Tính toán
Toán họcMáy tính Logarit (log)
Máy tính logarit miễn phí cho mọi cơ số — log₂, log₁₀, ln (logarit tự nhiên) và cơ số tùy chỉnh. Kèm công thức đổi cơ số, quy tắc tích, thương, lũy thừa.
Biểu diễn toán học của lôgarít như sau: logba = c
Điều này có nghĩa là bc = a
Điều này có nghĩa là bc = a
Tính lôgarít đổi cơ số
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cảLogarit là gì?
Logarit trả lời câu hỏi "phải nâng cơ số này lên lũy thừa bao nhiêu để được số kia?". Nếu 10³ = 1000 thì log₁₀(1000) = 3 — cùng một sự thật, hai cách viết. Logarit là phép ngược chính xác của lũy thừa: bất kỳ điều gì bạn làm được bằng cách nâng cơ số lên lũy thừa, logarit sẽ làm ngược lại bằng cách rút ra số mũ. Mối quan hệ ngược đó khiến logarit là công cụ không thể thiếu cho mọi bài toán liên quan đến tăng trưởng hoặc suy giảm theo lũy thừa — lãi kép, phân rã phóng xạ, mức âm thanh đo bằng decibel, độ lớn động đất theo thang Richter, tăng trưởng dân số, lây lan virus, và thời gian chạy của thuật toán tìm kiếm nhị phân.
Ký hiệu chuẩn log_b(a) = c đọc là "logarit cơ số b của a bằng c" và biểu diễn ba đại lượng:
logb(a) = c
- [i]b[/i] là cơ số của logarit — số được nhân lặp lại với chính nó.
- [i]a[/i] là đối số — con số bạn muốn tìm logarit của nó.
- [i]c[/i] là kết quả — bạn phải nâng cơ số [i]b[/i] lên bao nhiêu lần để được [i]a[/i].
Ví dụ
Nếu cơ số là 10 (logarit thập phân, dùng cho pH, decibel, Richter), thì log₁₀(100) = 2 vì [strong]10² = 100[/strong]. Viết là [strong]log₁₀(100) = 2[/strong]. Nếu cơ số là e ≈ 2,71828 (logarit tự nhiên, viết là ln), thì ln(e) = 1, ln(e²) = 2, ... — logarit tự nhiên là phép ngược của hàm mũ eˣ xuất hiện trong các phương trình tăng trưởng liên tục.
Các quy tắc logarit
Quy tắc tích
logb(a × c) = logb(a)+logb(c)
Quy tắc thương
logb(
ac
) = logb(a)-logb(c)Quy tắc lũy thừa
logb(ac) = c × logb(a)
Quy tắc hoán đổi cơ số
logb(c) =
1logc(b)
Quy tắc đổi cơ số
logb(a) =
logc(a)logc(b)
Câu hỏi thường gặp
"log" không có chỉ số mang nghĩa khác nhau trong các lĩnh vực khác nhau. Trong đa số sách toán phổ thông và trên máy tính cầm tay, "log" trống ám chỉ logarit cơ số 10 (logarit thập phân); "ln" cụ thể là logarit cơ số e (logarit tự nhiên, e ≈ 2,71828). Trong khoa học máy tính và lý thuyết thông tin, "log" thường là log cơ số 2. Trong bài báo toán thuần túy, "log" thường là log cơ số e (trùng với ln). Máy tính này tránh sự mập mờ bằng cách luôn yêu cầu bạn nhập cơ số rõ ràng — các badge dưới ô nhập cho phép chọn log₂, ln (logₑ), hoặc log₁₀ chỉ với một cú nhấp. Nếu thấy "log" viết ở đâu mà ngữ cảnh không nói rõ cơ số, mặc định là cơ số 10 trừ khi đó là tài liệu giải tích hoặc toán cao cấp.
Số e (≈ 2,71828) đặc biệt vì đạo hàm của eˣ chính là eˣ — không cơ số nào khác có tính chất này. Điều đó khiến logarit tự nhiên trở thành log "thân thiện với giải tích": đạo hàm của ln(x) đúng bằng 1/x, trong khi đạo hàm của log₁₀(x) lằng nhằng 1/(x ln 10). Mọi quá trình tăng trưởng liên tục — lãi cộng dồn liên tục, phân rã phóng xạ, định luật nguội Newton — đều có tốc độ tỷ lệ với giá trị hiện tại, và tích phân tỷ lệ đó luôn sinh ra e. Vì vậy trong khi cơ số 10 thân thiện hơn với con người cho thang bậc đại lượng (mỗi bậc là ×10), cơ số e là lựa chọn tự nhiên khi toán cơ bản có biến đổi theo thời gian. Đó là lý do vật lý, kỹ thuật và tài chính ưu tiên ln, còn các thang đo đời sống (decibel, pH, Richter) ưu tiên log₁₀.
Để có đáp án chính xác, bạn chỉ giải bằng tay được khi kết quả là số nguyên — log₁₀(1000) = 3, log₂(64) = 6, log₅(125) = 3 — bằng cách nhận ra đối số là lũy thừa của cơ số. Cho các trường hợp không đẹp (log₁₀(7), log₂(50)) bạn cần máy tính, bảng logarit, hoặc khai triển Taylor xấp xỉ. Trước khi có máy tính, các nhà khoa học mang theo bảng log 4 đến 7 chữ số (bảng của Briggs năm 1624 có 14 chữ số thập phân); thước trượt từ 1622 đến 1972 về cơ bản là một bảng log vật lý — phép nhân biến thành phép cộng độ dài. Công thức đổi cơ số log_b(a) = ln(a) / ln(b) là thứ cho phép một máy tính cầm tay cơ bản chỉ có nút ln và log₁₀ vẫn tính log với bất kỳ cơ số nào.
Công thức đổi cơ số: log_b(a) = log_c(a) / log_c(b) với cơ số mới c bất kỳ. Bạn cần nó khi bài toán đòi log cơ số b nhưng công cụ chỉ tính log cơ số 10 hoặc ln. Ví dụ: để tìm log₃(81) trên máy chỉ có log và ln, tính log(81) / log(3) = 1,908 / 0,477 = 4 — và đúng là 3⁴ = 81. Đây cũng là điều khiến độ phức tạp trong khoa học máy tính dùng được: "O(log n)" không quan tâm cơ số vì đổi cơ số chỉ nhân với một hằng số, mà ký hiệu Big O bỏ hằng số đi. Biểu mẫu thứ hai trên trang này dành riêng cho việc đó — cho phép bạn tính log_b(a) rồi đổi sang cơ số mới c chỉ với một cú nhấp.
Cả ba đo các đại lượng trải dài qua nhiều bậc giá trị khổng lồ — cường độ âm thanh từ tiếng thì thầm đến động cơ phản lực trải qua 12 bậc, năng lượng động đất trải qua 10+, pH trải qua 14. Thang tuyến tính sẽ khiến giá trị nhỏ vô hình bên cạnh giá trị lớn. Thang logarit nén dải giá trị — mỗi đơn vị trên thang là một hệ số 10 (hoặc 2 cho vài thang âm) — nên các con số đọc được. Trên thang decibel, 60 dB mạnh gấp 1.000.000 lần 0 dB, nhưng chênh lệch số chỉ là 60. Trên thang Richter, độ lớn 7 giải phóng khoảng 32 lần năng lượng so với độ lớn 6 (Richter cơ số 10 cho biên độ, nhưng chuyển sang năng lượng thêm một số mũ). pH 4 axit gấp mười lần pH 5; pH 3 axit gấp một trăm lần pH 5. Lý do logarit hợp cảm nhận con người là các giác quan (nghe, nhìn, đau) cũng phản ứng xấp xỉ theo logarit (định luật Weber-Fechner).
Có, khi đối số nằm giữa 0 và 1. log₁₀(1) = 0 vì 10⁰ = 1; log₁₀(0,1) = -1 vì 10⁻¹ = 0,1; log₁₀(0,001) = -3 vì 10⁻³ = 0,001. Logarit tiến đến âm vô cực khi đối số tiến về 0 từ phía dương, nên đồ thị log có tiệm cận đứng tại x = 0. Cái KHÔNG tồn tại: logarit của chính số 0 (không lũy thừa nào của một cơ số dương cho ra 0), và logarit của số âm bất kỳ (không lũy thừa thực nào của cơ số dương cho ra kết quả âm — tuy logarit phức có thể xử lý). Nếu bạn yêu cầu máy tính này tính log(0) hoặc log(-5), nó sẽ trả "không xác định". Trong âm học, pH, thang Richter, giá trị log âm là chuyện thường — đơn giản là "nhỏ hơn giá trị tham chiếu".
Năm quy tắc bao gần hết các thao tác đại số: (1) Tích: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) — nhân bên trong thành cộng bên ngoài, quy tắc đã tạo ra thước trượt. (2) Thương: log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). (3) Lũy thừa: log_b(xⁿ) = n × log_b(x) — số mũ chui ra trước, hữu ích khi giải phương trình kiểu 2ˣ = 7 (lấy log hai vế, ra x = log(7)/log(2)). (4) Hoán đổi cơ số: log_b(c) = 1 / log_c(b). (5) Đổi cơ số: log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), đã giới thiệu phía trên. Cùng nhau, chúng cho phép bạn rút gọn bất kỳ biểu thức log nào về dạng máy tính xử lý được. Quy tắc cũng hoạt động ngược chiều — nhận ra rằng tổng các log có thể gộp thành một log thường là chìa khóa giải bài toán.
Hai trường hợp biên quan trọng. log_b(1) = 0 với mọi cơ số b, vì b⁰ = 1 với mọi b — nâng bất cứ gì lên lũy thừa 0 đều cho 1. log_b(b) = 1 với mọi cơ số b, vì b¹ = b — nâng bất kỳ cơ số nào lên lũy thừa 1 đều cho chính nó. Vậy ln(e) = 1, log₁₀(10) = 1, log₂(2) = 1, ... Trường hợp đặc biệt: ln(1) = 0 và log₁₀(1) = 0. Hai đẳng thức này (log của 1 là 0, log của cơ số là 1) neo mọi hàm logarit theo cách khiến đồ thị có thể đoán trước — tất cả đều đi qua (1, 0) và (b, 1). Khi bạn thấy ln(eˣ) = x, đó chỉ là quy tắc lũy thừa cộng với ln(e) = 1: ln(eˣ) = x × ln(e) = x × 1 = x.
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS