Máy tính lũy thừa tính a^n — một cơ số nâng lên một lũy thừa — cho bất kỳ cơ số thực nào và bất kỳ số mũ thực nào. Cùng một phép tính bao quát các tắt phép nhân số nguyên (2^10 = 1024), chuyển đổi đơn vị trong ký hiệu khoa học (6,022 × 10²³ cho số Avogadro), lãi kép và tăng trưởng liên tục (1,05^30 cho ba mươi năm với lãi 5%), căn nghịch viết dưới dạng số mũ phân số (x^0,5 = √x), và nghịch đảo qua số mũ âm (2^-3 = 1/8). Đầu vào chấp nhận ký hiệu e (2e4 = 20.000; 6e-3 = 0,006) nên bạn có thể dán bất kỳ giá trị nào từ bảng tính, bài báo khoa học hoặc ngôn ngữ lập trình mà không cần định dạng lại. Phần giải thích từng bước hiển thị chính xác cách mỗi quy tắc được áp dụng, hữu ích cho việc kiểm tra bài tập và bắt các lỗi dấu hoặc off-by-one mà câu trả lời chỉ-máy-tính giấu đi.
Số mũ là gì?
Số mũ (còn gọi là lũy thừa hoặc chỉ số) là số nhỏ viết phía trên cho biết phải nhân cơ số với chính nó bao nhiêu lần. Ký hiệu a^n nghĩa là a × a × a × ... × a, phép nhân được thực hiện đúng n lần. Cơ số a là thừa số lặp lại; số mũ n là số lần lặp. Số mũ mở rộng tự nhiên ra ngoài số nguyên dương sang số 0 (a^0 = 1), số âm (a^(-n) = 1 / a^n, nghịch đảo), phân số (a^(1/n) = căn bậc n), và các giá trị vô tỉ và phức — kéo dài đến a^x là một hàm liên tục trơn xác định ở mọi nơi.
Trong biểu thức "a^n", với "a" là cơ số và "n" là số mũ:
- Cơ số (a) là số được nhân với chính nó. Có thể là bất kỳ số thực nào, dương, âm hoặc bằng không.
- Số mũ (n) cho biết cơ số được nhân với chính nó bao nhiêu lần — có thể là số nguyên hoặc không, dương hoặc âm.
Ví dụ:
- Trong 2^3, cơ số là 2 và số mũ là 3. Điều này có nghĩa là 2 × 2 × 2 = 8. Mỗi bước tăng gấp đôi giá trị trước.
- Trong 5^2, cơ số là 5 và số mũ là 2. Điều này có nghĩa là 5 × 5 = 25. Số mũ 2 được gọi là "bình phương" do liên hệ hình học với diện tích hình vuông.
Số mũ là nền tảng của số học, đại số, giải tích, thống kê, khoa học máy tính và vật lý. Chúng xuất hiện khắp nơi, từ lãi kép (1+r)^n đến tính entropy bằng logarit, định luật nghịch đảo bình phương của trọng lực (1/r²), độ phức tạp thuật toán của vòng lặp lồng (O(n²) so với O(n³)), và kích thước dữ liệu số (1 KB = 2^10 byte, 1 MB = 2^20, 1 GB = 2^30).
Quy tắc và luật số mũ:
Quy tắc Tích:
Nhân lũy thừa cùng cơ số: giữ cơ số, cộng số mũ.
a^m × a^n = a^(m + n)
Ví dụ: 2^3 × 2^4 = 2^7 = 128. Kiểm tra nhanh: 8 × 16 = 128, cùng đáp số.
Quy tắc Thương:
Chia lũy thừa cùng cơ số: giữ cơ số, lấy số mũ tử trừ số mũ mẫu.
a^m ÷ a^n = a^(m - n)
Ví dụ: 5^6 ÷ 5^2 = 5^4 = 625. Quy tắc này làm cho quy tắc số mũ 0 nhất quán: a^n ÷ a^n = a^0 = 1.
Quy tắc Lũy thừa của Lũy thừa:
Lũy thừa nâng lên một lũy thừa khác: nhân các số mũ.
(a^m)^n = a^(m × n)
Ví dụ: (3^2)^3 = 3^6 = 729. Số mũ bên trong được áp dụng 3 lần, vậy 2 × 3 = 6 lần nhân 3.
Quy tắc Số mũ Không:
Bất kỳ cơ số khác 0 nào nâng lên lũy thừa 0 đều bằng 1.
a^0 = 1 (với a ≠ 0)
Ví dụ: 7^0 = 1, 1000000^0 = 1, (−4)^0 = 1. Trường hợp 0^0 là một quy ước riêng được thảo luận trong phần FAQ.
Quy tắc Số mũ Âm:
Số mũ âm lật cơ số thành nghịch đảo của nó.
a^(-n) = 1 / a^n
Ví dụ: 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0,125. Dấu âm chỉ hướng (nghịch đảo), không phải phép trừ.
Quy tắc Số mũ 1:
Bất kỳ cơ số nào nâng lên lũy thừa 1 chính là cơ số đó.
a^1 = a
Ví dụ: 10^1 = 10, π^1 = π. Đây là trường hợp tầm thường giúp quy tắc tích mở rộng sạch sẽ sang a^0 × a^1 = a^1.
Sáu quy tắc này là toàn bộ đại số của số mũ. Kết hợp chúng xử lý mọi việc rút gọn liên quan đến số mũ trong toán cơ bản và trung cấp, gồm cả căn (số mũ phân số), ký hiệu khoa học, biến đổi đa thức, mô hình tăng trưởng mũ và suy ra logarit.
Câu hỏi thường gặp
Có ba lập luận độc lập, tất cả đều dẫn đến cùng kết luận. (1) Quy luật: 2^4 = 16, 2^3 = 8, 2^2 = 4, 2^1 = 2 — mỗi bước chia cho 2, vậy 2^0 phải bằng 2/2 = 1, và 2^(-1) phải bằng 1/2. Quy luật chỉ nhất quán khi và chỉ khi 2^0 = 1. (2) Quy tắc thương: a^n / a^n = a^(n−n) = a^0. Nhưng bất kỳ thứ gì chia cho chính nó đều bằng 1, vậy a^0 = 1. (3) Tích rỗng: a^n đếm số lần bạn nhân a với chính nó; a^0 nhân 0 lần, để lại phần tử đơn vị nhân (1). Đây cùng một logic làm 0! = 1 trong giai thừa và tổng rỗng bằng 0. Cả ba dòng lập luận cố định a^0 = 1 cho mọi a khác 0. Trường hợp 0^0 đặc biệt và được thảo luận riêng.
Tùy ngữ cảnh, và đây là một trong những mơ hồ nổi tiếng nhất của toán học. Trong đại số, tổ hợp, toán rời rạc và hầu hết ngữ cảnh khoa học máy tính (bao gồm Python, JavaScript và gần như mọi bảng tính), 0^0 được định nghĩa là 1. Lập luận tích rỗng áp dụng: không có thừa số nào nhân với nhau là phần tử đơn vị 1. Quy ước này cũng giữ các công thức như định lý nhị thức (x + y)^n = Σ C(n,k) x^k y^(n-k) hoạt động tại biên x = 0 hoặc y = 0. Trong giải tích thực và vi tích phân, 0^0 được để là "dạng vô định" vì các giới hạn khác nhau tiến tới 0^0 có thể cho giá trị khác nhau: lim x→0+ của x^x = 1, lim x→0+ của x^0 = 1, lim x→0+ của 0^x = 0. Nhãn vô định là cảnh báo phải áp dụng L'Hôpital hoặc kỹ thuật khác. Cho sử dụng máy tính hàng ngày, 0^0 = 1 là quy ước hữu ích hơn và là cái công cụ này trả về.
Đôi khi có, thường chỉ đi vào số phức. Quy tắc: nếu số mũ phân số rút gọn thành p/q với q lẻ, kết quả là số thực. (−8)^(1/3) = ∛(−8) = −2 là số thực vì căn bậc ba của số âm là số thực âm. (−4)^(1/2) = √(−4) không phải số thực — bằng 2i, một số ảo. Quy tắc tổng quát qua đẳng thức x^(p/q) = (x^p)^(1/q) nghĩa là bạn có thể bình phương trước rồi lấy căn: (−4)^(2/2) = √16 = 4. Nhưng x^(1/2) và x^(2/4) không hoán đổi được khi x âm — chúng cho kết quả khác nhau trong ngữ cảnh khác nhau. Hầu hết máy tính (gồm cả cái này) từ chối cơ số âm với số mũ không nguyên để tránh rò rỉ ngầm sang số phức. Nếu bạn cần cơ số âm với số mũ thực tùy ý, dùng công cụ hỗ trợ rõ ràng đầu ra phức và nhớ rằng kết quả có phân bố đa giá trị.
Không — chúng hoàn toàn khác nhau và sự xung đột trong ký hiệu gây nhầm lẫn thường xuyên. Trong 6.022e23 (và 1.5e-7, 2E10, v.v.) 'e' là viết tắt cho "nhân 10 mũ". Vậy 6.022e23 = 6,022 × 10^23 (số Avogadro, khoảng sáu trăm tỷ nghìn tỷ). Đây gọi là ký hiệu khoa học hay ký hiệu-e, và là cái mà bảng tính, ngôn ngữ lập trình và máy tính bỏ túi dùng để hiển thị số rất lớn hoặc rất nhỏ. Hằng số toán học e ≈ 2,71828, còn gọi là số Euler, là cơ số của logarit tự nhiên và xuất hiện trong lãi kép, xác suất, giải tích và vật lý — là một số vô tỉ cụ thể, không phải một thiết bị ký hiệu. Để tính e Euler lên một lũy thừa, viết exp(x) hoặc e^x rõ ràng; đừng dùng ký hiệu-e khoa học để chỉ e Euler. Máy tính này chấp nhận ký hiệu-e ở trường nhập (2e4 = 20000) nhưng không ngầm dùng e Euler — cái đó nằm trong công cụ mũ tự nhiên riêng.
Lãi kép là tăng trưởng mũ tiêu biểu nhất trong thế giới thực. Nếu bạn đầu tư gốc P với lãi suất hàng năm r, kép n lần mỗi năm, trong t năm, giá trị cuối là A = P × (1 + r/n)^(n×t). Số mũ (n×t) đếm tổng số lần kép, và mỗi lần kép nhân với (1 + r/n). Khi n tăng đến vô cực (kép liên tục), (1 + r/n)^n tiến đến e^r, nên công thức trở thành A = P × e^(r×t). Ví dụ: 1000 USD lãi 5% hàng năm, kép hàng tháng trong 30 năm: A = 1000 × (1 + 0,05/12)^(12 × 30) = 1000 × 1,00417^360 ≈ 4467 USD. Cùng số với kép liên tục: 1000 × e^(0,05 × 30) ≈ 4482 USD — chênh lệch thu hẹp khi tần suất kép tăng. Cùng cấu trúc mũ điều khiển tăng dân số, phân rã phóng xạ (số mũ âm), nuôi cấy vi khuẩn, lan truyền virus và tích lũy tài sản trong tiết kiệm dài hạn.
Thời gian tăng gấp đôi là thời gian một lượng tăng gấp đôi dưới tăng trưởng mũ ổn định. Cho tăng kép tại tỷ lệ r mỗi kỳ, thời gian gấp đôi T thỏa mãn (1+r)^T = 2, vậy T = ln(2) / ln(1+r). Cho r nhỏ (dưới ~20%), điều này xấp xỉ T ≈ 0,693 / r, và Quy tắc 72 còn dễ hơn: T (kỳ) ≈ 72 / (100 × r). Ví dụ: 6% mỗi năm, thời gian gấp đôi ≈ 72 / 6 = 12 năm. Quy tắc 72 dùng được nhẩm vì 72 có nhiều ước (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36) nên phép chia thường ra số tròn. Thời gian giảm một nửa cho phân rã (tăng âm) hoạt động tương tự: tại 6% phân rã mỗi kỳ, chu kỳ bán rã ≈ 72 / 6 = 12 kỳ. Quy tắc 70 và 69,3 là biến thể chính xác hơn — 69,3 chính xác cho kép liên tục vì ln(2) ≈ 0,693. Cho nghiên cứu dân số và tài chính, Quy tắc 72 là một trong những tắt nhẩm toán hữu ích nhất trong tư duy định lượng hàng ngày.
Hầu như luôn có, thứ tự quan trọng, và a^b ≠ b^a. 2^3 = 8 nhưng 3^2 = 9 — chênh 1. 5^7 = 78.125 nhưng 7^5 = 16.807 — chênh 5 lần. Hàm số mũ không giao hoán vì cơ số và số mũ đóng vai trò cấu trúc khác nhau: một được lặp lại, cái kia là số lần lặp. Số ít trường hợp không tầm thường mà a^b = b^a rơi trên một đường cong đại số duy nhất: đặt a = b là họ tầm thường (mọi thứ đều giao hoán với chính nó); cặp nguyên dương duy nhất khác là 2 và 4, ở đó 2^4 = 16 = 4^2. Quỹ tích tổng quát không nguyên được tham số hóa bởi a = (1 + 1/t)^t, b = (1 + 1/t)^(t+1) với t > 0, với cặp nổi tiếng (2,4) là t = 1 và trường hợp giới hạn t → ∞ cho a = b = e. Nếu bạn muốn a^b = b^a ngoài bằng nhau tầm thường, lựa chọn nguyên duy nhất là cặp (2,4) và mọi thứ khác cần nghiệm vô tỉ hay hữu tỉ trên đường cong cụ thể. Gần như luôn giả định a^b ≠ b^a; ngoại lệ là tò mò toán học, không thực tế.
Vì kết quả trên khoảng 10^15 hoặc dưới khoảng 10^-15 vượt độ chính xác mà kiểu Number chuẩn của JavaScript có thể mang. Double IEEE-754 lưu khoảng 15–17 chữ số thập phân đáng kể, nên 2^60 = 1.152.921.504.606.846.976 đã có 19 chữ số và những chữ số cuối là sai. Ký hiệu khoa học 1,1529215046068e18 chỉ hiển thị các chữ số đầu có ý nghĩa và trung thực về giới hạn độ chính xác. Cho kết quả thuần số nguyên, số học BigInt (cũng có trong máy tính này) khôi phục giá trị chính xác đến mức bộ nhớ cho phép. Cho lũy thừa không nguyên — số mũ vô tỉ, π^e, 2^0,5 — vốn không có dạng đóng thập phân chính xác, nên ký hiệu khoa học là biểu diễn tự nhiên. Để có kết quả nguyên chính xác cho x^n khi cả hai là nguyên, dùng cặp cơ số/số mũ máy tính phát hiện được là nguyên; với mọi thứ khác, tin các chữ số hiển thị đến độ chính xác hiện và bỏ các chữ số sau đó.
Tính toán
Toán học
Tài chính
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cả
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS