742 |
| 15 | 3.873 |
| 16 | 4 |
| 17 | 4.123 |
| 18 | 4.243 |
| 19 | 4.359 |
| 20 | 4.472 |
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS