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Calculadora de Coseno

Resuelve cos(x), arccos(x) y triángulos con la Ley de Cosenos (LAL/LLL) en grados o radianes. Ideal para ingeniería, topografía y física.

cos
=

Cálculo de coseno

=

Calculadora de coseno inverso

cos-1
Grados
Radians

Solucionador de triángulos por la Ley de Cosenos

La función coseno (cos(x))

La función coseno cos(x) asigna un ángulo a un número real en el intervalo [−1, 1]. En un triángulo rectángulo, cos(x) es la razón del cateto adyacente entre la hipotenusa — el significado geométrico que la función hereda de sus orígenes hace 2000 años en la astronomía griega. En el círculo unitario (radio 1, centrado en el origen), cos(x) es simplemente la coordenada x del punto al ángulo x medido en sentido antihorario desde el eje x positivo. Esta definición del círculo unitario es la moderna porque se extiende naturalmente a todos los ángulos reales — positivos, negativos y más allá de una vuelta completa.

Estas son las propiedades clave del coseno que esta calculadora aprovecha y que usarás desde tareas de física hasta análisis de circuitos AC:

  • Definición en el Círculo Unitario: Para un ángulo x (en radianes), cos(x) es la coordenada x del punto en el círculo unitario alcanzado al rotar en sentido antihorario desde (1, 0) un ángulo x. Esta imagen es la forma más rápida de recordar cualquier valor de coseno — visualiza dónde cae el ángulo en el círculo y lee la coordenada horizontal.
  • Periodicidad: cos(x) = cos(x + 2πk) para todo entero k. La función se repite cada rotación completa — cada 360° o cada 2π radianes — por lo que el coseno es el modelo natural para cualquier fenómeno cíclico (ondas, corriente alterna, órbitas planetarias, sonido).
  • Rango: cos(x) siempre está entre −1 y +1 inclusive. Salidas fuera de este rango significan un error de cálculo — típico cuando los estudiantes calculan por error arccos de un valor mayor que 1 o menor que −1.
  • Función Par: cos(−x) = cos(x) para todo x — la gráfica es simétrica respecto al eje y. Esto contrasta con seno, que es impar, y es la fuente de la mitad de las simplificaciones trigonométricas que encontrarás.
  • Valores Clave: cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866, cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0, cos(180°) = −1, cos(270°) = 0, cos(360°) = 1. Memoriza estos ocho valores y el resto de la tabla cae en su sitio por simetría y periodicidad.
  • Relación con el Seno: cos(x) = sen(π/2 − x) — el coseno es un seno desfasado, retrasado 90°. La identidad pitagórica sen²(x) + cos²(x) = 1 sigue directamente de x² + y² = 1 en el círculo unitario y es la identidad más usada en toda la trigonometría.
  • Gráfica: Una onda suave que empieza en (0, 1), desciende por (π/2, 0) hasta (π, −1), vuelve por (3π/2, 0) a (2π, 1), repitiéndose para siempre. El patrón es el estándar de oro para visualizar cualquier oscilación.
  • Aplicaciones: análisis de circuitos AC (V = V₀ cos(ωt + φ)), ondas de sonido y luz, vibraciones mecánicas, procesamiento de señales (cada transformada coseno discreta subyace a JPEG y MP3), gráficos 3D (las rotaciones son combinaciones lineales de sen/cos), astronomía (posiciones planetarias) e ingeniería estructural (descomposición de fuerzas en superficies inclinadas).

En cálculo, d/dx cos(x) = −sen(x) y ∫cos(x) dx = sen(x) + C. La serie de Taylor cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ... converge para todo número real x (y todo z complejo), y converge lo suficientemente rápido como para que cinco o seis términos den precisión de doble precisión para |x| < 1 — así es como cada calculadora electrónica calcula internamente el coseno.

¿Qué son Grados (deg °) y Radianes (rad)?

Las funciones trigonométricas aceptan ángulos en dos unidades estándar, y mezclarlas es la fuente nº 1 de errores trigonométricos. Siempre comprueba en qué modo está tu calculadora antes de calcular.

  • Grados: 360 en una vuelta completa, llamados por el sistema sexagesimal (base 60) babilónico hacia 1500 a.C. Los grados son intuitivos para navegación, geometría y cualquier cantidad donde se necesiten fracciones limpias del círculo (cuadrantes de 90°, triángulos equiláteros de 60°, diagonales de 45°).
  • Radianes: 2π en una vuelta completa, definidos para que un radián sea el arco cuya longitud es igual al radio. Los radianes son la unidad natural para cálculo y física — la fórmula d/dx sen(x) = cos(x) solo es válida en radianes; en grados necesitarías un factor 180/π cada vez que derivaras. Toda serie de Taylor, fórmula de derivada y ecuación de ondas asume radianes.

Para convertir entre grados y radianes, usa estas dos fórmulas:

  • De grados a radianes:
    radianes = grados × π180
  • De radianes a grados:
    grados = radianes × 180π

Preguntas Frecuentes

Del triángulo rectángulo especial 30-60-90, uno de dos triángulos cuyas razones de lados son exactas y vale la pena memorizar. Desde un vértice de un triángulo equilátero de lado 2 traza una perpendicular — esto biseca la base en dos mitades iguales de longitud 1 y crea dos triángulos rectángulos congruentes 30-60-90. En uno de esos triángulos, la hipotenusa es 2, el cateto corto (opuesto al ángulo 30°) es 1 y el cateto largo (opuesto al ángulo 60°) es la altura que falta. Por el teorema de Pitágoras, altura² + 1² = 2², así altura = √3. Ahora cos(30°) = adyacente/hipotenusa = √3/2 ≈ 0,866. El mismo triángulo da cos(60°) = 1/2 (cateto corto sobre hipotenusa). El otro triángulo especial, el isósceles rectángulo 45-45-90, da cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707. Estos tres valores — 1/2, √2/2, √3/2 — aparecen en 30°, 45°, 60° y en cada reflexión/rotación de ellos alrededor del círculo unitario. Memorizarlos te da 16 valores exactos de coseno en los 360°.

cos(x) es una función que toma un ángulo y produce un número; arccos(x) (también cos⁻¹(x)) es su inversa, toma un número entre −1 y 1 y devuelve un ángulo. Pero coseno no es uno-a-uno — cos(60°) = cos(300°) = cos(−60°) = ½, así que una inversa literal tendría que devolver múltiples valores. Para hacer arccos una función propia, los matemáticos restringen su rango de salida a [0°, 180°] (o [0, π] en radianes). Así arccos(0,5) = 60°, no 300° ni −60°. La convención de valor principal es universal, pero significa que a veces tienes que sumar 2π o reflejar para encontrar todas las soluciones a cos(x) = c. Por ejemplo, todas las soluciones a cos(x) = 0,5 son x = ±60° + 360°k para entero k. Es la misma lógica que restringe arcsen a [−90°, 90°] y arctan a (−90°, 90°). El rango de entrada de arccos es [−1, 1] porque coseno solo produce esos valores — meter 1,5 o −2,3 da "indefinido" o NaN.

Ley de Cosenos: para cualquier triángulo de lados a, b, c y el ángulo C opuesto al lado c, c² = a² + b² − 2ab cos(C). Esta es la fórmula universal de longitudes de lados, reemplazando el teorema de Pitágoras (que es el caso especial C = 90°, donde cos(90°) = 0, dejando c² = a² + b²). Para cualquier otro ángulo, el término −2ab cos(C) ajusta: si C < 90° (agudo), cos(C) > 0 y c es más corto que √(a²+b²); si C > 90° (obtuso), cos(C) < 0 y c es más largo. La Ley de Cosenos te permite resolver cualquier triángulo cuando conoces dos lados y el ángulo incluido (LAL) o los tres lados (LLL) — los dos casos que la Ley de Senos no puede manejar sola. Se remonta a Euclides (Elementos, c. 300 a.C., Proposiciones II.12 y II.13, en forma geométrica sin trig), con la forma trigonométrica moderna debida a matemáticos islámicos medievales hacia 1000 d.C. La fórmula aparece constantemente en topografía, navegación, triangulación GPS e ingeniería estructural.

Usa el solucionador de triángulos por la Ley de Cosenos que está sobre las preguntas frecuentes — utiliza el mismo motor de coseno/arccos que el resto de la página. Elige uno de dos modos. (1) LAL (lado-ángulo-lado): cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos, introduce Lado a, Lado b y el Ángulo incluido C (elige ° o rad), y pulsa Calcular. La herramienta devuelve el tercer lado c con c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Ejemplo: a = 5, b = 7, C = 60° da c ≈ 6,244 — la diagonal de un marco, el lado de cierre de una poligonal topográfica o la resultante de dos miembros que se unen a 60°. (2) LLL (lado-lado-lado): cuando conoces los tres lados, introduce Lado a, Lado b, Lado c y pulsa Calcular. La herramienta verifica la desigualdad triangular y devuelve los tres ángulos interiores A, B, C en grados y radianes, con A = arccos((b² + c² − a²)/(2bc)) y similares, siendo C = 180° − A − B. Es el flujo que usan topógrafos para cierres de lindes, mecanizadores para geometría de agujeros y navegantes para distancias por triangulación. Si los lados no pueden formar un triángulo (un lado ≥ la suma de los otros dos), la herramienta avisa en lugar de devolver un ángulo erróneo.

Por dónde cae 180° en el círculo unitario. Empieza en el punto (1, 0) y rota en sentido antihorario 180° (media vuelta). Llegas al punto (−1, 0). Coseno, por definición, es la coordenada x del punto final — y esa coordenada x es −1. La misma lógica da cada otro valor clave de coseno: en 0° estás en (1, 0), así cos(0°) = 1. En 90° estás en (0, 1), así cos(90°) = 0. En 270° estás en (0, −1), así cos(270°) = 0. En 360° has completado una vuelta completa de vuelta a (1, 0), así cos(360°) = 1, idéntico a cos(0°). Los valores negativos de coseno ocurren en los cuadrantes II (90°–180°) y III (180°–270°) donde la coordenada x está a la izquierda del eje y. Esta imagen del círculo unitario es el modelo mental más rápido para toda la tabla del coseno — una vez que puedes visualizar la rotación, nunca confundes el signo.

Tres pasos. (1) Reducción de argumento: si x está en grados, multiplica por π/180 para convertir a radianes; luego reduce módulo 2π para que la entrada caiga en [0, 2π); reduce más a [0, π/2] usando las simetrías del coseno (cos(π−x) = −cos(x), cos(π+x) = −cos(x), cos(2π−x) = cos(x)), rastreando el signo aparte. (2) Aproximación polinómica: en el intervalo reducido [0, π/4], evalúa un polinomio corto de grado 6–10 (típicamente derivado de la serie de Taylor cos(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + ... o una variante Chebyshev más eficiente). Seis términos dan 15 dígitos significativos, la precisión de un doble IEEE-754. (3) Aplica el signo guardado y devuelve. La serie de Taylor converge rápido porque los denominadores factoriales crecen mucho más rápido que x^n en el numerador — en el término 10, la contribución es menor que 10^-15 para cualquier |x| ≤ π/2. El algoritmo CORDIC es una alternativa más vieja usada en calculadoras de bolsillo de los 70, calculando sen y cos simultáneamente usando solo desplazamientos y sumas; permanece en uso en FPGA y sistemas embebidos donde multiplicar es caro.

Casi cualquier cosa que oscile o gire. (1) Electricidad AC: el voltaje en un enchufe es V(t) = V₀ cos(2πft + φ), con f = 50 o 60 Hz y φ la fase. Cada libro de análisis AC se construye sobre coseno. (2) Sonido: tonos puros son presión cos(2πft); sonidos complejos son sumas de cosenos (descomposición de Fourier). MP3 y AAC literalmente almacenan los coeficientes de coseno (DCT). (3) Luz y ondas EM: campo eléctrico E(x, t) = E₀ cos(kx − ωt) para una onda plana — base de la óptica, radio y mecánica cuántica. (4) Órbitas planetarias: las posiciones son sen/cos del ángulo orbital; las ecuaciones de Kepler dependen de la trigonometría. (5) Vibración mecánica: oscilador masa-resorte x(t) = A cos(ωt + φ); movimiento de péndulo (ángulos pequeños) es coseno. (6) Gráficos 3D: cada matriz de rotación tiene entradas cos/sen; cada animación suave usa trigonometría. (7) GPS: la trilateración usa la Ley de Cosenos esférica. (8) Cálculo de potencia: potencia real = V × I × cos(φ) donde φ es el ángulo de fase entre voltaje y corriente — el famoso "factor de potencia" en ingeniería eléctrica.

sen²(x) + cos²(x) = 1 para todo número real x. La identidad es literalmente el teorema de Pitágoras aplicado al círculo unitario: cada punto en un círculo de radio 1 tiene coordenadas (cos(x), sen(x)), y la distancia de ese punto al origen es √(cos²(x) + sen²(x)). Pero el punto está en el círculo unitario, así que su distancia es exactamente 1, dando cos²(x) + sen²(x) = 1. La identidad vale para cualquier ángulo x — positivo, negativo, irracional, complejo — y es la base de toda la red de identidades trigonométricas: divide ambos lados por cos²(x) para obtener 1 + tan²(x) = sec²(x); divide por sen²(x) para 1 + cot²(x) = csc²(x); úsala para expresar sen en términos de cos (sen(x) = ±√(1 − cos²(x))) cuando conoces uno y necesitas el otro. En cálculo, esta identidad simplifica la mayoría de integrales que involucran √(1 − x²) vía la sustitución x = sen(θ). En física, la conservación de la probabilidad en mecánica cuántica es una identidad pitagórica disfrazada. Tres mil años de geometría destilados en una ecuación diminuta.

Sí, pero requiere cuidado por la precisión en coma flotante. El enfoque ingenuo — convertir 10⁶ radianes a un valor en [0, 2π) calculando 10⁶ mod (2π) — falla porque 2π es irracional, y la matemática estándar de doble precisión da solo unos 15-16 dígitos significativos. Al reducir 10⁶ restando ~159.154 rotaciones completas de 2π, el resultado solo tiene precisión de ~10 dígitos en la fracción de radianes — lo que se filtra a la respuesta del coseno. Para cos(10⁶) la fuga es pequeña (~10⁻⁷ de error), pero para cos(10²⁰) abruma la respuesta entera. Las librerías de alta precisión (reducción de argumento Payne-Hanek, usada en glibc, MSVC y librerías matemáticas de Apple) almacenan π con miles de bits de precisión y hacen la reducción en precisión extendida específicamente para mantener cosenos de argumentos grandes precisos. Math.cos de JavaScript usa doble precisión y es fiable a unos 15 dígitos para argumentos hasta ~10¹⁵; más allá, reduce el argumento a mano antes o usa una librería multiprecision. Para simulaciones físicas, la práctica más segura es mantener los ángulos módulo 2π desde el principio y no dejarlos crecer.

Tabla de valores comunes del coseno

Ángulo (°)Ángulo (Radianes)cos (exacto)cos (decimal)
0°011
30°π/6√3/20.8660
45°π/4√2/20.7071
60°π/31/20.5
90°π/200
120°2π/3-1/2-0.5
135°3π/4-√2/2-0.7071
150°5π/6-√3/2-0.866
180°π-1-1
210°7π/6-√3/2-0.866
225°5π/4-√2/2-0.7071
240°4π/3-1/2-0.5
270°3π/200
300°5π/31/20.5
315°7π/4√2/20.7071
330°11π/6√3/20.866
360°2π11
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