Cộng, nhân, chia số phức và ghép trở kháng song song. Đổi dạng đại số sang lượng giác, phasor, lũy thừa De Moivre và căn với các bước R + jX chi tiết.
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cả
Số phức là gì?
Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a và b là số thực và i là đơn vị ảo với i² = −1. Phần thực là a, phần ảo là b. Dù mang tên "ảo", số phức không hư cấu hơn số âm — chúng là sự hoàn chỉnh tự nhiên của số học cho phép mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
Về mặt hình học, mỗi số phức là một điểm trong mặt phẳng 2D: a là tọa độ ngang, b là tọa độ dọc. Phép cộng là phép cộng vector; phép nhân là tổ hợp xoay và co giãn. Bức tranh hình học này là lý do số phức không thể thiếu trong điện kỹ thuật, xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử, động lực học chất lỏng và đồ họa máy tính.
Các dạng số phức
Dạng đại số (a + bi)
Dạng đại số (hay Descartes) viết một số phức như tổng phần thực và phần ảo: z = a + bi. Đây là dạng tự nhiên cho phép cộng và trừ, chỉ cần ghép phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo.
Ví dụ: 3 + 4i có phần thực 3 và phần ảo 4
Dạng lượng giác (r∠θ)
Dạng lượng giác biểu diễn số phức qua khoảng cách tới gốc (mô-đun r) và góc so với trục thực dương (argument θ): z = r∠θ, tương đương r·(cos θ + i·sin θ) và gọn hơn r·e^(iθ). Đây là dạng tự nhiên cho phép nhân, chia và lũy thừa.
Mô-đun r = √(a² + b²) là độ dài mũi tên từ gốc tới điểm; argument θ = atan2(b, a) là góc với trục thực dương, đo ngược chiều kim đồng hồ. Dạng lượng giác làm rõ hình học của phép nhân: nhân với r·e^(iθ) nghĩa là "co giãn theo r, xoay góc θ".
Ví dụ: 5∠53,13° tương đương 3 + 4i
Chuyển đổi giữa các dạng
Đại số sang lượng giác: r = √(a² + b²), θ = atan2(b, a)
Lượng giác sang đại số: a = r·cos(θ), b = r·sin(θ)
Phép toán với số phức
Cộng và trừ
Cộng hoặc trừ phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo riêng biệt. Về hình học, đây là phép cộng vector — chính là quy tắc hình bình hành dùng cho vector lực trong vật lý.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Phép nhân
Dạng đại số: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i — khai triển như nhân hai nhị thức và nhớ i² = −1.
Dạng lượng giác: (r₁∠θ₁)·(r₂∠θ₂) = (r₁·r₂)∠(θ₁ + θ₂). Nhân nghĩa là cộng góc và nhân độ dài — một đẳng thức tuyệt vời biến số phức thành công cụ tự nhiên cho phép xoay.
Phép chia
Để chia dạng đại số, nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu. Việc đó biến mẫu thành số thực (a² + b²) và cho phép tách phần thực, phần ảo.
Dạng lượng giác: (r₁∠θ₁) ÷ (r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂). Chia nghĩa là trừ góc và chia độ dài.
Liên hợp phức
Liên hợp của a + bi là a − bi. Về hình học, đó là phản chiếu qua trục thực. Liên hợp là cách "thực hóa" mẫu và tính |z|² không cần căn bậc hai.
Quan trọng: z · z̄ = a² + b² = |z|² (luôn là số thực không âm)
Lũy thừa và căn
Định lý De Moivre: (r·e^(iθ))ⁿ = rⁿ·e^(inθ). Lấy mô-đun mũ n; nhân argument với n.
Mọi số phức khác 0 có đúng n căn bậc n phân biệt, phân bố đều trên đường tròn bán kính ⁿ√r với bước góc 360°/n. Vì thế phương trình đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức (Định lý cơ bản của Đại số).
Hàm phức
Mọi hàm thực quen thuộc đều mở rộng được sang phức, thường với hành vi bất ngờ:
Hàm mũ: e^(a+bi) = eᵃ·(cos b + i·sin b) — công thức Euler khoác áo khác
Logarit tự nhiên: ln(r·e^(iθ)) = ln(r) + iθ — đa trị, vì θ định nghĩa modulo 2π
Lượng giác: sin(z) = (e^(iz) − e^(−iz))/(2i), cos(z) = (e^(iz) + e^(−iz))/2 — có thể nhận giá trị ngoài [−1, 1] với đầu vào phức
Máy tính số phức
Ứng dụng của số phức
Số phức không phải tò mò học thuật — chúng vận hành công nghệ hiện đại:
Điện kỹ thuật: điện áp và dòng điện AC mã hóa thành phasor phức; trở kháng kết hợp điện trở và điện kháng dưới dạng Z = R + jX (kỹ sư dùng j để tránh nhầm với dòng điện i)
Xử lý tín hiệu: biến đổi Fourier về cơ bản là tổng các hàm mũ phức; FFT — thuật toán đằng sau MP3, JPEG, Wi-Fi và MRI — nhân và cộng số phức hàng tỷ lần mỗi giây
Cơ học lượng tử: mọi hàm sóng đều có giá trị phức, và xác suất tìm được hạt là |ψ|² = ψ·ψ̄
Lý thuyết điều khiển: các điểm cực của hàm truyền trong mặt phẳng phức quyết định hệ có ổn định hay không; kỹ sư thực sự vẽ root locus trong mặt phẳng phức
Động lực học chất lỏng: dòng chảy thế 2D dùng giải tích phức; biến đổi Joukowski ánh xạ đường tròn thành hình cánh máy bay thời kỳ đầu
Đồ họa máy tính: tập Mandelbrot và Julia là phép lặp zₙ₊₁ = zₙ² + c; quaternion (mở rộng 4 chiều) điều khiển mọi phép xoay 3D trong game hiện đại
Lý thuyết số: hàm zeta Riemann ζ(s) định nghĩa trên s phức; các không điểm phi tầm thường của nó kiểm soát phân bố số nguyên tố
Mẹo dùng máy tính
Dùng dạng đại số khi cộng trừ; công thức ở đó đơn giản nhất
Chuyển sang dạng lượng giác khi nhân, chia, lũy thừa và lấy căn — góc và mô-đun tách sạch sẽ
Nhớ atan2(b, a), không phải atan(b/a), khi tính argument — atan không phân biệt được góc phần tư
Luôn ghi rõ góc tính bằng độ hay radian; nhầm lẫn là nguồn lỗi số một
Liên hợp z̄ là vũ khí bí mật cho phép chia và tính độ lớn không cần căn
Câu hỏi thường gặp
Đơn vị ảo i được định nghĩa bởi i² = −1, quy tắc cho phép lấy căn bậc hai của số âm. Nó không được phát minh ra để huyền bí; đại số thế kỷ 16 buộc các nhà toán học phải dùng. Cardano (1545) tìm ra công thức nghiệm bậc ba cho x³ + ax + b = 0 — nhưng phải lấy căn của số âm trong các bước trung gian, ngay cả khi cả ba nghiệm đều là số thực bình thường. Những đại lượng "ảo" này phải là các bước trung gian hợp lệ vì kết quả cuối cùng rõ ràng là thực. Bombelli chính thức hóa số học với chúng năm 1572; Euler giới thiệu chữ i năm 1777; Gauss (1831) đem lại cách diễn giải hình học là các điểm trong mặt phẳng 2D, sau đó địa vị của chúng được công nhận. Vậy i không phải mẹo — đó là sự hoàn chỉnh tự nhiên của số thực, giống số âm là sự hoàn chỉnh tự nhiên của số nguyên dương. Tên "ảo" là tai nạn lịch sử; các nhà vật lý và kỹ sư tính với i hằng ngày mà không ai gọi phương trình Maxwell là ảo.
Chúng đảm bảo rằng mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Trên trường số thực, x² + 1 = 0 vô nghiệm — không có số thực nào bình phương lại bằng −1. Trên trường số phức, x² + 1 = 0 có hai nghiệm: x = i và x = −i. Định lý cơ bản của Đại số, do Gauss chứng minh năm 1799, nói rằng mọi đa thức bậc n với hệ số phức có đúng n nghiệm phức (tính cả bội). Không còn "khi thì giải được, khi thì không". Tính đóng đại số này có hệ quả to lớn. Nó làm bài toán trị riêng luôn giải được (trị riêng là nghiệm của đa thức đặc trưng), nhờ đó đại số tuyến tính trôi chảy trên ℂ. Nó cho phép phân tích đa thức bất kỳ thành nhân tử tuyến tính, nền tảng cho phân tích phân thức trong giải tích. Và thống nhất lý thuyết phương trình vi phân — mọi ODE tuyến tính đều có nghiệm dạng e^(λt) với λ phức; nếu λ thực, bạn có tăng/giảm theo cấp số nhân, nếu thuần ảo bạn có dao động, nếu có cả phần thực và ảo bạn có dao động tắt dần. Số phức thống nhất ba hiện tượng tưởng chừng riêng biệt.
Phép nhân co giãn và xoay. Nếu z₁ có mô-đun r₁ và argument θ₁, và z₂ có mô-đun r₂ và argument θ₂, thì z₁·z₂ có mô-đun r₁·r₂ và argument θ₁ + θ₂. Vậy nhân với z giống như "co giãn mọi điểm bởi |z|, rồi xoay cả mặt phẳng quanh gốc một góc arg(z)". Vì thế nhân với i — mô-đun 1, argument 90° — xoay mặt phẳng một phần tư vòng: gửi 1 thành i, i thành −1, −1 thành −i, rồi trở lại 1. Nhân với e^(iθ) là phép xoay thuần một góc θ. Sự kiện duy nhất này là nền tảng tại sao số phức có mặt khắp nơi trong vật lý và kỹ thuật: bất cứ thứ gì có xoay, dao động hay sóng đều biến thành đại số một khi chuyển sang mặt phẳng phức. Một động cơ quay, một điện áp xoay chiều, một hàm sóng lượng tử — tất cả đều trở thành các phép nhân với e^(iωt).
Công thức Euler nói e^(iθ) = cos θ + i·sin θ. Đặt θ = π bạn được e^(iπ) = cos π + i·sin π = −1 + 0i = −1, nên e^(iπ) + 1 = 0 — năm hằng số quan trọng nhất của toán học (0, 1, e, i, π) gắn vào một phương trình, được bình chọn nhiều lần là "phương trình đẹp nhất". Diễn giải hình học rất trực tiếp: e^(iθ) vẽ đường tròn đơn vị khi θ biến thiên, nên e^(iπ) là điểm ở góc π (180°) trên đường tròn đơn vị, chính là −1. Ý nghĩa sâu hơn là: hàm mũ và hàm lượng giác chính là cùng một hàm trên mặt phẳng phức, chỉ nhìn theo hai cách. Vì thế d/dt của e^(iωt) = iω·e^(iωt) mô tả chuyển động tròn với tần số góc ω. Cũng vì thế các kỹ sư thay cos(ωt) bằng "phần thực của e^(iωt)": đạo hàm thành nhân với iω, tích phân thành chia — đại số thay thế giải tích. Phương trình Schrödinger, phương trình Maxwell, phân tích mạch AC và biến đổi Fourier đều dựa trên đẳng thức duy nhất này.
Vì mỗi dạng làm đơn giản một phép toán và phức tạp phép kia. Cộng (3 + 4i) + (1 + 2i) ở dạng đại số là chuyện vặt: (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i. Ở dạng lượng giác bạn phải chuyển sang đại số, cộng, rồi chuyển lại — ba bước thay vì một. Ngược lại, nhân (3 + 4i)·(1 + 2i) ở dạng đại số phải khai triển nhị thức và nhớ i² = −1: (3·1 − 4·2) + (3·2 + 4·1)i = −5 + 10i. Ở dạng lượng giác (5∠53,13°)·(√5∠63,43°) = 5√5∠116,56°, chỉ nhân mô-đun và cộng góc. Lũy thừa và căn còn rõ hơn: tính (1 + i)¹⁰⁰ ở dạng đại số là cơn ác mộng, còn ở dạng lượng giác là (√2∠45°)¹⁰⁰ = 2⁵⁰∠4500° = 2⁵⁰∠180° = −2⁵⁰. Quy tắc đầu ngón tay: nếu phép toán là tuyến tính (cộng, trừ), dùng đại số. Nếu liên quan đến xoay (tích, thương, lũy thừa, căn), dùng lượng giác. Các máy tính hiển thị cả hai dạng tồn tại chính là để bạn không phải đổi qua đổi lại bằng tay.
Vì dạng lượng giác là đa trị. Một số phức z = r·e^(iθ) cũng viết được là r·e^(i(θ + 2πk)) với mọi k nguyên — cộng bao nhiêu vòng đầy đủ vào góc vẫn cho cùng một điểm. Khi lấy căn bậc n, bạn chia góc cho n: ⁿ√z = ⁿ√r · e^(i(θ + 2πk)/n). Với k = 0, 1, 2, …, n−1 bạn được n góc khác nhau (và do đó n điểm khác nhau); với k = n bạn quay lại điểm ban đầu. Vì thế mọi số phức khác 0 có đúng n căn bậc n phân biệt, cách đều nhau trên đường tròn bán kính ⁿ√r với bước góc 360°/n. Các căn bậc ba của 1 chẳng hạn là 1, e^(i·120°) ≈ −0,5 + 0,866i và e^(i·240°) ≈ −0,5 − 0,866i — tạo thành tam giác đều. Vì thế phương trình kiểu z⁵ = 32 có năm nghiệm chứ không phải một. Định lý cơ bản của Đại số xây dựng trên sự kiện này: đa thức xⁿ − c phân tích hoàn toàn trên trường phức vì c có đúng n căn bậc n.
Mọi điện áp hay dòng điện AC — hàm sin V(t) = V₀·cos(ωt + φ) — được thay bằng phasor phức V = V₀·e^(iφ), và sự phụ thuộc thời gian e^(iωt) được lược đi. Mẹo này biến phương trình vi phân thành đại số. Điện trở có trở kháng R (thực thuần túy); cuộn cảm có trở kháng jωL (ảo thuần túy, dương); tụ điện có trở kháng 1/(jωC) (ảo thuần túy, âm). Kỹ sư dùng j thay i để không nhầm với dòng điện i. Định luật Ohm cũng đúng với phasor: V = I·Z, với Z là trở kháng phức. Góc của Z cho biết độ lệch pha giữa điện áp và dòng — mạch thuần trở có góc Z = 0 (cùng pha), mạch thuần cảm có +90° (dòng trễ), mạch thuần dung có −90° (dòng sớm). Mô-đun Z là trở kháng biểu kiến với AC; phần thực là phần tiêu tán công suất, phần ảo chỉ chuyển động năng lượng qua lại. Không có gì trong số này khả thi nếu không có số phức — và toàn bộ lưới điện thế giới được tính trong mặt phẳng phức.
Nhập trở kháng thứ nhất vào Số phức 1 và trở kháng thứ hai vào Số phức 2, dùng dạng đại số Z = R + jX (điện trở là phần thực, điện kháng là phần ảo — dương nếu cảm kháng, âm nếu dung kháng). Chọn phép toán «Song song (Z₁ ∥ Z₂)» rồi bấm Tính toán. Công cụ tính Z₁·Z₂/(Z₁+Z₂) — công thức chuẩn cho hai trở kháng mắc song song — chỉ trong một bước, nên bạn không còn phải nối tay một phép nhân, một phép cộng và một phép chia rồi sao chép các phasor trung gian giữa các lần chạy. Bảng kết quả phân tách đáp án: hiển thị dạng đại số (R + jX mới), dạng lượng giác (biên độ và pha) và một dòng R / X riêng cho điện trở tương đương R = Re và điện kháng X = Im. Ví dụ, một nhánh 3 + 4j Ω song song với nhánh 1 + 2j Ω cho khoảng 1,36 + 1,48j Ω. Để ghép từ ba trở kháng trở lên, áp dụng phép toán theo từng cặp: ghép hai cái đầu, dán kết quả đó vào Số phức 1 rồi ghép song song với cái thứ ba. Cùng quy trình này dùng được cho dẫn nạp song song hay bất kỳ tổ hợp A·B/(A+B) nào.
Để đổi từ đại số sang lượng giác, nhập số của bạn dưới dạng a + bi ở dạng đại số, chọn bất kỳ phép toán nào giữ nguyên nó (chẳng hạn Liên hợp hai lần, hoặc Cộng với 0 + 0i ở ô thứ hai) và đọc dòng «Dạng lượng giác:» trong bảng Tính toán — nó hiển thị mô-đun r và argument θ, theo độ hay radian tùy ô «Dùng độ cho θ». Đơn giản hơn nữa: mọi kết quả đơn trị đều đã in cả hai dạng đại số và lượng giác, cùng biên độ |Z| và pha, nên mọi phép tính đều kiêm luôn vai trò công cụ chuyển đổi. Để tính lũy thừa như (1 + i)ⁿ, nhập 1 + 1i, chọn phép Lũy thừa (zⁿ), gõ số mũ n, và công cụ áp dụng định lý De Moivre bên trong — lấy mô-đun mũ n và nhân góc với n — nên ngay cả (1 + i)¹⁰⁰ cũng cho kết quả tức thì mà không cần khai triển nhị thức bằng tay.
Ba mục đích lớn. (1) "Thực hóa" mẫu: chia số phức ở dạng đại số đòi hỏi nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu, biến (c + di)·(c − di) = c² + d², một số thực, và cho phép tách phần thực, phần ảo của kết quả. Không có liên hợp, phép chia sẽ rất khó chịu. (2) Tính mô-đun không cần căn bậc hai: |z|² = z·z̄ = a² + b². Trong cơ học lượng tử, mật độ xác suất |ψ|² được tính đúng như vậy, nhân hàm sóng với liên hợp của nó. (3) Đối xứng của nghiệm đa thức: nếu đa thức với hệ số thực có nghiệm phức α + βi thì cũng có nghiệm liên hợp α − βi (lấy liên hợp toàn bộ phương trình thì được phương trình gốc). Vì thế phương trình bậc hai có discriminant âm luôn có cặp nghiệm liên hợp, và nghiệm của bất kỳ đa thức thực nào đều đi theo cặp liên hợp trừ khi chúng tình cờ là thực. Liên hợp cũng làm cho "xử lý tín hiệu thực" hoạt động — FFT của tín hiệu rời rạc thực thỏa mãn X[N−k] = X[k]̄, giảm một nửa bộ nhớ cần thiết.
Tính toán
Toán học
Kỹ thuật
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cả
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS