Más juegos en WuGames.ioPatrocinadoDescubre juegos de navegador gratis — juega al instante, sin descargas ni registro.Jugar
Herramientas de Cálculo CalculadoraHerramientas Matemáticas Matemáticas

Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

Resuelve ax² + bx + c = 0 paso a paso: raíces reales o complejas, discriminante Δ, vértice, relaciones de Vieta y forma factorizada. Fracciones exactas.

Ingrese los coeficientes para ax² + bx + c = 0
x2 +
x +
= 0
Análisis de las raíces
clearClearselectSelectcopyCopy

¿Cómo Resolver Ecuaciones Cuadráticas?

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado en una variable x con la forma:

ax2 + bx + c = 0

Las soluciones (raíces) de la ecuación se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática:

x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / (2a)

El discriminante (Δ = b² - 4ac) determina la naturaleza de las raíces:

  • Si Δ >0: Dos raíces reales distintas
  • Si Δ = 0: Una raíz real repetida (dos raíces iguales)
  • Si Δ < 0: Dos raíces complejas conjugadas

Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas describen cualquier proceso en que dos variables se relacionan mediante un polinomio de grado 2, lo que las hace omnipresentes en ciencia e ingeniería. En física, la altura de un proyectil bajo gravedad constante es y(t) = y₀ + v₀t − ½gt², una cuadrática cuya raíz positiva es el tiempo de impacto. En óptica y arquitectura, la sección de todo reflector parabólico — desde los faros de un coche hasta el radiotelescopio de 305 m de Arecibo — es la gráfica y = ax². En ingeniería eléctrica, la frecuencia de resonancia de un circuito RLC y la impedancia óptima para máxima transferencia de potencia se reducen a resolver una cuadrática en ω o R. En finanzas, el análisis de punto de equilibrio con curvas de coste cuadráticas y la rentabilidad al vencimiento de un bono con dos flujos futuros son cuadráticos en la tasa de descuento. Hasta las leyes de Kepler, la balística de cada proyectil del siglo XVII y la regla de actualización de pesos del AdaBoost moderno se reducen a ax² + bx + c = 0.

Sobre este solucionador de ecuaciones cuadráticas

Introduce los tres coeficientes a, b, c de la ecuación ax² + bx + c = 0 (con a distinto de cero) y el solucionador devuelve ambas raíces, el discriminante Δ con una etiqueta de veredicto en color y un panel completo de 'Análisis de las raíces': el vértice de la parábola, el eje de simetría, las fórmulas de Vieta (suma −b/a y producto c/a de las raíces) y la forma factorizada a(x − x₁)(x − x₂). La resolución completa aparece además en el cuadro 'Pasos de la solución'. Las raíces reales se muestran en decimal redondeado a 10 cifras significativas y las complejas en la forma p ± qi cuando Δ < 0. Una raíz doble verdadera se detecta con una tolerancia de redondeo, así que coeficientes escritos como decimales o expresiones siguen mostrando Δ = 0 en vez de dos raíces que difieren en el último dígito. Todo el cálculo se hace en tu navegador — sin ida y vuelta al servidor — así que funciona también sin conexión una vez cargada la página.

Preguntas Frecuentes

Para cualquier ecuación ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0, las dos raíces son x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). El signo ± produce las dos soluciones: con + se obtiene x₁ y con − se obtiene x₂. La fórmula se deduce completando cuadrados sobre la forma general y es la base a la que se reducen el resto de métodos (factorización, gráficas). El solucionador la aplica directamente e imprime cada paso de sustitución.

El discriminante Δ = b² − 4ac es la parte bajo la raíz cuadrada de la fórmula y su signo decide el tipo de raíces. Δ > 0: dos raíces reales distintas (la parábola corta el eje X en dos puntos). Δ = 0: una raíz real doble (la parábola toca el eje X en su vértice). Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas p ± qi (la parábola no toca el eje X). El discriminante se muestra en un campo propio sobre las raíces para que lo veas sin recurrir al gráfico.

Con a = 1, b = −3, c = 2: discriminante Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1, así que hay dos raíces reales distintas. Aplicando la fórmula: x = (3 ± √1) / 2 = (3 ± 1) / 2, dando x₁ = 2 y x₂ = 1. Este es el ejemplo por defecto del solucionador — pulsa 'Resolver' y verás aparecer exactamente estos pasos en el cuadro.

Sí. Cuando el discriminante es negativo, el solucionador calcula √(−Δ) como parte imaginaria y muestra las raíces en la forma p ± qi, con p = −b/(2a) y q = √(−Δ)/(2|a|). Por ejemplo x² + x + 1 = 0 tiene Δ = 1 − 4 = −3, así que x = (−1 ± √3·i)/2 = −0,5 ± 0,866…·i. La magnitud imaginaria q siempre se muestra positiva, de modo que las dos conjugadas quedan bien etiquetadas incluso cuando a es negativo.

No. Si a = 0 la ecuación es lineal (bx + c = 0), con una sola solución x = −c/b (si b ≠ 0). El solucionador exige a ≠ 0 y avisa en caso contrario. Para una ecuación lineal usa un solucionador lineal — la fórmula cuadrática tiene 2a en el denominador, así que con a = 0 se dividiría por cero.

Si x₁ y x₂ son las raíces de ax² + bx + c = 0, la ecuación factoriza como a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Las relaciones x₁ + x₂ = −b/a y x₁·x₂ = c/a (fórmulas de Vieta) salen directamente de expandir ese producto. Factorizar y aplicar la fórmula dan siempre las mismas raíces; factorizar suele ser más rápido con a, b, c enteros pequeños, pero la fórmula funciona siempre.

El vértice está sobre el eje de simetría x = −b/(2a). Sustituyendo ese x se obtiene la coordenada y del vértice: y = c − b²/(4a) = −Δ/(4a). Para y = x² − 3x + 2 el vértice es (1,5; −0,25). El vértice es el mínimo de la parábola cuando a > 0 y el máximo cuando a < 0 — útil en problemas de optimización donde se busca el valor más pequeño o más grande del polinomio cuadrático. Todo esto aparece en el panel 'Análisis de las raíces' bajo las raíces, etiquetado como mínimo o máximo según el signo de a.

Pulsa 'Resolver' y lee el panel 'Análisis de las raíces' bajo las raíces. Muestra el vértice (x, y) etiquetado como mínimo (a > 0) o máximo (a < 0) — justo lo que necesitas en problemas de optimización como la flecha mínima de una viga, la máxima transferencia de potencia o el punto de equilibrio/beneficio máximo — además del eje de simetría x = −b/(2a), la suma (−b/a) y el producto (c/a) de las raíces según Vieta como comprobaciones rápidas, y la forma factorizada a(x − x₁)(x − x₂). Con raíz doble la factorización se reduce a a(x − r)², y con raíces complejas se escribe a((x − p)² + q²).

Movimiento de proyectiles: la altura en función del tiempo es cuadrática, así que averiguar cuándo cae al suelo una pelota es resolver una ecuación cuadrática. Geometría: el área de un rectángulo cuyos lados difieren en una cantidad fija lleva a una cuadrática. Finanzas: los problemas de 'encontrar la tasa' con interés compuesto y los modelos de punto de equilibrio se reducen a cuadráticas. Ingeniería: flecha de vigas, reflectores parabólicos, antenas y resonancia de circuitos RLC se apoyan en relaciones cuadráticas.
Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas — Resuelve ax² + bx + c = 0 paso a paso: raíces reales o complejas, discriminante Δ, vértice, relaciones de Vieta y forma
Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas
Ver también
Calculadoras MatemáticasCALCULADORAS MATEMáTICAS32
WuToolsWUTOOLS