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Calculadora de logaritmo grátis para qualquer base — log₂, log₁₀ (log comum), ln (logaritmo natural) e bases customizadas. Mudança de base e regras incluídas.
Uma representação matemática de um logaritmo é a seguinte: logba = c
Isso significa que bc = a
Isso significa que bc = a
Calculadora de Mudança de Base
Tem feedback? Reporte bugs, sugira recursos ou compartilhe suas ideias — lemos todosO que é um logaritmo?
Um logaritmo responde à pergunta "a que potência preciso elevar essa base para obter esse número?". Se 10³ = 1000, então log₁₀(1000) = 3 — o mesmo fato, escrito de duas formas. O logaritmo é o inverso exato da operação exponencial: tudo o que dá para fazer elevando uma base a uma potência, o logaritmo desfaz extraindo o expoente. Essa relação inversa torna os logs indispensáveis em qualquer problema envolvendo crescimento ou decaimento exponencial — juros compostos, decaimento radioativo, níveis sonoros em decibéis, magnitudes de terremoto na escala Richter, crescimento populacional, propagação viral e tempo de execução de busca binária.
A notação padrão log_b(a) = c lê-se "logaritmo de a na base b é igual a c" e representa três quantidades:
logb(a) = c
- [i]b[/i] é a base do logaritmo — o número que é multiplicado repetidamente.
- [i]a[/i] é o argumento — o número cujo logaritmo se procura.
- [i]c[/i] é o resultado — quantas vezes é preciso elevar a base [i]b[/i] para obter [i]a[/i].
Exemplo
Se a base for 10 (logaritmo comum, usado em pH, decibéis e Richter), então log₁₀(100) = 2 porque [strong]10² = 100[/strong]. Escrevemos [strong]log₁₀(100) = 2[/strong]. Se a base for e ≈ 2,71828 (logaritmo natural, escrito ln), então ln(e) = 1, ln(e²) = 2 e assim por diante — o logaritmo natural é o inverso da função exponencial eˣ que aparece em equações de crescimento contínuo.
Regras de logaritmo
Regra do produto
logb(a × c) = logb(a)+logb(c)
Regra do quociente
logb(
ac
) = logb(a)-logb(c)Regra da potência
logb(ac) = c × logb(a)
Regra de troca de base
logb(c) =
1logc(b)
Regra de mudança de base
logb(a) =
logc(a)logc(b)
Perguntas Frequentes
"log" sem subscrito significa coisas diferentes em áreas diferentes. Na maioria dos livros de matemática e em calculadoras, "log" sozinho equivale a log base 10 (logaritmo comum); "ln" especificamente é log base e (logaritmo natural, e ≈ 2,71828). Em ciência da computação e teoria da informação, "log" normalmente significa log base 2. Em artigos de matemática pura, "log" geralmente significa log base e (equivalente a ln). Esta calculadora evita a ambiguidade pedindo a base explicitamente — os atalhos abaixo do campo permitem escolher log₂, ln (logₑ) ou log₁₀ com um clique. Se você ver "log" escrito em algum lugar e o contexto não deixar a base óbvia, assuma base 10, a não ser que o tema seja cálculo ou matemática avançada.
O número e (≈ 2,71828) é especial porque a derivada de eˣ é o próprio eˣ — nenhuma outra base tem essa propriedade. Isso transforma o logaritmo natural no log "amigável ao cálculo": a derivada de ln(x) é exatamente 1/x, enquanto a de log₁₀(x) é a mais bagunçada 1/(x ln 10). Qualquer processo de crescimento contínuo — juros compostos contínuos, decaimento radioativo, lei do resfriamento de Newton — tem taxa proporcional ao valor atual, e integrar essa proporcionalidade sempre produz e. Por isso, embora a base 10 seja mais amigável para ordens de grandeza (cada passo é ×10), a base e é a escolha natural quando a matemática envolve mudança no tempo. É por isso que física, engenharia e finanças preferem ln, enquanto escalas do dia a dia (decibéis, pH, Richter) preferem log₁₀.
Para respostas exatas, só dá para resolver na mão quando o resultado é um número inteiro — log₁₀(1000) = 3, log₂(64) = 6, log₅(125) = 3 — reconhecendo que o argumento é uma potência da base. Para casos não exatos (log₁₀(7), log₂(50)) é preciso calculadora, tábuas de logaritmo ou aproximação por série de Taylor. Antes das calculadoras, cientistas carregavam tábuas de log de 4 a 7 dígitos (a de Briggs de 1624 tinha 14 casas decimais); a régua de cálculo, de 1622 a 1972, era basicamente uma tábua de log física — multiplicação virava soma de distâncias. A fórmula de mudança de base log_b(a) = ln(a) / ln(b) é o que permite a uma calculadora simples com apenas teclas ln e log₁₀ calcular logs em qualquer base.
A fórmula diz log_b(a) = log_c(a) / log_c(b) para qualquer nova base c. Você precisa dela sempre que a situação pede log base b mas sua ferramenta só calcula log base 10 ou ln. Exemplo: para achar log₃(81) numa calculadora que só tem log e ln, faça log(81) / log(3) = 1,908 / 0,477 = 4 — e de fato 3⁴ = 81. Isso também é o que faz a complexidade em computação funcionar: "O(log n)" não depende da base porque mudar a base só multiplica por uma constante, e a notação Big O descarta constantes. O segundo formulário desta página é dedicado a isso — calcula log_b(a) e converte para qualquer base nova c com um clique.
Os três medem grandezas que variam ao longo de uma faixa enorme — intensidade sonora de um sussurro a um motor a jato cobre 12 ordens de grandeza, energia sísmica cobre mais de 10 e pH cobre 14. Uma escala linear faria os valores pequenos desaparecerem ao lado dos grandes. A escala logarítmica comprime a faixa — cada unidade vale um fator 10 (ou 2 em algumas escalas sonoras) — e os números ficam legíveis. Em decibéis, 60 dB é 1.000.000 de vezes mais intenso que 0 dB, mas a diferença numérica é só 60. Em Richter, magnitude 7 libera cerca de 32 vezes mais energia que magnitude 6 (Richter usa base 10 para amplitude, mas converter movimento em energia adiciona outro expoente). pH 4 é dez vezes mais ácido que pH 5; pH 3 é cem vezes mais ácido que pH 5. A razão de o log funcionar para a percepção humana é que nossos sentidos (audição, visão, dor) também respondem aproximadamente em escala logarítmica (lei de Weber-Fechner).
Sim, quando o argumento está entre 0 e 1. log₁₀(1) = 0 porque 10⁰ = 1; log₁₀(0,1) = -1 porque 10⁻¹ = 0,1; log₁₀(0,001) = -3 porque 10⁻³ = 0,001. O logaritmo tende a menos infinito quando o argumento se aproxima de 0 pela direita, por isso gráficos de log têm assíntota vertical em x = 0. O que NÃO existe: o logaritmo do próprio 0 (nenhuma potência de uma base positiva dá 0) e o logaritmo de qualquer número negativo (nenhuma potência real de base positiva dá resultado negativo — embora logaritmos complexos saibam lidar com isso). Se você pedir log(0) ou log(-5) para esta calculadora, ela retorna "indefinido". Em acústica, pH e Richter os valores de log negativos são comuns — significam apenas "menor que o valor de referência".
Cinco regras cobrem quase qualquer manipulação algébrica: (1) Produto: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) — multiplicação por dentro vira soma por fora, a regra que viabilizou a régua de cálculo. (2) Quociente: log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). (3) Potência: log_b(xⁿ) = n × log_b(x) — expoentes saem para a frente, útil para resolver equações tipo 2ˣ = 7 (tira log dos dois lados, ganha x = log(7)/log(2)). (4) Troca de base: log_b(c) = 1 / log_c(b). (5) Mudança de base: log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), mostrada acima. Juntas permitem simplificar qualquer expressão com logs a uma forma que a calculadora consegue. As regras também funcionam ao contrário — perceber que uma soma de logs pode ser combinada em um único log é o que costuma tornar o problema solúvel.
Dois casos limite importantes. log_b(1) = 0 para qualquer base b, porque b⁰ = 1 para qualquer b — elevar qualquer coisa à potência zero dá 1. log_b(b) = 1 para qualquer base b, porque b¹ = b — elevar qualquer base à potência um dá a própria base. Logo, ln(e) = 1, log₁₀(10) = 1, log₂(2) = 1 e assim por diante. Casos especiais: ln(1) = 0 e log₁₀(1) = 0. Essas duas identidades (log de 1 é zero, log da base é um) ancoram toda função logarítmica de forma que os gráficos fiquem previsíveis — todos passam por (1, 0) e (b, 1). Quando você vê ln(eˣ) = x, é a regra da potência combinada com ln(e) = 1: ln(eˣ) = x × ln(e) = x × 1 = x.
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