Calculadora de Números Complejos

¿Qué es un Número Complejo?

Un número complejo es un número que puede expresarse en la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que satisface i² = -1. La parte real es a, y la parte imaginaria es b.

Los números complejos extienden el concepto de la recta numérica unidimensional a un plano complejo bidimensional introduciendo la unidad imaginaria i. Son esenciales en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de señales y muchos otros campos.

Formas de los Números Complejos

Forma Rectangular (a + bi)

La forma rectangular (o cartesiana) expresa un número complejo como una suma de sus partes real e imaginaria: z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Ejemplo: 3 + 4i tiene parte real 3 y parte imaginaria 4

Forma Polar (r∠θ)

La forma polar expresa un número complejo usando su magnitud (módulo) y ángulo (argumento): z = r∠θ o z = r·e^(iθ), donde r es el módulo y θ es el argumento.

El módulo r = √(a² + b²) representa la distancia desde el origen, y el argumento θ = arctan(b/a) representa el ángulo desde el eje real positivo.

Ejemplo: 5∠53.13° es equivalente a 3 + 4i

Conversión Entre Formas

Rectangular a Polar: r = √(a² + b²), θ = arctan(b/a)

Polar a Rectangular: a = r·cos(θ), b = r·sin(θ)

Operaciones con Números Complejos

Suma y Resta

Para sumar o restar números complejos en forma rectangular, suma o resta las partes reales e imaginarias por separado:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Multiplicación

En forma rectangular: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

En forma polar: (r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)

División

Para dividir números complejos, multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

En forma polar: (r₁∠θ₁) ÷ (r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁ - θ₂)

Conjugado Complejo

El conjugado de a + bi es a - bi. Geométricamente, es la reflexión a través del eje real.

Importante: z × z̄ = a² + b² (siempre un número real)

Potencias y Raíces

Teorema de De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠(nθ)

La raíz n-ésima de un número complejo tiene n valores distintos distribuidos uniformemente alrededor de un círculo.

Funciones Complejas

Muchas funciones matemáticas se extienden a números complejos:

• Exponencial: e^(a+bi) = e^a(cos b + i·sin b)
• Logaritmo natural: ln(r∠θ) = ln(r) + iθ
• Funciones trigonométricas: Definidas usando la fórmula de Euler

Aplicaciones de los Números Complejos

Los números complejos tienen aplicaciones de amplio alcance:

• Ingeniería Eléctrica: Análisis de circuitos AC y cálculos de impedancia
• Procesamiento de Señales: Transformadas de Fourier y análisis de frecuencias
• Mecánica Cuántica: Funciones de onda y amplitudes de probabilidad
• Teoría de Control: Análisis de estabilidad y funciones de transferencia
• Dinámica de Fluidos: Flujo potencial y mapeo conforme
• Gráficos por Computadora: Transformaciones y fractales (conjunto de Mandelbrot)
• Aerodinámica: Diseño de alas y análisis de flujo de aire

Consejos para Usar la Calculadora

• Elige el formato de entrada apropiado (rectangular o polar) según tu problema
• La multiplicación y división son a menudo más fáciles en forma polar
• La suma y resta son más fáciles en forma rectangular
• Alterna entre grados y radianes para el argumento según sea necesario
• La operación conjugada es útil para la división y encontrar magnitudes