Máy tính Phân số

Phép nhân đơn giản hơn nhiều: nhân tử số với nhau và mẫu số với nhau. 2/3 x 4/5 = (2 x 4) / (3 x 5) = 8/15 — không cần mẫu chung. Về mặt hình học, đây là lấy một phân số của phân số khác: 2/3 của 4/5 của một đơn vị. Kết quả thường nhỏ hơn cả hai đầu vào vì bạn lấy một phần của một phần. Sai lầm phổ biến là cũng "tìm mẫu chung" cho phép nhân, dẫn đến đáp án sai. Mẹo: rút gọn các thừa số chung giữa tử và mẫu trước khi nhân. Với 4/9 x 3/8, rút gọn 4 và 8 (thành 1 và 2), rút gọn 3 và 9 (thành 1 và 3): kết quả 1/6.

Chia cho một phân số bằng nhân với nghịch đảo của nó: a/b chia c/d = a/b x d/c. Vậy 3/4 chia 2/5 = 3/4 x 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Cách lật nghịch đảo hoạt động vì chia cho c/d hỏi "có bao nhiêu nhóm c/d vừa?", và đảo d/c đếm các nhóm đó trực tiếp. Cẩn thận với hỗn số: chuyển 1 1/2 thành 3/2 trước, rồi lật. Quy tắc thất bại với 0: không thể chia cho 0/gì cả vì nghịch đảo gì/0 không xác định. Máy tính phát hiện chia cho không và trả về lỗi. Mẫu hình lật-và-nhân này mở rộng cho phân số đại số và biểu thức hữu tỉ phức tạp.

Hỗn số sang không thật: nhân phần nguyên với mẫu, cộng tử, giữ mẫu. 2 3/4 = (2 x 4 + 3) / 4 = 11/4. Không thật sang hỗn số: chia tử cho mẫu; thương là phần nguyên, dư là tử mới, mẫu giữ nguyên. 17/5 = 3 dư 2 = 3 2/5. Hỗn số thân thiện hơn cho đo đạc hằng ngày ("2 và 3/4 cốc") trong khi phân số không thật dễ tính hơn. Máy tính chấp nhận cả hai dạng — gõ "2 3/4" với khoảng trắng, hoặc "11/4" — và cho phép chọn kiểu xuất. Cho công việc đại số, luôn làm việc ở dạng không thật để tránh lỗi dấu với hỗn số âm.

Chia tử và mẫu cho ƯCLN của chúng. Với 84/126, ƯCLN là 42, nên 84/126 = 2/3. Bạn cũng có thể bóc các thừa số chung từng cái: 84/126 = 42/63 (chia 2) = 14/21 (chia 3) = 2/3 (chia 7). Cách nào cũng đạt cùng kết quả tối giản, vì một khi ƯCLN = 1 không còn rút gọn được. Phân số tối giản là dạng chuẩn duy nhất, vì vậy các kỳ thi chuẩn yêu cầu đáp án tối giản. Máy tính tự rút gọn bằng thuật toán Euclid và hiển thị cả dạng gốc lẫn dạng rút gọn để bạn kiểm tra.

Ba dạng này giống hệt nhau về mặt toán học vì dấu âm có thể đặt ở tử, mẫu, hoặc phía trước. Theo quy ước, dấu luôn đi với tử khi hiển thị: -2/3 là chuẩn, 2/-3 chấp nhận được nhưng hiếm, và -(2/3) là nhóm hình thức. Máy tính chuẩn hóa kết quả về dạng chuẩn -2/3. Quy tắc dấu theo số học chuẩn: âm chia dương là âm, âm chia âm là dương. Với hỗn số, dấu âm áp dụng cho cả lượng: -2 1/4 có nghĩa -(2 + 1/4) = -9/4, không phải -2 + 1/4 = -7/4. Nhiều lỗi máy tính bắt nguồn từ phân biệt này, nên chúng tôi tính -2 1/4 thành -(2 + 1/4).

Ba phương pháp tin cậy. Một, đưa về mẫu chung: để so sánh 3/4 và 5/7, dùng mẫu 28 — 21/28 vs 20/28, nên 3/4 lớn hơn. Hai, nhân chéo: a/b vs c/d -> so sánh a x d với b x c. Với 3/4 và 5/7: 3 x 7 = 21 vs 4 x 5 = 20, nên 3/4 > 5/7. Ba, đổi sang thập phân: 0.75 vs 0.714, cùng kết luận. Nhân chéo nhanh nhất cho hai phân số nhưng không mở rộng sạch cho nhiều hơn. Để sắp xếp nhiều phân số, đổi sang thập phân hoặc mẫu chung. Cẩn thận với số âm — nhân chéo có thể đảo bất đẳng thức nếu chéo với mẫu âm.

Ứng dụng thực tế là một trong những lý do mạnh mẽ khiến phân số tồn tại. Công thức nấu nhân lên theo phép nhân: gấp đôi 2/3 cốc cho 4/3 = 1 1/3 cốc. Giảm một nửa cho 1/3 cốc. Đo đạc mộc như 5/16" cộng 3/8" cần mẫu chung: 5/16 + 6/16 = 11/16". Đổi imperial-metric: 5/8" x 25.4 mm/inch = 15.875 mm — máy tính xuất cả dạng phân số và thập phân để bạn chọn độ chính xác mà công cụ hỗ trợ. Cùng logic này nằm dưới kích thước tick chứng khoán (trước đây 1/8 đô-la), khẩu độ máy ảnh và tỷ số bánh răng.

Một phân số chỉ cho số thập phân hữu hạn khi mẫu số đã rút gọn không còn thừa số nguyên tố nào ngoài 2 và 5. Vì vậy 3/4 = 0.75 chính xác, nhưng 1/3 = 0.333…, 2/7 = 0.285714… và 5/6 = 0.8333… lặp lại vô hạn. Khi kết quả tuần hoàn, máy làm tròn tới sáu chữ số thập phân và thêm dấu ba chấm (…) để bạn biết giá trị bị cắt bớt chứ không phải chính xác. Cột phần trăm dùng cùng quy tắc (1/3 = 33.3333…%, 3/8 = 37.5%). Phần phân số và các bước luôn giữ chính xác — chỉ thập phân và phần trăm bị làm tròn — nên với công việc đòi hỏi độ chính xác cao (gia công, tài chính, pha liều) hãy giữ dạng phân số và chỉ làm tròn số thập phân ở bước cuối để tránh dồn sai số.