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Calculadora MDC

Calculadora MDC com algoritmo de Euclides passo a passo e fatoração em primos. Encontre o MDC, GCD ou HCF mais o MMC para simplificar frações e proporções de tela.

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Como Calcular o MDC?

O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número inteiro positivo que divide dois ou mais números sem deixar resto. É útil para simplificar frações e resolver vários problemas matemáticos.

Encontrando o MDC de Múltiplos Números:

  • Encontre o MDC dos dois primeiros números
  • Use esse resultado para encontrar o MDC com o próximo número
  • Continue até que todos os números sejam processados

MDC(12, 18, 24) = 6

Encontrando o MDC usando Fatoração Prima:

  • Encontre os fatores primos de cada número
  • Identifique os fatores primos comuns
  • Multiplique os fatores primos comuns com os menores expoentes

48 = 2⁴ × 3

60 = 2² × 3 × 5

MDC(48, 60) = 2² × 3 = 12

Encontrando o MDC com o Algoritmo de Euclides:

A caixa de passos agora imprime toda a cadeia de restos de Euclides, reduzindo cada par com a = q × b + r até o resto chegar a 0 — o método canônico que também fundamenta os inversos modulares e a configuração do RSA. Para dois números não nulos, também mostra o MMC por MMC = (a × b) / MDC, útil para simplificar frações e proporções de tela.

252 = 2 × 105 + 42; 105 = 2 × 42 + 21; 42 = 2 × 21 + 0 → MDC(252, 105) = 21

Exemplos comuns de MDC

NúmerosMDC
12, 186
24, 3612
15, 255
8, 12, 164
20, 30, 4010
7, 111
100, 200100

Sobre esta calculadora de MDC

Esta calculadora aceita qualquer lista com dois ou mais inteiros positivos — separados por vírgula, espaço ou quebra de linha — e devolve o máximo divisor comum com toda a resolução pelo algoritmo de Euclides. MDC, GCD, GCF e HCF são nomes diferentes para a mesma quantidade; a calculadora usa o rótulo MDC, mas o resultado é o mesmo qualquer que seja a nomenclatura. A caixa 'Passos do cálculo' imprime tanto a cadeia de restos de Euclides quanto a fatoração em primos, servindo como resposta rápida e como apoio de estudo.

Perguntas Frequentes

O MDC de dois inteiros a e b é o maior inteiro positivo que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, MDC(12, 18) = 6 porque 6 divide 12 (12 ÷ 6 = 2) e 18 (18 ÷ 6 = 3) exatamente, e nenhum inteiro maior divide os dois. O MDC nunca é maior que o menor dos números, e só coincide com ele quando esse menor já é divisor do outro (MDC(6, 18) = 6).

Troque o par (a, b) por (b, a mod b), onde 'a mod b' é o resto. Repita até o resto chegar a 0; o divisor do passo anterior é o MDC. Exemplo para MDC(48, 60): 60 mod 48 = 12; 48 mod 12 = 0; logo MDC = 12. O algoritmo roda em O(log mín(a, b)) passos e é o método prático mais rápido — a calculadora o utiliza por padrão.

Fatore cada número em primos; para cada primo que apareça em TODAS as fatorações, pegue a menor potência e multiplique tudo. Exemplo MDC(48, 60): 48 = 2⁴·3, 60 = 2²·3·5. Os primos comuns são 2 e 3; as menores potências são 2² e 3¹. MDC = 2² × 3 = 12. A caixa 'Passos do cálculo' mostra essas fatorações junto com o rastro do algoritmo de Euclides.

MDC(12, 18) = 6. MDC(24, 36) = 12. MDC(48, 60) = 12. A tabela de referência ao pé da página lista mais pares comuns — MDC(8, 12) = 4, MDC(15, 25) = 5, MDC(9, 12, 15) = 3 — úteis para conferir exercícios.

Para reduzir uma fração à forma irredutível, divida numerador e denominador pelo MDC dos dois. Em 48/60: MDC(48, 60) = 12, então 48/60 = (48 ÷ 12)/(60 ÷ 12) = 4/5. Dividir por um divisor comum menor que o MDC simplifica a fração, mas ainda dá para reduzir mais; dividir pelo MDC leva direto à forma irredutível.

Sim — os três nomes se referem à mesma quantidade: o maior inteiro positivo que divide dois ou mais números sem deixar resto. Textos em português dizem 'MDC' (Máximo Divisor Comum); textos americanos dizem 'GCF' (Greatest Common Factor) ou 'GCD' (Greatest Common Divisor); textos britânicos e indianos dizem 'HCF' (Highest Common Factor). A calculadora retorna o mesmo resultado em qualquer vocabulário.

Sim — dois inteiros são chamados 'coprimos' ou 'primos entre si' quando o MDC é 1. Eles não compartilham nenhum fator primo. Exemplos: MDC(8, 9) = 1, MDC(15, 16) = 1, MDC(35, 99) = 1. A coprimalidade é fundamental em teoria dos números e criptografia: a geração de chaves RSA, por exemplo, exige um expoente coprimo com a função totiente de Euler do módulo.

Revestimento: para cobrir um retângulo de 24 m × 36 m com os maiores ladrilhos quadrados possíveis sem cortar, o lado precisa ser MDC(24, 36) = 12 m. Música: dois padrões rítmicos de 8 e 12 tempos coincidem a cada MDC(8, 12) = 4 tempos. Cozinha: dividir 18 biscoitos e 24 brownies em porções iguais dá MDC(18, 24) = 6 porções. Alocação de banda, relações de engrenagens e a árvore de Stern–Brocot também dependem do MDC.
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