Calculadora
Matemáticas
IngenieríaCalculadora de Derivadas e Integrales
Deriva o integra una función simbólicamente y luego evalúa el resultado en un punto o calcula una integral definida sobre [a, b]. Gratis, al instante.
¿Tienes comentarios? Reporta errores, sugiere funciones o comparte tus ideas — leemos todos¿Qué es una calculadora de derivadas e integrales?
Una calculadora de derivadas e integrales es una herramienta de matemática simbólica que calcula derivadas (tasas de cambio instantáneas) y antiderivadas o integrales (áreas bajo curvas) de funciones matemáticas. A diferencia de una calculadora numérica plana que devuelve un solo número, un motor simbólico devuelve la respuesta algebraica exacta — por ejemplo, la derivada de x³ se devuelve como 3x², no un decimal en un punto concreto.
Esta calculadora maneja polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmos y composiciones arbitrarias de los anteriores. Está pensada para estudiantes de cálculo de una variable, ingenieros que verifican un trabajo a mano y cualquiera que necesite derivar o integrar una función con rapidez sin abrir Wolfram Mathematica ni SymPy. Las dos operaciones — derivar e integrar — son inversas entre sí, idea central del Teorema Fundamental del Cálculo que revolucionó las matemáticas a finales del siglo XVII.
Derivadas
Definición
La derivada de una función f(x) es la tasa de cambio instantánea de f respecto a x. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x, f(x)). La definición rigurosa es el límite de la pendiente de una recta secante cuando los dos extremos se juntan:
f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) − f(x)) / h
Reglas comunes de derivación
- Regla de la potencia: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Regla del producto: d/dx(f·g) = f'·g + f·g'
- Regla del cociente: d/dx(f/g) = (f'·g − f·g') / g²
- Regla de la cadena: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)
Derivadas trigonométricas
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec² x
Derivadas exponenciales y logarítmicas
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
Integrales
Definición
La integral de f(x) representa el área con signo bajo la curva y = f(x). La integral indefinida (antiderivada) es la familia de funciones cuya derivada es f(x); la integral definida calcula un área específica entre dos límites:
∫f(x) dx = F(x) + C, donde F'(x) = f(x)
Reglas comunes de integración
- Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- Regla de la suma: ∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx
- Múltiplo constante: ∫k·f dx = k·∫f dx
Integrales trigonométricas
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec² x dx = tan x + C
Integrales exponenciales y logarítmicas
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫(1/x) dx = ln|x| + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C
Aplicaciones de derivadas e integrales
Las derivadas e integrales aparecen en todas las disciplinas cuantitativas:
- Física: la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración la derivada de la velocidad; el desplazamiento es la integral de la velocidad
- Economía: el coste marginal y el ingreso marginal son derivadas; el coste total es la integral del coste marginal
- Ingeniería: los problemas de optimización igualan las derivadas a cero; el análisis de esfuerzos integra funciones de carga; el procesamiento de señales usa ambos
- Biología: las tasas de crecimiento poblacional y los modelos de concentración de fármacos son ecuaciones diferenciales
- Gráficos por computadora: las curvas Bézier y B-spline se definen mediante derivadas; la animación basada en física integra fuerzas en el tiempo
- Aprendizaje automático: el descenso de gradiente — el algoritmo tras toda red neuronal — funciona calculando derivadas de la función de pérdida
- Estadística: las funciones de densidad de probabilidad son derivadas de las funciones de distribución acumulada; los valores esperados son integrales
Guía de sintaxis de funciones
Usa la siguiente sintaxis para introducir funciones:
- Operaciones básicas: +, −, *, /, ^ (potencia)
- Funciones: sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), log(x), sqrt(x), abs(x)
- Constantes: e (número de Euler), pi
- Usa paréntesis para agrupar: (x+1)^2
- Multiplicación explícita: escribe 2*x, no 2x
Consejos para usar la calculadora
- Usa siempre símbolos explícitos de multiplicación (escribe 2*x, no 2x)
- Usa paréntesis para dejar claro el orden de operaciones
- En funciones trigonométricas, el argumento está en radianes
- Verifica tu resultado derivando una integral (deberías recuperar la función original)
- Recuerda que las integrales indefinidas incluyen una constante arbitraria C
Preguntas Frecuentes
Dice dos cosas, ambas sorprendentes. Primera (parte de derivación): si defines F(x) como el área bajo la gráfica de f desde un punto fijo a hasta x, entonces F es derivable y F'(x) = f(x). Acumular área es exactamente lo inverso de tomar pendiente instantánea. Segunda (parte de evaluación): para calcular una integral definida ∫ᵃᵇ f(x) dx — el área real — buscas cualquier antiderivada F de f y haces F(b) − F(a). Nunca tienes que evaluar la definición por límites; basta con consultar una antiderivada en una tabla. Este teorema, descubierto independientemente por Newton (1666) y Leibniz (1675), convirtió el cálculo de curiosidad en motor de la física. Antes de él, calcular el área bajo una parábola era resultado de tesis de licenciatura por el método de exhaución; después, cualquier estudiante de bachillerato podía hacerlo en dos líneas. El teorema también explica por qué los físicos escriben sin reparos «trabajo = ∫ F·dx»: saben que integrar fuerza respecto a posición equivale a deshacer una derivación, lo cual conecta directamente con la energía potencial.
Después de obtener la respuesta simbólica, esta calculadora puede sustituir un número por ti. Para una derivada (o n-ésima derivada), escribe el valor en el campo «Evaluar en» — por ejemplo introduce 2 para obtener la pendiente f'(2) como un número real, no como fórmula. La herramienta sustituye ese valor en la derivada simplificada usando el motor matemático integrado e imprime f'(2) = N bajo el resultado. Esto es justo lo que suele necesitar un ingeniero o analista: la fórmula f'(x) = 3x² es solo el primer paso; el número f'(2) = 12 es la tasa marginal, la pendiente de la tangente o la velocidad instantánea en ese punto. Si la expresión contiene constantes simbólicas distintas de tu variable (digamos un parámetro a), la evaluación fallará porque el valor no es totalmente numérico — sustituye o elimina esos símbolos primero. Deja el campo vacío para obtener solo la respuesta simbólica.
Cambia la operación a Integral, introduce tu función y rellena las cotas «Desde» y «Hasta» que aparecen. La herramienta primero halla una antiderivada F(x) de forma simbólica y luego aplica el Teorema Fundamental del Cálculo: la integral definida sobre [a, b] es F(b) − F(a). Descarta el «+ C» (que siempre se cancela en una integral definida) e imprime el área numérica, p. ej. ∫[0, 2] x^2 dx = 2,6667. Deja ambas cotas vacías para obtener solo la integral indefinida (antiderivada + C). Dos advertencias: el motor de integración maneja reglas elementales — potencias x^n, sumas, múltiplos constantes, sin(x), cos(x), e^x, a^x y 1/x — pero no integración por partes ni sustitución en tiempo de ejecución, así que una función como sin(2*x) o x*e^x indicará que no se puede integrar. Y las cotas deben ser números simples; no se admiten límites simbólicos.
Aplica la definición por límites: f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) − f(x))/h. Con f(x) = x², el numerador es (x+h)² − x² = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h². Divide por h: 2x + h. Toma el límite cuando h tiende a 0: el término con h desaparece y queda 2x. Así que f'(x) = 2x. Geométricamente cuadra: en x = 0 la curva es plana (pendiente 0 = 2·0), en x = 1 la pendiente es 2 (la tangente sube una unidad por cada media unidad horizontal), en x = −3 la pendiente es −6 (caída pronunciada). La regla de la potencia d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ generaliza exactamente este mismo argumento: con x³ obtienes 3x² porque la expansión cúbica tiene un término líder 3x²h que sobrevive; con x⁴ obtienes 4x³; y así sucesivamente. El patrón funciona para todo exponente real — fraccionario, negativo, irracional —, aunque la prueba para exponentes no enteros necesita la regla de la cadena y la derivada logarítmica. Por eso la regla de la potencia es lo primero que todo estudiante de cálculo memoriza: maneja polinomios y la mayoría de expresiones algebraicas al instante.
Usa la regla de la cadena siempre que tu función sea composición de dos funciones — una «de fuera» aplicada a una «de dentro». Por ejemplo sin(x²) es el seno de x al cuadrado; cos(3x + 1) es el coseno de una expresión lineal; e^(−x²) es exp aplicada a −x². La regla dice: deriva la función de fuera evaluada en la de dentro y multiplica por la derivada de la de dentro. Así d/dx[sin(x²)] = cos(x²) · 2x. Para e^(−x²), la de fuera es exp (derivada también exp), la de dentro es −x² (derivada −2x), dando −2x · e^(−x²). Identifica composiciones preguntando «¿qué haría si x fuese una sola variable u?» — luego aplica la respuesta a u = g(x) y multiplica por g'(x). La regla de la cadena es la más usada en cálculo porque casi toda función interesante es una composición: ln(sin x), (3x+5)^7, √(x²+1), etcétera. También es lo que hace entrenables a las redes neuronales — la retropropagación es solo la regla de la cadena aplicada repetidamente a las capas.
Porque dos funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada. Si F(x) es una antiderivada de f(x), también lo son F(x) + 7, F(x) + π o F(x) − 1000 — todas derivan a f(x), porque la derivada de cualquier constante es cero. Así que cuando calculas ∫f(x) dx, la respuesta no es una función única sino toda una familia de funciones, desplazadas verticalmente unas de otras. Escribimos «+ C» para reconocer que ahí podría haber cualquier constante. No es pedantería — importa en física. Si integras la aceleración para hallar la velocidad, el +C es la velocidad inicial, que no puedes recuperar solo de la aceleración. Si integras velocidad para hallar posición, el +C es la posición inicial. En una integral definida ∫ᵃᵇ f(x) dx, el +C se cancela porque calculas F(b) + C − (F(a) + C), que es F(b) − F(a). Así, las integrales definidas no necesitan +C, pero las indefinidas siempre. Olvidar +C en un examen cuesta un punto; olvidar las condiciones iniciales en un problema de física te cuesta la respuesta.
La integración simbólica produce una fórmula exacta: ∫x² dx = x³/3 + C, ∫sin(x) dx = −cos(x) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C. La respuesta es una expresión algebraica que puedes manipular más. Esta calculadora hace integración simbólica. La integración numérica produce un número que aproxima una integral definida: ∫₀¹ e^(−x²) dx ≈ 0,7468. No te dice qué pinta tiene la antiderivada, pero te da el área. La mayor parte de las integrales del mundo real se calculan numéricamente con métodos como la regla de Simpson, la del trapecio o la cuadratura de Gauss — porque los integrandos del mundo real rara vez tienen antiderivadas en forma cerrada bonita. scipy.integrate.quad de SciPy, integral() de MATLAB y la biblioteca estándar de Python usan esquemas numéricos sofisticados. Elige simbólica si necesitas la fórmula (derivar más, resolver ecuaciones diferenciales algebraicamente, simplificar); elige numérica si solo necesitas un valor definido con cierta precisión y el integrando podría no tener antiderivada elemental.
Son las dos inversas de las reglas de derivación — la sustitución invierte la regla de la cadena y la integración por partes invierte la regla del producto. Sustitución (u-sustitución): cuando ves una función y su derivada presentes en el integrando, haz u igual a la función interna y reemplaza dx por du/g'(x). Ejemplo: ∫ 2x·cos(x²) dx — toma u = x², du = 2x dx, la integral pasa a ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C. Integración por partes: cuando el integrando es un producto, ∫u dv = uv − ∫v du. Elige u tal que u' sea más simple que u, y dv tal que v sea fácil de hallar. Ejemplo: ∫x·eˣ dx — toma u = x (así du = dx) y dv = eˣ dx (así v = eˣ), dando x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C. La regla mnemotécnica LIATE (Logaritmo, Inversa trig, Algebraica, Trig, Exponencial) ayuda a elegir u — prueba con el tipo que aparece antes en la lista. Estos dos trucos más la descomposición en fracciones simples manejan la inmensa mayoría de las integrales de un curso de cálculo.
Porque la familia de funciones elementales — polinomios, exponenciales, logaritmos, trigonométricas e inversas, combinadas mediante suma, multiplicación, división y composición — es cerrada bajo derivación pero NO bajo integración. El contraejemplo clásico es ∫e^(−x²) dx, la integral que da la distribución normal. Aunque el integrando parece una composición simple de exp y una cuadrática, no existe ninguna combinación finita de funciones elementales cuya derivada sea e^(−x²). Joseph Liouville lo demostró en 1835: probó que si tal antiderivada existiera, tendría que tener una forma algebraica específica, y derivó una contradicción. La misma suerte corren ∫(sin x)/x dx, ∫√(1 + x³) dx, ∫1/ln(x) dx y muchas otras. Estas integrales sí tienen antiderivadas — existen como funciones —, simplemente no pueden escribirse usando el kit elemental. Los matemáticos han creado nombres para funciones especiales: a la integral de e^(−x²) se la llama función de error erf(x), a la de (sin x)/x se la llama Si(x), y así. Por tanto «no se puede integrar» no significa «imposible» — significa «no existe fórmula elemental, así que o le damos un nombre nuevo o calculamos numéricamente».
Todo modelo moderno de aprendizaje automático se entrena por descenso de gradiente, que es cálculo repetido millones de veces. Tienes una función de pérdida L(θ) — un único número que mide cuánto se equivocan las predicciones del modelo respecto a los datos de entrenamiento, en función de los parámetros θ (que pueden ser miles de millones de números en un gran modelo de lenguaje). Quieres encontrar el θ que minimice L. El cálculo dice: en un mínimo, el gradiente ∇L es cero. El descenso de gradiente usa la regla de la cadena para calcular ∂L/∂θᵢ para cada parámetro θᵢ, y luego da un pequeño paso en la dirección de gradiente negativo: θ ← θ − α·∇L. Repite miles de veces. La regla de la cadena es esencial porque L es una composición profunda: la entrada pasa por la capa 1, luego la 2, …, y luego se calcula la pérdida. La retropropagación — inventada por Linnainmaa (1970), redescubierta y popularizada por Rumelhart, Hinton y Williams (1986) — es la regla de la cadena aplicada hacia atrás por las capas, calculando eficientemente todas las derivadas parciales en una pasada. Sin derivación simbólica (o su primo moderno, la derivación automática de PyTorch y TensorFlow), las redes neuronales no se podrían entrenar. Así que cuando ChatGPT genera una frase, debajo está trabajando el cálculo.
CALCULADORAS MATEMáTICAS32
WUTOOLS