Tính toán
Toán họcMáy tính Sin
Tính sin(x) và arcsin(x) theo độ hoặc radian. Đường tròn đơn vị, bảng giá trị, Định lý sin và ví dụ từng bước cho học sinh, kỹ sư.
Tính giá trị sin
Máy tính arcsin (sin ngược)
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cảHàm số sin ( sin(x) )
Hàm sin, ký hiệu sin(x), là một trong ba hàm lượng giác cơ bản. Trong một tam giác vuông, sin(θ) bằng độ dài cạnh đối diện góc θ chia cho độ dài cạnh huyền — chính là SOH trong câu thần chú SOH-CAH-TOA. Ngoài tam giác, sin là tọa độ y của một điểm sau khi quay góc x quanh gốc tọa độ trên đường tròn đơn vị, nên hàm sin lặp lại sau mỗi vòng quay đầy đủ. Sin xuất hiện ở khắp nơi: dòng điện xoay chiều, sóng âm, ánh sáng, thủy triều, con lắc, dao động điều hòa trong cơ học lượng tử và phân tích Fourier tín hiệu.
Giá trị của sin(x) luôn nằm trong khoảng từ −1 đến +1, đồ thị vẽ thành một sóng mịn. Các tính chất quan trọng cần nhớ là:
- Tính tuần hoàn: sin(x) lặp lại sau mỗi 2π radian (360°), tức là sin(x) = sin(x + 2kπ) với mọi số nguyên k. Đặc tính này khiến sin lý tưởng để mô hình hóa các hiện tượng tuần hoàn.
- Đối xứng lẻ: sin(−x) = −sin(x). Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ, khác với cos đối xứng qua trục y.
- Tập giá trị bị chặn: −1 ≤ sin(x) ≤ 1 với mọi số thực x. Vì vậy sin dùng để mô hình hóa các sóng có biên độ hữu hạn.
Trên đường tròn đơn vị (bán kính 1, tâm tại gốc tọa độ), nếu bạn quay điểm (1, 0) một góc x ngược chiều kim đồng hồ, tọa độ y của điểm mới là sin(x) và tọa độ x là cos(x). Định nghĩa hình học này mở rộng sin cho mọi số thực — dương, âm hay cực lớn — và là nền tảng cho cách máy tính bỏ túi tính giá trị hàm.
Độ (deg °) và Radian (rad) là gì?
Các hàm lượng giác nhận góc theo hai đơn vị tiêu chuẩn: độ và radian. Nhầm lẫn giữa chúng là nguyên nhân hàng đầu khiến bài tập vật lý và kỹ thuật sai kết quả, nên rất đáng để hiểu rõ.
- Độ: một vòng tròn đầy đủ được chia thành 360 phần. Con số 360 mang tính lịch sử — có các ước 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … giúp các nhà thiên văn Babylon khoảng năm 2000 trước Công nguyên dễ dàng chia phân số.
- Radian: một vòng tròn đầy đủ tương đương 2π ≈ 6,283 radian. Một radian là góc tại tâm chắn cung có độ dài bằng bán kính. Radian là đơn vị tự nhiên trong giải tích vì d/dx sin(x) = cos(x) chỉ đúng khi x tính bằng radian.
Để chuyển đổi giữa hai đơn vị, dùng hai công thức sau — là nghịch đảo của nhau:
- Từ độ sang radian: radian = độ × π180
- Từ radian sang độ: độ = radian × 180π
Bảng giá trị sin thông dụng
| Góc (°) | Góc (Radian) | sin(góc) | sin(góc) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.00 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 0.50 |
| 45° | π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 90° | π/2 | 1 | 1.00 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | 0.50 |
| 180° | π | 0 | 0.00 |
| 210° | 7π/6 | -1/2 | -0.50 |
| 225° | 5π/4 | -√2/2 | -0.7071 |
| 240° | 4π/3 | -√3/2 | -0.8660 |
| 270° | 3π/2 | -1 | -1.00 |
| 300° | 5π/3 | -√3/2 | -0.8660 |
| 315° | 7π/4 | -√2/2 | -0.7071 |
| 330° | 11π/6 | -1/2 | -0.50 |
| 360° | 2π | 0 | 0.00 |
Câu hỏi thường gặp
Vẽ một tam giác đều cạnh 2 với cả ba góc đều 60°. Cắt đôi bằng đường thẳng từ một đỉnh xuống cạnh đối diện: bạn được hai tam giác vuông giống hệt nhau, mỗi tam giác có góc 30° ở đỉnh, 60° ở góc dưới-trái và 90° tại chân đường cắt. Cạnh huyền vẫn là 2 (cạnh ban đầu của tam giác đều), còn cạnh đối diện góc 30° đúng bằng nửa đáy, tức là 1. Theo định nghĩa SOH, sin(30°) = đối ÷ huyền = 1 ÷ 2 = 1/2. Cũng tam giác này cho cos(30°) = √3/2 (áp dụng Pythagoras với cạnh còn lại) và tan(30°) = 1/√3. Đây không phải giá trị xấp xỉ — chúng là những giá trị chính xác hữu tỷ và vô tỷ mà học sinh phải thuộc lòng, và xuất hiện liên tục trong các bài vật lý về mặt phẳng nghiêng hay chuyển động ném xiên góc 30° hoặc 60°.
sin(x) nhận một góc và trả về tỷ số nằm giữa −1 và 1. sin⁻¹(x), còn viết là arcsin(x) hay asin(x), nhận một tỷ số trong [−1, 1] và trả về một góc. Chúng là các phép ngược nhau, nên sin(arcsin(0,5)) = 0,5 và arcsin(sin(30°)) = 30°. Điểm tinh tế là sin không phải song ánh — sin(30°), sin(150°), sin(390°) đều bằng 0,5 — nên arcsin phải chọn một câu trả lời chuẩn. Theo quy ước, nó trả về góc trong [−90°, +90°] (hay [−π/2, +π/2] theo radian). Vì thế máy tính này hiển thị hai kết quả arcsin: giá trị chính và góc bù 180° − giá trị chính, cả hai cùng có sin bằng nhau. Lưu ý ký hiệu: sin⁻¹(x) KHÔNG phải 1/sin(x); nghịch đảo của sin là csc(x), cosec. Nhầm hai thứ này là lỗi kinh điển khiến học sinh mất điểm trong kỳ thi.
Về mặt toán học sin(π) = 0 chính xác, nhưng bản thân π không thể lưu trữ chính xác trong máy tính — đó là số vô tỷ với vô số chữ số, còn dạng double IEEE-754 chỉ giữ được 15–17 chữ số có nghĩa đầu tiên. Khi bạn gõ π, máy thực ra dùng 3,141592653589793, nhỏ hơn π thật một chút. Sin của một số nhỏ hơn π một chút là số dương rất nhỏ (chuỗi Taylor cho biết kết quả xấp xỉ π − 3,141592653589793 ≈ 1,22e−16). Bài học: bất kỳ kết quả nào có số mũ dạng e−15 hay e−16 nên được xem là 0, chỉ là làm tròn do giới hạn số học nhị phân. Các thư viện số học nghiêm túc xử lý việc này bằng thuật toán giảm đối số độ chính xác cao Payne–Hanek, nhưng vấn đề gốc là cố hữu: phần lớn số thực không biểu diễn được chính xác bằng nhị phân.
Dùng độ trong hình học, trắc địa, hàng hải, gia công cơ khí, mộc hoặc bất kỳ tình huống nào con người trao đổi với con người về góc — câu "xoay vô-lăng 45 độ" rất trực quan. Dùng radian khi học giải tích, vật lý hay lập trình. Quy tắc đạo hàm d/dx sin(x) = cos(x) chỉ đúng với radian; còn với độ, đạo hàm là (π/180)·cos(x), trông rất xấu. Tương tự, chuỗi Taylor sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − … chỉ hội tụ đúng khi x là radian. Đa số ngôn ngữ lập trình (math.sin của Python, Math.sin của JavaScript, sin của C) mặc định nhận radian, nên vẽ đồ thị sin(45) trong Python ra 0,851 thay vì 0,707 — bạn quên chuyển đổi. Khi nghi ngờ, hãy nhân độ với π/180.
Định lý sin phát biểu rằng trong mọi tam giác (không chỉ tam giác vuông), tỷ số giữa mỗi cạnh và sin của góc đối diện là không đổi: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dùng nó khi biết hai góc và một cạnh (AAS hay ASA) hoặc hai cạnh và một góc không xen giữa (SSA, trường hợp lưỡng nghĩa). Đây là công cụ chính để giải tam giác không vuông trong trắc địa — bạn có thể đo hai góc từ đường gốc tới một cái cây xa và muốn tính khoảng cách tới cây. Trường hợp SSA gọi là "lưỡng nghĩa" vì cùng một cặp cạnh và một góc đôi khi mô tả hai tam giác khác nhau — ví dụ hai cạnh 5 và 7 với góc đối 30° có thể khép thành tam giác 38° hoặc tam giác 142°. Hãy kiểm tra chéo bằng định lý cosin khi nghi ngờ rơi vào trường hợp lưỡng nghĩa.
Định nghĩa sin bằng tam giác vuông chỉ áp dụng cho góc từ 0° đến 90° — không thể có tam giác chứa góc 200° bên trong. Định nghĩa qua đường tròn đơn vị khắc phục điều này. Vẽ đường tròn bán kính 1 tâm tại gốc tọa độ. Với mọi góc θ (dương khi quay ngược chiều kim đồng hồ từ trục x dương, âm khi cùng chiều), điểm trên đường tròn ứng với góc đó có tọa độ (cos θ, sin θ). Với θ = 270°, điểm là (0, −1), nên sin(270°) = −1. Với θ = −90°, điểm cũng là (0, −1), do đó sin(−90°) = −1. Với θ = 720° (hai vòng đầy đủ), bạn quay về (1, 0), nên sin(720°) = 0. Đường tròn đơn vị làm cho sin có tính tuần hoàn, hàm lẻ và xác định trên mọi số thực — những tính chất không thể diễn đạt bằng tam giác.
Hầu như ở bất cứ thứ gì dao động. Điện xoay chiều dân dụng là sóng sin tần số 50 Hz (châu Âu) hoặc 60 Hz (Mỹ): hiệu điện thế(t) = 230 · sin(2π · 50 · t) vôn. Âm thanh nốt nhạc thuần là sóng sin — nốt La 440 Hz trên đô giữa là áp suất không khí biến đổi theo sin(2π · 440 · t). Thủy triều xấp xỉ là tổng của sóng sin chu kỳ 12,42 giờ (mặt trăng) và 12 giờ (mặt trời). Góc lệch của con lắc tuân theo sin với dao động nhỏ. Ánh sáng, sóng radio và Wi-Fi đều là sóng điện từ mô hình hóa bằng sin và cos. Biến đổi Fourier — dùng trong JPEG, MP3, máy chụp MRI, nhận diện giọng nói — phân tích mọi tín hiệu thành tổng các sin và cos ở các tần số khác nhau. Khi kỹ sư nói "xử lý tín hiệu", về cơ bản họ muốn nói "thao tác với sóng sin".
Máy tính không lưu bảng giá trị khổng lồ; chúng dùng mẹo hai bước. Đầu tiên là giảm đối số: nhận đầu vào x, trừ đi bội lớn nhất của 2π sao cho phần dư nằm trong [0, 2π], rồi dùng các đối xứng (sin(π − x) = sin(x), sin(−x) = −sin(x), sin(π/2 − x) = cos(x)) để gấp góc về [0, π/4]. Bước hai là đánh giá: trong khoảng nhỏ đó, chuỗi Taylor sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + … hội tụ cực nhanh — sáu hoặc bảy số hạng cho độ chính xác 15 chữ số. Máy tính bỏ túi xưa hay dùng CORDIC (1959, Volder), chỉ cần phép cộng, dịch bit và bảng arctan tính sẵn — lý tưởng cho phần cứng không có bộ nhân. CPU hiện đại có bộ nhân nhanh nên ưa thích đa thức xấp xỉ kiểu minimax Remez. Dù theo cách nào, kết quả bạn thấy đều chính xác tới khoảng nửa đơn vị ở chữ số thập phân cuối cùng.
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS