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MatemáticaCalculadora de Tangente - Tan(x)
Calcule tan(x) e arctan(x) em graus ou radianos. Círculo unitário, tabela de valores, inclinação de retas e exemplos passo a passo para estudantes e engenheiros.
Cálculo da tangente
Calculadora de tangente inversa
Tem feedback? Reporte bugs, sugira recursos ou compartilhe suas ideias — lemos todosA função tangente (tan(x))
A função tangente, escrita tan(x), é uma das três funções trigonométricas principais, ao lado do seno e do cosseno. Num triângulo retângulo, tan(θ) é o cateto oposto ao ângulo dividido pelo cateto adjacente — o TOA do SOH-CAH-TOA. Equivalentemente, tan(x) = sin(x) / cos(x). Geometricamente, tan(θ) mede a inclinação de uma reta que passa pela origem e forma ângulo θ com o eixo x positivo. Essa dupla identidade — razão de lados E inclinação de reta — é a razão pela qual a tangente aparece em topografia, projeto de rampas, óptica, processamento de sinais e regra da cadeia do cálculo.
Diferente do seno e do cosseno, que ficam educadamente entre −1 e +1, a tangente dispara para ±∞ em determinados ângulos. Suas propriedades-chave são:
- Periodicidade: tan(x) repete a cada π radianos (180°), não 2π. Logo tan(x) = tan(x + kπ) para qualquer inteiro k. Esse período mais curto vem diretamente do fato de sin e cos trocarem de sinal juntos a cada π.
- Assíntotas verticais: como cos(x) = 0 em x = π/2, 3π/2, 5π/2, …, a tangente fica indefinida nesses pontos — o gráfico dispara para ±∞. A função nunca toca essas assíntotas; aproxima-se delas arbitrariamente.
- Simetria ímpar: tan(−x) = −tan(x). A curva tem simetria rotacional em torno da origem, igual ao seno.
- Intervalo ilimitado: tan(x) pode assumir qualquer valor real, de −∞ a +∞. Por isso o arco-tangente, que a inverte, aceita qualquer número real como entrada.
- Gráfico: um padrão repetido de curvas em S separadas por assíntotas verticais; cada ramo passa por (kπ, 0) e cresce monotonicamente de −∞ até +∞.
A tangente é muito usada em campos onde inclinações, gradientes ou ângulos de elevação importam: engenharia civil (rampas e inclinações de estradas), topografia (altura de objetos inacessíveis), computação gráfica (campo de visão da câmera), óptica (lei de Snell em algumas formulações) e engenharia elétrica (ângulos de fase de impedância). No cálculo, tan e arctan se entrelaçam com a regra da cadeia, integração por substituição trigonométrica e a famosa substituição de Weierstrass u = tan(x/2), que transforma integrais racionais em sin/cos em integrais racionais ordinárias.
O que são Graus (deg °) e Radianos (rad)?
Funções trigonométricas aceitam ângulos em duas unidades padrão: graus e radianos. Confundi-las é uma das principais fontes de respostas erradas em listas de física e engenharia, então vale a pena entender a diferença.
- Graus: uma volta completa é dividida em 360 partes. O número 360 é histórico — tem divisores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … o que facilitava frações para os astrônomos babilônios por volta de 2000 a.C.
- Radianos: uma volta completa equivale a 2π ≈ 6,283 radianos. Um radiano é o ângulo subtendido no centro de um círculo por um arco cujo comprimento é igual ao raio. Radianos são a unidade natural em cálculo porque d/dx tan(x) = sec²(x) só funciona quando x está em radianos.
Para converter entre as duas unidades, use estas fórmulas — são inversas uma da outra:
- De graus para radianos: radianos = graus × π180
- De radianos para graus: graus = radianos × 180π
Tabela de valores comuns da tangente
| Ângulo (°) | Ângulo (Radianos) | tan(ângulo) | tan(ângulo) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.000 |
| 30° | π/6 | 1/√3 or √3/3 | 0.577 |
| 45° | π/4 | 1 | 1.000 |
| 60° | π/3 | √3 | 1.732 |
| 90° | π/2 | Undefined | - |
| 120° | 2π/3 | -√3 | -1.732 |
| 135° | 3π/4 | -1 | -1.000 |
| 150° | 5π/6 | -1/√3 or -√3/3 | -0.577 |
| 180° | π | 0 | 0.000 |
| 210° | 7π/6 | 1/√3 or √3/3 | 0.577 |
| 225° | 5π/4 | 1 | 1.000 |
| 240° | 4π/3 | √3 | 1.732 |
| 270° | 3π/2 | Undefined | - |
| 300° | 5π/3 | -√3 | -1.732 |
| 315° | 7π/4 | -1 | -1.000 |
| 330° | 11π/6 | -1/√3 or -√3/3 | -0.577 |
| 360° | 2π | 0 | 0.000 |
Observe que tan(90°) e tan(270°) são indefinidas, marcadas aqui com um hífen. Os valores reais explodem para +∞ de um lado desses ângulos e −∞ do outro, dependendo da direção de aproximação. Numericamente, uma calculadora próxima de 90° retornará números enormes como 1e15 porque cos(89,99999°) é minúsculo, mas não exatamente zero.
Perguntas Frequentes
A tangente é definida como sin(x) dividido por cos(x). Em 90°, sin(90°) = 1 e cos(90°) = 0, então tan(90°) = 1/0, que é indefinido — divisão por zero. Geometricamente, tan(θ) é a inclinação de uma reta passando pela origem que forma ângulo θ com o eixo x. Em 90°, essa reta é vertical, e retas verticais não têm inclinação definida (sobe sobre zero de avanço). Aproximando-se de 90° por baixo, tan cresce sem limites: tan(89°) ≈ 57, tan(89,9°) ≈ 573, tan(89,99°) ≈ 5.729. Aproximando-se por cima, despenca para −∞: tan(91°) ≈ −57. Essa descontinuidade é a razão pela qual o gráfico da tangente tem assíntotas verticais em cada múltiplo ímpar de π/2 (90°, 270°, 450°, …). O mesmo problema ocorre com a cotangente em múltiplos de π, e com secante e cossecante — onde quer que o denominador de uma função trigonométrica zere.
Desenhe um triângulo retângulo com catetos oposto (o) e adjacente (a), e hipotenusa h. Por definição, sin(θ) = o/h, cos(θ) = a/h e tan(θ) = o/a. Dividindo os dois primeiros: sin(θ)/cos(θ) = (o/h) / (a/h) = (o/h) · (h/a) = o/a = tan(θ). Portanto tan = sin/cos não é uma definição separada; é consequência direta de como as três funções são montadas. Essa identidade é a mais usada em trigonometria porque permite converter problemas de tangente em problemas de seno/cosseno (limitados e bem-comportados) e vice-versa. Também deixa claras as assíntotas da tangente: onde quer que cos zere, você divide por zero. A regra de derivação tan'(x) = sec²(x) também cai da regra do quociente aplicada a essa identidade, junto à identidade pitagórica sin² + cos² = 1.
Arctan, escrito tan⁻¹(x) ou atan(x), recebe qualquer número real e devolve um ângulo. Como tan repete a cada π, arctan precisa escolher um intervalo canônico — por convenção, (−π/2, +π/2), ou equivalentemente (−90°, +90°). Então arctan(1) = 45°, arctan(−1) = −45°, arctan(número muito grande) aproxima-se de 90° e arctan(número muito negativo) aproxima-se de −90°. O problema: arctan sozinho não distingue um ponto em (1, 1) de outro em (−1, −1) — ambos têm inclinação 1, ambos dão arctan(1) = 45°, mas vivem em quadrantes distintos. Por isso linguagens de programação fornecem atan2(y, x), que recebe ambas as coordenadas e devolve o ângulo completo em (−π, π], posicionando o ponto no quadrante correto. Atan2 é a função que você realmente quer para calcular ângulos em computação gráfica, robótica e navegação. Nunca calcule atan(y/x) quando tiver x e y disponíveis; atan2 é correto nos quatro quadrantes e lida com x = 0 sem problemas.
Seno e cosseno têm período 2π — retornam ao valor inicial após uma volta completa. A tangente, em contraste, repete a cada meia volta. A razão: tan(x + π) = sin(x + π) / cos(x + π) = (−sin(x)) / (−cos(x)) = sin(x)/cos(x) = tan(x). Ao girar 180°, sin e cos trocam de sinal, e os dois negativos se cancelam dentro da razão. Geometricamente, a reta pela origem com ângulo θ é exatamente a mesma reta da ângulo θ + 180° — têm a mesma inclinação. Inclinação é o que a tangente mede, então ela não pode distinguir os dois ângulos, e a função se repete. Esse período mais curto também é o motivo de arctan ter um intervalo de saída mais estreito que arcsin ou arccos.
Para uma reta no plano xy, inclinação é definida como subida sobre avanço: quanto y muda para uma variação unitária de x. Se uma reta faz ângulo θ com o eixo x positivo (no sentido anti-horário), então para cada avanço horizontal de cos(θ), a reta sobe sin(θ). Logo inclinação = sin(θ)/cos(θ) = tan(θ). Essa identidade é a ponte entre geometria e álgebra. Uma reta a 45° tem inclinação tan(45°) = 1, uma reta a 30° tem inclinação tan(30°) = 1/√3 ≈ 0,577, e uma reta vertical tem inclinação tan(90°) indefinida — coincidindo com a intuição algébrica de que verticais têm inclinação infinita. Engenheiros civis exploram isso para rampas e estradas: uma rampa de 5% é inclinação 0,05, que corresponde a um ângulo arctan(0,05) ≈ 2,86°. Rampas para cadeira de rodas no Brasil precisam ter inclinação máxima de 8,33%, ou seja, arctan(1/12) ≈ 4,76°.
Ao integrar funções racionais de sin e cos, estudantes de cálculo aprendem a substituição u = tan(x/2). É mágica: converte qualquer expressão racional em sin(x) e cos(x) numa expressão racional em u, que se pode atacar com frações parciais. As três identidades-chave são sin(x) = 2u/(1+u²), cos(x) = (1−u²)/(1+u²) e dx = 2/(1+u²) du. Por exemplo, ∫ dx / (1 + cos(x)) vira ∫ 2 du / (1 + (1−u²)/(1+u²)) · 1/(1+u²) = ∫ du = u + C = tan(x/2) + C. Essa técnica leva o nome de Karl Weierstrass, analista alemão do século XIX, embora Euler já a usasse um século antes. É uma das ferramentas mais poderosas do cálculo integral elementar e rotineiramente quebra integrais que derrotam outras abordagens.
A tangente tem assíntotas verticais em 90° e 270°, onde cos zera. Perto desses pontos, cos é minúsculo, mas não zero, e dividir por um número minúsculo dá resultado enorme. tan(89,9999°) é aproximadamente 572.957 porque cos(89,9999°) ≈ 0,00000175. O valor está matematicamente correto, apenas dramático. Há também uma armadilha numérica: se você calcular tan como sin/cos diretamente em ponto flutuante, pode perder precisão perto da assíntota porque cos entra no regime em que doubles IEEE-754 já não representam o valor exato. Bibliotecas matemáticas de qualidade (MKL da Intel, OpenLibm) usam truques de redução de intervalo e polinômios dedicados para entregar resultados corretamente arredondados mesmo em ângulos extremos. Na prática, se você está trabalhando dentro de microgradus de 90°, talvez convenha replanejar o problema em termos de cot(x) = cos(x)/sin(x), que se comporta bem ali.
Topografia: para medir a altura de um prédio ou montanha sem escalá-la, você mede o ângulo de elevação θ a partir de uma distância conhecida d, e calcula altura = d · tan(θ). Engenharia civil: rampas e inclinações de estradas são razões de tangente. Óptica: o campo de visão de uma câmera satisfaz tan(FOV/2) = (largura do sensor / 2) / distância focal, o que permite ao fotógrafo calcular exatamente o que entra no enquadramento. Engenharia elétrica: em circuitos de corrente alternada, o ângulo de fase entre tensão e corrente é arctan(reatância / resistência). Computação gráfica: uma matriz de projeção em perspectiva usa cot(fovy/2) — a cotangente de metade do campo de visão — para escalar objetos corretamente. Navegação: o rumo entre duas coordenadas GPS usa atan2 sobre as diferenças de longitudes e latitudes. Astronomia: medidas de paralaxe estelar usam tan(θ) ≈ θ para ângulos minúsculos, para converter deslocamentos observados em distâncias em parsecs. Sempre que a relação entre um ângulo e uma razão de dois comprimentos importa, a tangente aparece.
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