Calculadora de Números Complexos

O que é um Número Complexo?

Um número complexo é um número que pode ser expresso na forma a + bi, onde a e b são números reais, e i é a unidade imaginária satisfazendo i² = -1. A parte real é a, e a parte imaginária é b.

Números complexos estendem o conceito da linha numérica unidimensional para um plano complexo bidimensional ao introduzir a unidade imaginária i. Eles são essenciais em matemática, física, engenharia, processamento de sinais e muitos outros campos.

Formas de Números Complexos

Forma Retangular (a + bi)

A forma retangular (ou cartesiana) expressa um número complexo como uma soma de suas partes real e imaginária: z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplo: 3 + 4i tem parte real 3 e parte imaginária 4

Forma Polar (r∠θ)

A forma polar expressa um número complexo usando sua magnitude (módulo) e ângulo (argumento): z = r∠θ ou z = r·e^(iθ), onde r é o módulo e θ é o argumento.

O módulo r = √(a² + b²) representa a distância da origem, e o argumento θ = arctan(b/a) representa o ângulo do eixo real positivo.

Exemplo: 5∠53,13° é equivalente a 3 + 4i

Convertendo Entre Formas

Retangular para Polar: r = √(a² + b²), θ = arctan(b/a)

Polar para Retangular: a = r·cos(θ), b = r·sin(θ)

Operações com Números Complexos

Adição e Subtração

Para adicionar ou subtrair números complexos na forma retangular, adicione ou subtraia as partes reais e imaginárias separadamente:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Multiplicação

Na forma retangular: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Na forma polar: (r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)

Divisão

Para dividir números complexos, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Na forma polar: (r₁∠θ₁) ÷ (r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁ - θ₂)

Conjugado Complexo

O conjugado de a + bi é a - bi. Geometricamente, é a reflexão através do eixo real.

Importante: z × z̄ = a² + b² (sempre um número real)

Potências e Raízes

Teorema de De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠(nθ)

A raiz n-ésima de um número complexo tem n valores distintos distribuídos uniformemente ao redor de um círculo.

Funções Complexas

Muitas funções matemáticas se estendem a números complexos:

• Exponencial: e^(a+bi) = e^a(cos b + i·sin b)
• Logaritmo natural: ln(r∠θ) = ln(r) + iθ
• Funções trigonométricas: Definidas usando a fórmula de Euler

Aplicações de Números Complexos

Números complexos têm aplicações abrangentes:

• Engenharia Elétrica: Análise de circuitos CA e cálculos de impedância
• Processamento de Sinais: Transformadas de Fourier e análise de frequência
• Mecânica Quântica: Funções de onda e amplitudes de probabilidade
• Teoria de Controle: Análise de estabilidade e funções de transferência
• Dinâmica de Fluidos: Fluxo potencial e mapeamento conforme
• Computação Gráfica: Transformações e fractais (conjunto de Mandelbrot)
• Aerodinâmica: Projeto de asas e análise de fluxo de ar

Dicas para Usar a Calculadora

• Escolha o formato de entrada apropriado (retangular ou polar) com base no seu problema
• Multiplicação e divisão são frequentemente mais fáceis na forma polar
• Adição e subtração são mais fáceis na forma retangular
• Alterne entre graus e radianos para o argumento conforme necessário
• A operação conjugada é útil para divisão e para encontrar magnitudes