Calculadora de Aritmética Modular

Calcule operações de aritmética modular incluindo módulo, inverso modular e exponenciação modular para criptografia e teoria dos números.

O que é Aritmética Modular?

Aritmética modular é um sistema de aritmética para números inteiros onde os números "circulam" após atingir um determinado valor (o módulo). É frequentemente descrita como "aritmética de relógio".

A expressão a mod m fornece o resto quando a é dividido por m. Por exemplo, 17 mod 5 = 2 porque 17 = 3 × 5 + 2.

Operações Básicas

Aritmética modular suporta todas as operações básicas:

• Adição: (a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m
• Subtração: (a - b) mod m = ((a mod m) - (b mod m)) mod m
• Multiplicação: (a × b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m

Exponenciação Modular

Exponenciação modular calcula a^b mod m eficientemente usando o algoritmo de quadrado e multiplicação. Isso é crucial para criptografia RSA.

Por exemplo, 3^5 mod 7 = 243 mod 7 = 5.

Inverso Modular

O inverso modular de a módulo m é um número x tal que:

a × x ≡ 1 (mod m)

Um inverso modular existe apenas quando a e m são coprimos (mdc(a, m) = 1). É calculado usando o Algoritmo de Euclides Estendido.

Por exemplo, o inverso de 3 mod 7 é 5, porque 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7).

Aplicações da Aritmética Modular

Aritmética modular é fundamental em muitas áreas:

• Criptografia: Criptografia RSA, troca de chaves Diffie-Hellman
• Ciência da Computação: Funções hash, checksums, geração de números aleatórios
• Teoria dos Números: Testes de primalidade, algoritmos de fatoração
• Teoria da Codificação: Códigos de detecção e correção de erros
• Teoria Musical: Técnica de doze tons e classe de altura
• Cálculos de Calendário: Algoritmos do dia da semana