Calculadora
MatemáticasCalculadora de Seno
Calcula sin(x) y arcsin(x) en grados o radianes. Círculo unitario, tabla de valores comunes, Ley de Senos y ejemplos paso a paso para estudiantes e ingenieros.
Cálculo del seno
Calculadora de seno inverso
Resolución por la Ley de los Senos
¿Tienes comentarios? Reporta errores, sugiere funciones o comparte tus ideas — leemos todosLa función seno ( sin(x) )
La función seno, escrita sin(x), es una de las tres funciones trigonométricas principales. En un triángulo rectángulo, sin(θ) equivale a la longitud del lado opuesto al ángulo θ dividida entre la longitud de la hipotenusa — el famoso SOH de SOH-CAH-TOA. Más allá de los triángulos, el seno es la coordenada y de un punto rotado un ángulo x alrededor del origen en un círculo unitario, razón por la que la función se repite cada vuelta completa. El seno aparece por doquier: electricidad alterna, ondas sonoras, luz, mareas oceánicas, péndulos, osciladores armónicos en mecánica cuántica y análisis de Fourier de señales.
La salida de sin(x) siempre está entre −1 y +1, y la gráfica describe una onda suave. Las propiedades clave a recordar son:
- Periodicidad: sin(x) se repite cada 2π radianes (360°), por lo que sin(x) = sin(x + 2kπ) para cualquier entero k. Esto la hace ideal para modelar fenómenos cíclicos.
- Simetría impar: sin(−x) = −sin(x). La curva es simétrica con respecto al origen, a diferencia del coseno que se refleja sobre el eje y.
- Rango acotado: −1 ≤ sin(x) ≤ 1 para todo número real x. Por eso el seno modela ondas cuya amplitud no se dispara.
En un círculo unitario (radio 1, centrado en el origen), si rotas el punto (1, 0) un ángulo x en sentido antihorario, la coordenada y del nuevo punto es sin(x) y la coordenada x es cos(x). Esta definición geométrica extiende el seno a todos los números reales — positivos, negativos o desproporcionadamente grandes — y es la base de cómo las calculadoras evalúan la función.
¿Qué son los Grados (deg °) y los Radianes (rad)?
Las funciones trigonométricas aceptan ángulos en dos unidades estándar: grados y radianes. Confundirlas es una de las fuentes más habituales de respuestas erróneas en deberes de física e ingeniería, así que vale la pena entender la diferencia.
- Grados: una vuelta completa se divide en 360 partes. El número 360 es histórico — tiene como divisores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … lo que facilitaba las fracciones a los astrónomos babilonios hacia el 2000 a.C.
- Radianes: una vuelta completa son 2π ≈ 6,283 radianes. Un radián es el ángulo que en el centro de un círculo subtiende un arco cuya longitud coincide con el radio. Los radianes son la unidad natural en cálculo porque d/dx sin(x) = cos(x) solo cuando x está en radianes.
Para convertir entre las dos unidades, usa estas dos fórmulas — son inversas la una de la otra:
- De grados a radianes: radianes = grados × π180
- De radianes a grados: grados = radianes × 180π
Tabla de valores comunes del seno
| Ángulo (°) | Ángulo (Radianes) | sin(ángulo) | sin(ángulo) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.00 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 0.50 |
| 45° | π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 90° | π/2 | 1 | 1.00 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | 0.50 |
| 180° | π | 0 | 0.00 |
| 210° | 7π/6 | -1/2 | -0.50 |
| 225° | 5π/4 | -√2/2 | -0.7071 |
| 240° | 4π/3 | -√3/2 | -0.8660 |
| 270° | 3π/2 | -1 | -1.00 |
| 300° | 5π/3 | -√3/2 | -0.8660 |
| 315° | 7π/4 | -√2/2 | -0.7071 |
| 330° | 11π/6 | -1/2 | -0.50 |
| 360° | 2π | 0 | 0.00 |
Preguntas Frecuentes
Dibuja un triángulo equilátero con todos los lados de longitud 2 y todos los ángulos de 60°. Pártelo justo por la mitad bajando desde un vértice: obtienes dos triángulos rectángulos idénticos, cada uno con un ángulo de 30° arriba, otro de 60° abajo a la izquierda y uno de 90° donde el corte llega a la base. La hipotenusa sigue siendo 2 (el lado original), y el lado opuesto al ángulo de 30° es exactamente la mitad de la base, es decir, 1. Por la definición SOH, sin(30°) = opuesto ÷ hipotenusa = 1 ÷ 2 = 1/2. Este mismo triángulo da cos(30°) = √3/2 (aplicando Pitágoras al lado restante) y tan(30°) = 1/√3. No son aproximaciones — son valores exactos racionales e irracionales que los estudiantes deben memorizar, y aparecen constantemente en problemas de física sobre planos inclinados y movimiento parabólico a 30° o 60°.
sin(x) toma un ángulo y devuelve una razón entre −1 y 1. sin⁻¹(x), también escrito arcsin(x) o asin(x), toma una razón entre −1 y 1 y devuelve un ángulo. Son operaciones inversas, así que sin(arcsin(0,5)) = 0,5 y arcsin(sin(30°)) = 30°. El detalle sutil es que el seno no es uno a uno — sin(30°), sin(150°), sin(390°) valen todos 0,5 — por lo que arcsin debe elegir una respuesta canónica. Por convenio devuelve el ángulo en el rango [−90°, +90°] (o [−π/2, +π/2] en radianes). Por eso esta calculadora muestra dos resultados de arcsin: el valor principal y el ángulo suplementario 180° − principal, que tienen el mismo seno. Aviso de notación: sin⁻¹(x) NO significa 1/sin(x); el recíproco es csc(x), la cosecante. Confundir ambas es un error clásico que tumba exámenes.
Matemáticamente sin(π) = 0 exactamente, pero π en sí no se puede almacenar de forma exacta en una computadora — es un número irracional con infinitas cifras, y la doble precisión IEEE-754 solo conserva las primeras 15–17 cifras significativas. Así que cuando tecleas π, la calculadora utiliza 3,141592653589793, ligeramente menor que el π real. El seno de un número ligeramente menor que π es un número positivo muy pequeño (la serie de Taylor indica que es aproximadamente π − 3,141592653589793 ≈ 1,22e−16). La conclusión: cualquier resultado con exponente e−15 o e−16 debe tratarse como cero, simplemente redondeado por los límites de la aritmética binaria. Las librerías numéricas serias resuelven esto con reducción de argumento de alta precisión (el algoritmo Payne–Hanek), pero el problema de fondo es fundamental: la mayoría de los números reales no son representables en binario.
Usa grados en geometría, topografía, navegación, mecanizado, carpintería o cualquier contexto donde humanos hablan con humanos sobre ángulos — «gira el volante 45 grados» resulta intuitivo. Usa radianes en cálculo, física y programación. La regla d/dx sin(x) = cos(x) solo funciona en radianes; en grados la derivada es (π/180)·cos(x), que es fea. Asimismo, la serie de Taylor sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − … solo converge al valor correcto cuando x está en radianes. La mayoría de lenguajes de programación (math.sin de Python, Math.sin de JavaScript, sin de C) esperan radianes por defecto, por lo que graficar sin(45) en Python devuelve 0,851 en lugar de 0,707 — olvidaste convertir. Ante la duda, convierte con grados × π/180.
La Ley de Senos dice que en cualquier triángulo (no solo en los rectángulos), la razón entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es la misma: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, donde R es el radio del círculo circunscrito. Se usa cuando conoces dos ángulos y un lado (AAS o ASA) o dos lados y un ángulo no incluido (LLA, el caso ambiguo). Es la herramienta principal para resolver triángulos no rectángulos en topografía, donde podrías medir dos ángulos desde una línea base hasta un árbol distante y querer averiguar la distancia al árbol. El caso LLA se llama «ambiguo» porque un lado, otro lado y un ángulo pueden describir a veces dos triángulos distintos — por ejemplo, dos lados de 5 y 7 con un ángulo opuesto de 30° pueden cerrarse en un triángulo de 38° o de 142°. Siempre verifica con la Ley de Cosenos cuando sospeches que el caso ambiguo te ha atrapado.
La definición del seno con triángulo rectángulo solo sirve para ángulos entre 0° y 90° — no puedes tener un triángulo con un ángulo interior de 200°. La definición con círculo unitario soluciona esto. Dibuja un círculo de radio 1 centrado en el origen. Para cualquier ángulo θ (positivo en sentido antihorario desde el eje x positivo, negativo en horario), el punto del círculo en ese ángulo tiene coordenadas (cos θ, sin θ). Para θ = 270°, el punto es (0, −1), así que sin(270°) = −1. Para θ = −90°, el punto también es (0, −1), de modo que sin(−90°) = −1. Para θ = 720° (dos vueltas completas), vuelves a (1, 0), por tanto sin(720°) = 0. El círculo unitario es lo que vuelve al seno periódico, impar y definido para todos los números reales — propiedades imposibles de expresar solo con triángulos.
Casi en cualquier cosa que oscile. La electricidad alterna doméstica es una onda senoidal a 50 Hz (Europa) o 60 Hz (EE. UU.): voltaje(t) = 230 · sin(2π · 50 · t) voltios. Los tonos musicales puros son ondas senoidales — un La 440 Hz por encima del do central es presión del aire variando como sin(2π · 440 · t). Las mareas oceánicas son aproximadamente la suma de una senoide de 12,42 horas (lunar) y otra de 12 horas (solar). El ángulo de un péndulo sigue un seno para oscilaciones pequeñas. La luz, la radio y el Wi-Fi son ondas electromagnéticas modeladas con senos y cosenos. La transformada de Fourier — utilizada en JPEG, MP3, escáneres de resonancia magnética y reconocimiento de voz — descompone cualquier señal en suma de senos y cosenos de distintas frecuencias. Cuando los ingenieros dicen «procesamiento de señales», esencialmente quieren decir «manipular ondas senoidales».
Las calculadoras no guardan una tabla gigantesca de valores; usan un truco en dos pasos. Primero viene la reducción del argumento: toma la entrada x, réstale el mayor múltiplo de 2π que lo mantenga en [0, 2π] y luego usa simetrías (sin(π − x) = sin(x), sin(−x) = −sin(x), sin(π/2 − x) = cos(x)) para plegar el ángulo a [0, π/4]. Después viene la evaluación: en ese pequeño rango, la serie de Taylor sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + … converge vertiginosamente — seis o siete términos bastan para precisión de 15 dígitos. Las calculadoras de bolsillo históricamente usaban CORDIC (1959, Volder), que solo necesita sumas, desplazamientos de bits y una tabla precalculada de arcotangentes — perfecto para hardware sin multiplicador. Las CPU modernas tienen multiplicadores rápidos, así que prefieren polinomios de aproximación como el minimax de Remez. En cualquier caso, la respuesta que ves es buena hasta cerca de media unidad en la última cifra decimal.
Elige el caso que coincida con lo que mediste. Para AAS o ASA conoces dos ángulos y un lado: escribe el ángulo A, el ángulo B y cualquiera de los lados a, b o c — el solucionador halla el tercer ángulo como C = 180° − A − B y escala cada lado a partir de la razón común a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Para LLA (dos lados y un ángulo no incluido) introduces el ángulo A, el lado a (opuesto a A) y el lado b; este es el caso ambiguo. El solucionador calcula sin(B) = b·sin(A)/a: si supera 1, el lado a es demasiado corto y no existe triángulo; en caso contrario B puede ser el valor agudo arcsin o su suplemento 180° − arcsin, y siempre que ambos mantengan A + B < 180° la herramienta muestra AMBOS triángulos para que un topógrafo o navegante decida cuál encaja con su croquis. Elige grados o radianes con el selector de unidad; los resultados se devuelven en la misma unidad. Es exactamente el flujo usado para localizar por intersección un punto lejano a partir de una línea base medida y dos ángulos.
CALCULADORAS MATEMáTICAS32
WUTOOLS