Calculadora de Derivada & Integral

O que é uma Calculadora de Derivada & Integral?

Uma calculadora de derivada e integral é uma ferramenta de matemática simbólica que calcula derivadas (taxas de mudança) e integrais (área sob curvas) de funções matemáticas. Ao contrário de calculadoras numéricas, ela fornece soluções simbólicas exatas e pode mostrar o trabalho passo a passo.

Esta calculadora lida com uma ampla gama de funções, incluindo polinômios, funções trigonométricas, funções exponenciais e logarítmicas, e suas combinações. É uma ferramenta essencial para estudantes aprendendo cálculo e profissionais trabalhando com modelos matemáticos.

Derivadas

Definição

A derivada de uma função f(x) representa a taxa instantânea de mudança da função em relação à sua variável. É definida como:

f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x)) / h

Regras Comuns de Derivadas

• Regra da Potência: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
• Regra do Produto: d/dx(f·g) = f'·g + f·g'
• Regra do Quociente: d/dx(f/g) = (f'·g - f·g') / g²
• Regra da Cadeia: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)

Derivadas Trigonométricas

• d/dx(sin x) = cos x
• d/dx(cos x) = -sin x
• d/dx(tan x) = sec² x

Derivadas Exponenciais & Logarítmicas

• d/dx(eˣ) = eˣ
• d/dx(ln x) = 1/x
• d/dx(aˣ) = aˣ·ln a

Integrais

Definição

A integral de uma função f(x) representa a área sob a curva de um ponto inicial a um ponto final. A integral indefinida (antiderivada) é uma função cuja derivada é f(x):

∫f(x)dx = F(x) + C, onde F'(x) = f(x)

Regras Comuns de Integrais

• Regra da Potência: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
• Regra da Soma: ∫(f + g)dx = ∫f dx + ∫g dx
• Múltiplo Constante: ∫k·f dx = k·∫f dx

Integrais Trigonométricas

• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫sec² x dx = tan x + C

Integrais Exponenciais & Logarítmicas

• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C

Aplicações de Derivadas e Integrais

Derivadas e integrais têm inúmeras aplicações no mundo real:

• Física: Velocidade e aceleração (derivadas), deslocamento (integrais)
• Economia: Custo marginal e receita (derivadas), custo total (integrais)
• Engenharia: Problemas de otimização, análise de tensão, processamento de sinais
• Biologia: Taxas de crescimento populacional, modelagem de concentração de drogas
• Computação Gráfica: Interpolação de curvas e animação
• Aprendizado de Máquina: Otimização por descida de gradiente
• Estatística: Funções de densidade de probabilidade e distribuições cumulativas

Guia de Sintaxe de Funções

Use a seguinte sintaxe para inserir funções:

• Operações básicas: +, -, *, /, ^ (potência)
• Funções: sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), log(x), sqrt(x), abs(x)
• Constantes: e (número de Euler), pi
• Use parênteses para agrupar operações: (x+1)^2
• Use multiplicação explícita: escreva 2*x, não 2x

Dicas para Usar a Calculadora

• Sempre use símbolos de multiplicação explícitos (escreva 2*x, não 2x)
• Use parênteses para deixar clara a ordem das operações
• Para funções trigonométricas, o argumento está em radianos
• Verifique seu resultado derivando uma integral (deve obter a função original)
• Lembre-se de que integrais indefinidas incluem uma constante arbitrária C