Máy tính số phức

Máy tính số phức trực tuyến miễn phí để cộng, trừ, nhân, chia, chuyển đổi dạng polar/rectangular và các hàm số phức. Hoàn hảo cho sinh viên toán và kỹ thuật.

Phần thực (a)Phần ảo (b)i
Phần thực (a)Phần ảo (b)i

Số phức là gì?

Số phức là số có thể được biểu diễn dưới dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, và i là đơn vị ảo thỏa mãn i² = -1. Phần thực là a, phần ảo là b.

Số phức mở rộng khái niệm trục số một chiều thành mặt phẳng phức hai chiều bằng cách đưa vào đơn vị ảo i. Chúng rất quan trọng trong toán học, vật lý, kỹ thuật, xử lý tín hiệu và nhiều lĩnh vực khác.

Các dạng của số phức

Dạng đại số (a + bi)

Dạng đại số (hay dạng Descartes) biểu diễn số phức dưới dạng tổng của phần thực và phần ảo: z = a + bi, trong đó a là phần thực và b là phần ảo.

Ví dụ: 3 + 4i có phần thực là 3 và phần ảo là 4

Dạng cực (r∠θ)

Dạng cực biểu diễn số phức bằng độ lớn (mô-đun) và góc (argument): z = r∠θ hoặc z = r·e^(iθ), trong đó r là mô-đun và θ là argument.

Mô-đun r = √(a² + b²) biểu diễn khoảng cách từ gốc tọa độ, và argument θ = arctan(b/a) biểu diễn góc từ trục thực dương.

Ví dụ: 5∠53,13° tương đương với 3 + 4i

Chuyển đổi giữa các dạng

Đại số sang cực: r = √(a² + b²), θ = arctan(b/a)

Cực sang đại số: a = r·cos(θ), b = r·sin(θ)

Các phép toán số phức

Cộng và trừ

Để cộng hoặc trừ số phức ở dạng đại số, cộng hoặc trừ phần thực và phần ảo riêng biệt:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Nhân

Dạng đại số: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Dạng cực: (r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)

Chia

Để chia số phức, nhân tử số và mẫu số với số liên hợp của mẫu số.

Dạng cực: (r₁∠θ₁) ÷ (r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁ - θ₂)

Số phức liên hợp

Số liên hợp của a + bi là a - bi. Về mặt hình học, đó là phản chiếu qua trục thực.

Quan trọng: z × z̄ = a² + b² (luôn là số thực)

Lũy thừa và căn

Định lý De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠(nθ)

Căn bậc n của số phức có n giá trị phân biệt phân bố đều trên một vòng tròn.

Các hàm số phức

Nhiều hàm toán học được mở rộng cho số phức:

  • Hàm mũ: e^(a+bi) = e^a(cos b + i·sin b)
  • Logarit tự nhiên: ln(r∠θ) = ln(r) + iθ
  • Hàm lượng giác: Được định nghĩa bằng công thức Euler

Ứng dụng của số phức

Số phức có nhiều ứng dụng rộng rãi:

  • Kỹ thuật điện: Phân tích mạch AC và tính toán trở kháng
  • Xử lý tín hiệu: Biến đổi Fourier và phân tích tần số
  • Cơ học lượng tử: Hàm sóng và biên độ xác suất
  • Lý thuyết điều khiển: Phân tích ổn định và hàm truyền
  • Động lực học chất lỏng: Dòng thế năng và ánh xạ bảo giác
  • Đồ họa máy tính: Biến đổi và fractal (tập Mandelbrot)
  • Khí động học: Thiết kế cánh và phân tích luồng khí

Mẹo sử dụng máy tính

  • Chọn định dạng nhập phù hợp (đại số hoặc cực) dựa trên bài toán của bạn
  • Phép nhân và chia thường dễ hơn ở dạng cực
  • Phép cộng và trừ dễ hơn ở dạng đại số
  • Chuyển đổi giữa độ và radian cho argument khi cần thiết
  • Phép liên hợp hữu ích cho phép chia và tìm độ lớn