Calcule soma, subtração, multiplicação, divisão de números complexos, conjugado, potências, raízes, exp, ln e trig. Conversão retangular ↔ polar com a fórmula de Euler.
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O que é um número complexo?
Um número complexo é um número da forma a + bi, em que a e b são reais e i é a unidade imaginária definida por i² = −1. A parte real é a, a parte imaginária é b. Apesar do nome "imaginário", os números complexos não são mais fictícios que os negativos — eles são a completude natural da aritmética que permite que toda equação polinomial tenha solução.
Geometricamente, todo número complexo é um ponto no plano 2D: a é a coordenada horizontal, b a vertical. Soma é soma vetorial; multiplicação é uma combinação de rotação e escala. Essa imagem geométrica é o motivo de os complexos serem indispensáveis em engenharia elétrica, processamento de sinais, mecânica quântica, dinâmica de fluidos e computação gráfica.
Formas dos números complexos
Forma retangular (a + bi)
A forma retangular (ou cartesiana) escreve um número complexo como soma de suas partes real e imaginária: z = a + bi. É a forma natural para soma e subtração, em que basta combinar partes reais com partes reais e partes imaginárias com partes imaginárias.
Exemplo: 3 + 4i tem parte real 3 e parte imaginária 4
Forma polar (r∠θ)
A forma polar expressa um complexo pela distância à origem (módulo r) e pelo ângulo em relação ao eixo real positivo (argumento θ): z = r∠θ, equivalente a r·(cos θ + i·sin θ) e, mais compactamente, r·e^(iθ). É a forma natural para multiplicação, divisão e potências.
O módulo r = √(a² + b²) é o comprimento da seta da origem até o ponto; o argumento θ = atan2(b, a) é o ângulo com o eixo real positivo, medido no sentido anti-horário. A forma polar torna a geometria da multiplicação evidente: multiplicar por r·e^(iθ) significa "escalar por r, rotacionar por θ".
Exemplo: 5∠53,13° equivale a 3 + 4i
Convertendo entre as formas
Retangular para polar: r = √(a² + b²), θ = atan2(b, a)
Polar para retangular: a = r·cos(θ), b = r·sin(θ)
Operações com números complexos
Soma e subtração
Some ou subtraia partes reais e partes imaginárias separadamente. Geometricamente é soma vetorial — a mesma regra do paralelogramo que se usa com vetores de força em física.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Multiplicação
Na forma retangular: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i — expanda o produto como binômios e lembre-se de que i² = −1.
Na forma polar: (r₁∠θ₁)·(r₂∠θ₂) = (r₁·r₂)∠(θ₁ + θ₂). Multiplicação soma ângulos e multiplica comprimentos — uma identidade notável que faz dos complexos a ferramenta natural para rotações.
Divisão
Para dividir na forma retangular, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Isso transforma o denominador em um número real (a² + b²) e permite separar partes real e imaginária.
Na forma polar: (r₁∠θ₁) ÷ (r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂). Divisão subtrai ângulos e divide comprimentos.
Conjugado complexo
O conjugado de a + bi é a − bi. Geometricamente, é a reflexão pelo eixo real. Conjugados são como você "realiza" um denominador e como calcula |z|² sem raiz quadrada.
Importante: z · z̄ = a² + b² = |z|² (sempre um real não-negativo)
Potências e raízes
Teorema de De Moivre: (r·e^(iθ))ⁿ = rⁿ·e^(inθ). Eleve o módulo à n-ésima; multiplique o argumento por n.
Todo número complexo não-nulo tem exatamente n raízes n-ésimas distintas, distribuídas uniformemente sobre uma circunferência de raio ⁿ√r em incrementos angulares de 360°/n. É por isso que equações polinomiais de grau n têm exatamente n raízes complexas (Teorema Fundamental da Álgebra).
Funções complexas
Todas as funções reais conhecidas se estendem aos complexos, frequentemente com comportamentos surpreendentes:
Exponencial: e^(a+bi) = eᵃ·(cos b + i·sin b) — a fórmula de Euler disfarçada
Logaritmo natural: ln(r·e^(iθ)) = ln(r) + iθ — multivalorado, pois θ se define módulo 2π
Trigonométricas: sin(z) = (e^(iz) − e^(−iz))/(2i), cos(z) = (e^(iz) + e^(−iz))/2 — podem assumir valores fora de [−1, 1] para entradas complexas
Calculadora de Números Complexos
Aplicações dos números complexos
Os números complexos não são curiosidades acadêmicas — eles fazem a tecnologia moderna funcionar:
Engenharia elétrica: tensões e correntes AC são codificadas como fasores complexos; impedância combina resistência e reatância como Z = R + jX (engenheiros usam j para não confundir com a corrente i)
Processamento de sinais: a transformada de Fourier é, em essência, uma soma de exponenciais complexas; a FFT — algoritmo por trás de MP3, JPEG, Wi-Fi e ressonância magnética — multiplica e soma complexos bilhões de vezes por segundo
Mecânica quântica: toda função de onda é complexa, e a probabilidade de encontrar uma partícula é |ψ|² = ψ·ψ̄
Teoria de controle: os polos da função de transferência no plano complexo determinam estabilidade; engenheiros literalmente desenham diagramas de lugar das raízes no plano complexo
Dinâmica de fluidos: o escoamento potencial 2D usa análise complexa; a transformada de Joukowski mapeia um círculo num perfil aerodinâmico usado nas primeiras asas de aviões
Computação gráfica: os conjuntos de Mandelbrot e Julia são iterações zₙ₊₁ = zₙ² + c; quaternions (uma extensão 4D) movem toda rotação 3D em jogos modernos
Teoria dos números: a função zeta de Riemann ζ(s) é definida em s complexo; seus zeros não-triviais controlam a distribuição dos números primos
Dicas para usar a calculadora
Use a forma retangular para somar ou subtrair; as fórmulas são mais simples aí
Mude para a forma polar para multiplicar, dividir, elevar a potências e tirar raízes — ângulos e módulos se separam de forma limpa
Lembre-se de atan2(b, a), não atan(b/a), ao calcular o argumento — atan não distingue quadrantes
Sempre especifique se os ângulos estão em graus ou radianos; misturá-los é a principal fonte de erros
O conjugado z̄ é a arma secreta para divisão e para encontrar módulos sem raiz quadrada
Perguntas Frequentes
A unidade imaginária i é definida por i² = −1, a regra que permite tomar raízes quadradas de números negativos. Não foi inventada por misticismo; a álgebra do século XVI obrigou os matemáticos a aceitá-la. Cardano (1545) descobriu uma fórmula cúbica que encontrava as raízes reais de x³ + ax + b = 0 — mas apenas tomando, no caminho, raízes quadradas de números negativos, mesmo quando as três raízes eram reais comuns. Essas quantidades "imaginárias" tinham que ser passos intermediários válidos porque a resposta final era inquestionavelmente real. Bombelli formalizou a aritmética com elas em 1572; Euler introduziu a letra i em 1777; Gauss (1831) deu a interpretação geométrica como pontos no plano 2D, depois disso elas ganharam respeitabilidade. Então i não é um truque — é a completude natural dos reais, assim como os negativos são a completude natural dos inteiros positivos. O nome "imaginário" é acidente histórico; físicos e engenheiros calculam com i diariamente sem chamar as equações de Maxwell de imaginárias.
Eles garantem que toda equação polinomial tenha solução. Sobre os reais, x² + 1 = 0 não tem nenhuma — nenhum real ao quadrado dá −1. Sobre os complexos, x² + 1 = 0 tem duas: x = i e x = −i. O Teorema Fundamental da Álgebra, provado por Gauss em 1799, afirma que todo polinômio de grau n com coeficientes complexos tem exatamente n raízes complexas (contadas com multiplicidade). Acabou o "às vezes solúvel, às vezes não". Essa clausura algébrica tem consequências dramáticas. Faz o problema de autovalores ser sempre solúvel (autovalores são raízes do polinômio característico), por isso a álgebra linear é tão fluida sobre ℂ. Permite fatorar qualquer polinômio em fatores lineares, base para a decomposição em frações parciais no cálculo. E unifica a teoria das equações diferenciais — toda EDO linear tem soluções da forma e^(λt) com λ complexo; se λ é real, você tem crescimento ou decaimento exponencial; se for puramente imaginário, oscilação; se tiver as duas partes, oscilação amortecida. Os complexos unificam três fenômenos que pareciam separados.
Multiplicar escala e rotaciona. Se z₁ tem módulo r₁ e argumento θ₁, e z₂ tem módulo r₂ e argumento θ₂, então z₁·z₂ tem módulo r₁·r₂ e argumento θ₁ + θ₂. Multiplicar por z é o mesmo que "escalar cada ponto por |z| e rotacionar todo o plano por arg(z) em torno da origem". Por isso multiplicar por i — módulo 1 e argumento 90° — rotaciona o plano um quarto de volta: leva 1 a i, i a −1, −1 a −i, e de volta a 1. Multiplicar por e^(iθ) é uma rotação pura pelo ângulo θ. Esse único fato é a base de por que os complexos aparecem em toda parte na física e engenharia: qualquer coisa envolvendo rotação, oscilação ou ondas vira álgebra quando você passa para o plano complexo. Um motor girando, uma tensão AC, uma função de onda quântica — todos se tornam multiplicações por e^(iωt).
A fórmula de Euler diz e^(iθ) = cos θ + i·sin θ. Coloque θ = π e obtém e^(iπ) = cos π + i·sin π = −1 + 0i = −1, logo e^(iπ) + 1 = 0 — cinco das mais importantes constantes da matemática (0, 1, e, i, π) ligadas em uma equação, repetidamente votada como "a mais bela da matemática". A interpretação geométrica é direta: e^(iθ) traça o círculo unitário conforme θ varia, então e^(iπ) é o ponto no ângulo π (180°) do círculo unitário, exatamente −1. O significado mais profundo é que a função exponencial e as trigonométricas são a mesma função no plano complexo, vistas de modos diferentes. É por isso que d/dt de e^(iωt) = iω·e^(iωt) descreve movimento circular com frequência angular ω. Também por isso engenheiros substituem cos(ωt) pela "parte real de e^(iωt)": derivar vira multiplicar por iω, integrar vira dividir — álgebra substitui o cálculo. A equação de Schrödinger, as equações de Maxwell, a análise de circuitos AC e a transformada de Fourier descansam todas sobre essa única identidade.
Porque cada forma simplifica uma operação e complica a outra. Somar (3 + 4i) + (1 + 2i) na retangular é trivial: (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i. Na polar você teria que converter para retangular, somar e voltar — três passos em vez de um. Inversamente, multiplicar (3 + 4i)·(1 + 2i) na retangular exige expandir o binômio e lembrar de i² = −1: (3·1 − 4·2) + (3·2 + 4·1)i = −5 + 10i. Na polar (5∠53,13°)·(√5∠63,43°) = 5√5∠116,56°, apenas multiplique módulos e some ângulos. Potências e raízes pioram isso: calcular (1 + i)¹⁰⁰ na retangular é um pesadelo, mas na polar é (√2∠45°)¹⁰⁰ = 2⁵⁰∠4500° = 2⁵⁰∠180° = −2⁵⁰. Regra prática: se a operação é linear (soma, subtração), use retangular. Se envolve rotações (produto, quociente, potência, raiz), use polar. Calculadoras que mostram ambas as formas existem justamente para você não ter que converter na mão.
Porque a forma polar é multivalorada. Um complexo z = r·e^(iθ) também pode ser escrito como r·e^(i(θ + 2πk)) para qualquer inteiro k — somar um número inteiro de voltas ao ângulo dá o mesmo ponto. Ao tirar a raiz n-ésima, você divide o ângulo por n: ⁿ√z = ⁿ√r · e^(i(θ + 2πk)/n). Para k = 0, 1, 2, …, n−1 você obtém n ângulos diferentes (e portanto n pontos diferentes); para k = n você volta ao ponto inicial. Por isso todo complexo não-nulo tem exatamente n raízes n-ésimas distintas, igualmente espaçadas num círculo de raio ⁿ√r com incrementos angulares de 360°/n. As raízes cúbicas de 1, por exemplo, são 1, e^(i·120°) ≈ −0,5 + 0,866i e e^(i·240°) ≈ −0,5 − 0,866i — formam um triângulo equilátero. Por isso equações como z⁵ = 32 têm cinco soluções, não uma. O Teorema Fundamental da Álgebra é construído sobre esse fato: o polinômio xⁿ − c se fatora completamente sobre os complexos porque c tem exatamente n raízes n-ésimas.
Toda tensão ou corrente AC — uma senoide V(t) = V₀·cos(ωt + φ) — é substituída por um fasor complexo V = V₀·e^(iφ), e a dependência temporal e^(iωt) é suprimida. Esse truque converte equações diferenciais em álgebra. Resistores têm impedância R (puramente real); indutores têm impedância jωL (puramente imaginária, positiva); capacitores têm impedância 1/(jωC) (puramente imaginária, negativa). Engenheiros usam j em vez de i para não conflitar com a corrente i. A lei de Ohm também vale em fasores: V = I·Z, em que Z é a impedância complexa. O ângulo de Z indica o deslocamento de fase entre tensão e corrente — um circuito puramente resistivo tem ângulo de Z = 0 (em fase), um puramente indutivo +90° (corrente atrasa) e um puramente capacitivo −90° (corrente adianta). O módulo de Z é a resistência aparente ao AC; a parte real é a parte que dissipa potência, a imaginária só transfere energia para frente e para trás. Nada disso seria tratável sem os complexos — e toda a rede elétrica global é calculada no plano complexo.
Três usos grandes. (1) Realizar denominadores: dividir complexos na retangular exige multiplicar topo e base pelo conjugado do denominador, o que transforma (c + di)·(c − di) = c² + d², um número real, e permite separar partes real e imaginária do resultado. Sem conjugados, dividir seria terrível. (2) Calcular módulos sem raiz quadrada: |z|² = z·z̄ = a² + b². Na mecânica quântica, a densidade de probabilidade |ψ|² é calculada exatamente assim, multiplicando a função de onda pelo seu conjugado. (3) Simetria de raízes polinomiais: se um polinômio com coeficientes reais tem uma raiz complexa α + βi, ele também tem a raiz conjugada α − βi (conjugar toda a equação dá a mesma equação de volta). É por isso que quadráticas com discriminante negativo sempre têm raízes em par conjugado, e por isso as raízes de qualquer polinômio real vêm em pares conjugados, exceto quando são reais. O conjugado também é o que faz o "processamento de sinais reais" funcionar — FFTs de sinais discretos reais satisfazem X[N−k] = X[k]̄, reduzindo pela metade o armazenamento necessário.
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