Calculadora de Derivadas e Integrales

¿Qué es una Calculadora de Derivadas e Integrales?

Una calculadora de derivadas e integrales es una herramienta matemática simbólica que calcula derivadas (tasas de cambio) e integrales (área bajo curvas) de funciones matemáticas. A diferencia de las calculadoras numéricas, proporciona soluciones simbólicas exactas y puede mostrar el trabajo paso a paso.

Esta calculadora maneja una amplia gama de funciones incluyendo polinomios, funciones trigonométricas, funciones exponenciales y logarítmicas, y sus combinaciones. Es una herramienta esencial para estudiantes que aprenden cálculo y profesionales que trabajan con modelos matemáticos.

Derivadas

Definición

La derivada de una función f(x) representa la tasa instantánea de cambio de la función con respecto a su variable. Se define como:

f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x)) / h

Reglas Comunes de Derivadas

• Regla de la Potencia: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
• Regla del Producto: d/dx(f·g) = f'·g + f·g'
• Regla del Cociente: d/dx(f/g) = (f'·g - f·g') / g²
• Regla de la Cadena: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)

Derivadas Trigonométricas

• d/dx(sin x) = cos x
• d/dx(cos x) = -sin x
• d/dx(tan x) = sec² x

Derivadas Exponenciales y Logarítmicas

• d/dx(eˣ) = eˣ
• d/dx(ln x) = 1/x
• d/dx(aˣ) = aˣ·ln a

Integrales

Definición

La integral de una función f(x) representa el área bajo la curva desde un punto inicial hasta un punto final. La integral indefinida (antiderivada) es una función cuya derivada es f(x):

∫f(x)dx = F(x) + C, donde F'(x) = f(x)

Reglas Comunes de Integrales

• Regla de la Potencia: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
• Regla de la Suma: ∫(f + g)dx = ∫f dx + ∫g dx
• Múltiplo Constante: ∫k·f dx = k·∫f dx

Integrales Trigonométricas

• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫sec² x dx = tan x + C

Integrales Exponenciales y Logarítmicas

• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C

Aplicaciones de Derivadas e Integrales

Las derivadas e integrales tienen innumerables aplicaciones en el mundo real:

• Física: Velocidad y aceleración (derivadas), desplazamiento (integrales)
• Economía: Costo marginal e ingreso (derivadas), costo total (integrales)
• Ingeniería: Problemas de optimización, análisis de tensión, procesamiento de señales
• Biología: Tasas de crecimiento poblacional, modelado de concentración de medicamentos
• Gráficos por Computadora: Interpolación de curvas y animación
• Aprendizaje Automático: Optimización por descenso de gradiente
• Estadística: Funciones de densidad de probabilidad y distribuciones acumulativas

Guía de Sintaxis de Funciones

Use la siguiente sintaxis para ingresar funciones:

• Operaciones básicas: +, -, *, /, ^ (potencia)
• Funciones: sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), log(x), sqrt(x), abs(x)
• Constantes: e (número de Euler), pi
• Use paréntesis para agrupar operaciones: (x+1)^2
• Use multiplicación explícita: escriba 2*x, no 2x

Consejos para Usar la Calculadora

• Siempre use símbolos de multiplicación explícitos (escriba 2*x, no 2x)
• Use paréntesis para aclarar el orden de las operaciones
• Para funciones trigonométricas, el argumento está en radianes
• Verifique su resultado derivando una integral (debería obtener la función original)
• Recuerde que las integrales indefinidas incluyen una constante arbitraria C