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Calculadora de Cosseno

Calculadora de cosseno cos(x) e arccos(x). Círculo unitário, Lei dos Cossenos, série de Taylor, triângulo 30-60-90, graus/radianos.

cos
=

Cálculo de cosseno

=

Calculadora de cosseno inverso

cos-1
Graus
Radians

A função cosseno (cos(x))

A função cosseno cos(x) leva um ângulo a um número real no intervalo [−1, 1]. Em um triângulo retângulo, cos(x) é a razão do cateto adjacente pela hipotenusa — o significado geométrico que a função herdou de suas origens, há 2000 anos, na astronomia grega. No círculo unitário (raio 1, centrado na origem), cos(x) é simplesmente a coordenada x do ponto no ângulo x, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Essa definição via círculo unitário é a moderna porque se estende naturalmente a todos os ângulos reais — positivos, negativos e além de uma volta completa.

Estas são as propriedades-chave do cosseno que esta calculadora explora e que você usará em tudo, de tarefas de física a análise de circuitos AC:

  • Definição no círculo unitário: para um ângulo x (em radianos), cos(x) é a coordenada x do ponto no círculo unitário alcançado ao girar no sentido anti-horário a partir de (1, 0) por um ângulo x. Essa imagem é a forma mais rápida de relembrar qualquer valor de cosseno — visualize onde o ângulo cai no círculo e leia a coordenada horizontal.
  • Periodicidade: cos(x) = cos(x + 2πk) para todo inteiro k. A função se repete a cada rotação completa — a cada 360° ou a cada 2π radianos — por isso o cosseno é o modelo natural para qualquer fenômeno cíclico (ondas, corrente alternada, órbitas planetárias, som).
  • Imagem: cos(x) está sempre entre −1 e +1 inclusive. Saídas fora desse intervalo indicam erro de cálculo em algum ponto — típico quando alunos calculam arccos de um valor maior que 1 ou menor que −1.
  • Função par: cos(−x) = cos(x) para todo x — o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Isso contrasta com o seno, que é ímpar, e é a fonte de metade das simplificações trigonométricas que você encontra.
  • Valores-chave: cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866, cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0, cos(180°) = −1, cos(270°) = 0, cos(360°) = 1. Memorize esses oito valores e o resto da tabela de cosseno se encaixa por simetria e periodicidade.
  • Relação com o seno: cos(x) = sen(π/2 − x) — o cosseno é um seno deslocado em fase, atrasado 90°. A identidade pitagórica sen²(x) + cos²(x) = 1 segue direto de x² + y² = 1 no círculo unitário e é a identidade mais usada de toda a trigonometria.
  • Gráfico: uma onda suave que parte de (0, 1), desce passando por (π/2, 0) até (π, −1), volta por (3π/2, 0) até (2π, 1), repetindo para sempre. O padrão é o padrão-ouro para visualizar qualquer oscilação.
  • Aplicações: análise de circuitos AC (V = V₀ cos(ωt + φ)), ondas sonoras e luminosas, vibrações mecânicas, processamento de sinais (toda transformada cosseno discreta sustenta compressão JPEG e MP3), gráficos 3D (rotações são combinações lineares de sen/cos), astronomia (posições planetárias) e engenharia estrutural (decomposição de forças em superfícies inclinadas).

Em cálculo, d/dx cos(x) = −sen(x) e ∫cos(x) dx = sen(x) + C. A série de Taylor cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ... converge para todo real x (e todo complexo z), e converge rápido o bastante para que cinco ou seis termos deem precisão dupla para |x| < 1 — é assim que toda calculadora eletrônica realmente calcula cosseno internamente.

O que são graus (deg °) e radianos (rad)?

Funções trigonométricas aceitam ângulos em duas unidades padrão, e confundi-las é a fonte número 1 de erros de trigonometria. Sempre confira em que modo sua calculadora está antes de calcular.

  • Graus: 360 em um círculo completo, herdados do sistema sexagesimal (base 60) babilônico por volta de 1500 a.C. Graus são intuitivos para navegação, geometria e qualquer grandeza em que humanos precisam de frações limpas de círculo (quadrantes de 90°, triângulos equiláteros de 60°, diagonais de 45°).
  • Radianos: 2π em um círculo completo, definidos para que um radiano seja o arco cujo comprimento é igual ao raio. Radianos são a unidade natural para cálculo e física — a fórmula d/dx sen(x) = cos(x) só vale em radianos; em graus você precisaria de um fator 180/π toda vez que diferenciasse. Toda série de Taylor, toda fórmula de derivada e toda equação de onda assume radianos.

Para converter entre graus e radianos, use estas duas fórmulas:

  • De graus para radianos:
    radianos = graus × π180
  • De radianos para graus:
    graus = radianos × 180π

Perguntas Frequentes

Do triângulo retângulo especial 30-60-90, um de dois triângulos cujas razões de lados são exatas e vale a pena memorizar. Desça uma perpendicular a partir de um vértice de um triângulo equilátero de lado 2 — isso divide a base em duas metades iguais de comprimento 1 e cria dois triângulos retângulos congruentes 30-60-90. Em um desses triângulos, a hipotenusa é 2, o cateto menor (oposto ao ângulo de 30°) é 1 e o cateto maior (oposto ao ângulo de 60°) é a altura que falta. Pelo teorema de Pitágoras, altura² + 1² = 2², então altura = √3. Agora cos(30°) = adjacente/hipotenusa = √3/2 ≈ 0,866. O mesmo triângulo dá cos(60°) = 1/2 (cateto menor sobre hipotenusa). O outro triângulo especial, o isósceles retângulo 45-45-90, dá cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707. Esses três valores — 1/2, √2/2, √3/2 — aparecem em 30°, 45°, 60° e em todas as reflexões/rotações deles em volta do círculo unitário. Memorizá-los te dá 16 valores exatos de cosseno em 360°.

cos(x) é uma função que toma um ângulo e produz um número; arccos(x) (também cos⁻¹(x)) é a inversa, toma um número entre −1 e 1 e retorna um ângulo. Mas o cosseno não é um-a-um — cos(60°) = cos(300°) = cos(−60°) = ½, então uma inversa literal teria que retornar múltiplos valores. Para que arccos seja uma função de verdade, os matemáticos restringem sua imagem a [0°, 180°] (ou [0, π] em radianos). Assim arccos(0,5) = 60°, não 300° nem −60°. A convenção do valor principal é universal, mas implica que às vezes você precisa somar 2π ou refletir para achar todas as soluções de cos(x) = c. Por exemplo, todas as soluções de cos(x) = 0,5 são x = ±60° + 360°k para k inteiro. É a mesma lógica que restringe arcsen a [−90°, 90°] e arctan a (−90°, 90°). O domínio de entrada de arccos é [−1, 1] porque o cosseno só assume esses valores — entrar 1,5 ou −2,3 dá "indefinido" ou NaN.

Lei dos Cossenos: para qualquer triângulo com lados a, b, c e o ângulo C oposto ao lado c, c² = a² + b² − 2ab cos(C). Essa é a fórmula universal de comprimentos de lados de um triângulo, substituindo o teorema de Pitágoras (que é o caso particular C = 90°, onde cos(90°) = 0, sobrando c² = a² + b²). Para qualquer outro ângulo, o termo −2ab cos(C) ajusta: se C < 90° (agudo), cos(C) > 0 e c é mais curto que √(a²+b²); se C > 90° (obtuso), cos(C) < 0 e c é mais longo. A Lei dos Cossenos permite resolver qualquer triângulo quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles (LAL) ou os três lados (LLL) — os dois casos que a Lei dos Senos sozinha não resolve. Vem de Euclides (Elementos, c. 300 a.C., Proposições II.12 e II.13, em forma geométrica sem trigonometria), com a forma trigonométrica moderna devida a matemáticos islâmicos medievais por volta de 1000 d.C. A fórmula aparece o tempo todo em topografia, navegação, triangulação por GPS e engenharia estrutural.

Por onde 180° cai no círculo unitário. Comece no ponto (1, 0) e gire no sentido anti-horário 180° (meia volta). Você chega ao ponto (−1, 0). Cosseno, por definição, é a coordenada x do ponto final — e essa coordenada x é −1. A mesma lógica dá cada outro valor-chave de cosseno: em 0° você está em (1, 0), então cos(0°) = 1. Em 90° você está em (0, 1), então cos(90°) = 0. Em 270° você está em (0, −1), então cos(270°) = 0. Em 360° você completou uma volta inteira voltando a (1, 0), então cos(360°) = 1, igual a cos(0°). Valores negativos de cosseno ocorrem nos quadrantes II (90°–180°) e III (180°–270°) onde a coordenada x está à esquerda do eixo y. Essa imagem do círculo unitário é o modelo mental mais rápido para toda a tabela de cosseno — assim que você visualiza a rotação, não confunde mais o sinal.

Três passos. (1) Redução de argumento: se x está em graus, multiplique por π/180 para converter a radianos; depois reduza módulo 2π para que a entrada caia em [0, 2π); reduza ainda mais a [0, π/2] usando as simetrias do cosseno (cos(π−x) = −cos(x), cos(π+x) = −cos(x), cos(2π−x) = cos(x)), guardando o sinal à parte. (2) Aproximação polinomial: no intervalo reduzido [0, π/4], avalie um polinômio curto de grau 6–10 (tipicamente derivado da série de Taylor cos(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + ... ou uma variante Chebyshev mais eficiente). Seis termos dão 15 dígitos significativos, a precisão de um double IEEE-754. (3) Aplique o sinal salvo e retorne. A série de Taylor converge rápido porque os denominadores fatoriais crescem muito mais rápido que x^n no numerador — no termo 10, a contribuição já é menor que 10^-15 para qualquer |x| ≤ π/2. O algoritmo CORDIC é uma alternativa mais antiga usada em calculadoras de bolso dos anos 1970, calcula sen e cos simultaneamente apenas com deslocamentos e somas; segue em uso em FPGAs e sistemas embarcados onde multiplicar é caro.

Quase tudo que oscila ou gira. (1) Eletricidade AC: a tensão em uma tomada é V(t) = V₀ cos(2πft + φ), onde f = 50 ou 60 Hz e φ é a fase. Todo livro de análise AC é construído sobre cosseno. (2) Som: tons puros são pressão cos(2πft); sons complexos são somas de cossenos (decomposição de Fourier). MP3 e AAC literalmente armazenam os coeficientes de cosseno (DCT). (3) Luz e ondas EM: campo elétrico E(x, t) = E₀ cos(kx − ωt) para onda plana — base da óptica, rádio e mecânica quântica. (4) Órbitas planetárias: posições são sen/cos do ângulo orbital; as equações de Kepler dependem de trigonometria. (5) Vibração mecânica: oscilador massa-mola x(t) = A cos(ωt + φ); movimento de pêndulo (ângulos pequenos) é cosseno. (6) Gráficos 3D: cada matriz de rotação tem entradas cos/sen; toda animação suave envolve trigonometria. (7) GPS: trilateração usa Lei dos Cossenos esférica. (8) Cálculo de potência: potência real = V × I × cos(φ) onde φ é o ângulo de fase entre tensão e corrente — o famoso "fator de potência" na engenharia elétrica.

sen²(x) + cos²(x) = 1 para todo número real x. A identidade é literalmente o teorema de Pitágoras aplicado ao círculo unitário: todo ponto em um círculo de raio 1 tem coordenadas (cos(x), sen(x)), e a distância desse ponto à origem é √(cos²(x) + sen²(x)). Mas o ponto está no círculo unitário, então sua distância é exatamente 1, dando cos²(x) + sen²(x) = 1. A identidade vale para qualquer ângulo x — positivo, negativo, irracional, complexo — e é a base para toda a teia de identidades trigonométricas: divida ambos os lados por cos²(x) e obtenha 1 + tan²(x) = sec²(x); divida por sen²(x) e obtenha 1 + cot²(x) = csc²(x); use-a para expressar sen em função de cos (sen(x) = ±√(1 − cos²(x))) quando você conhece um e precisa do outro. No cálculo, essa identidade simplifica a maioria das integrais que envolvem √(1 − x²) via a substituição x = sen(θ). Na física, a conservação de probabilidade na mecânica quântica é uma identidade pitagórica disfarçada. Três mil anos de geometria destilados em uma equação minúscula.

Sim, mas exige cuidado por causa da precisão em ponto flutuante. A abordagem ingênua — converter 10⁶ radianos a um valor em [0, 2π) calculando 10⁶ mod (2π) — falha porque 2π é irracional, e a matemática padrão em precisão dupla dá apenas cerca de 15-16 dígitos significativos. Quando você reduz 10⁶ subtraindo ~159.154 rotações completas de 2π, o resultado só tem precisão de cerca de 10 dígitos na fração de radianos — o que vaza na resposta do cosseno. Para cos(10⁶) o vazamento é pequeno (~10⁻⁷ de erro), mas para cos(10²⁰) ele domina toda a resposta. Bibliotecas de alta precisão (redução de argumento Payne-Hanek, usada em glibc, MSVC e bibliotecas matemáticas da Apple) guardam π com milhares de bits de precisão e fazem a redução em precisão estendida especificamente para manter cossenos de argumentos grandes precisos. Math.cos do JavaScript usa precisão dupla por toda parte e é confiável até cerca de 15 dígitos para argumentos até ~10¹⁵; além disso, reduza o argumento antes ou use uma biblioteca de múltipla precisão. Para simulações físicas, a prática mais segura é manter os ângulos módulo 2π desde o início e não deixá-los crescer.

Tabela de valores comuns de cosseno

Ângulo (°)Ângulo (Radianos)cos(ângulo)cos(ângulo)
0°011
30°π/6√3/20.8660
45°π/4√2/20.7071
60°π/31/20.5
90°π/200
120°2π/3-1/2-0.5
135°3π/4-√2/2-0.7071
150°5π/6-√3/2-0.866
180°π-1-1
210°7π/6-√3/2-0.866
225°5π/4-√2/2-0.7071
240°4π/3-1/2-0.5
270°3π/200
300°5π/31/20.5
315°7π/4√2/20.7071
330°11π/6√3/20.866
360°2π11
Calculadora de Cosseno — Calculadora de cosseno cos(x) e arccos(x). Círculo unitário, Lei dos Cossenos, série de Taylor, triângulo 30-60-90, grau
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