Calculatrice d'arithmétique modulaire

Calculez modulo, inverse modulaire et exponentiation modulaire pour la cryptographie et la théorie des nombres.

Qu'est-ce que l'arithmétique modulaire ?

C'est une arithmétique des entiers où les valeurs « bouclent » après un certain seuil (le module). On parle souvent d'arithmétique de l'horloge.

L'expression a mod m donne le reste de la division de a par m. Exemple : 17 mod 5 = 2 car 17 = 3 A- 5 + 2.

Opérations de base

On retrouve toutes les opérations classiques :

• Addition : (a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m
• Soustraction : (a - b) mod m = ((a mod m) - (b mod m)) mod m
• Multiplication : (a A- b) mod m = ((a mod m) A- (b mod m)) mod m

Exponentiation modulaire

Calcule a^b mod m efficacement via la méthode d'exponentiation rapide (square-and-multiply), essentielle pour RSA.

Exemple : 3^5 mod 7 = 243 mod 7 = 5.

Inverse modulaire

L'inverse de a modulo m est x tel que :

a × x ≡ 1 (mod m)

Il n'existe que si pgcd(a, m) = 1 et se calcule via l'algorithme d'Euclide étendu.

Exemple : l'inverse de 3 mod 7 vaut 5 car 3 A- 5 = 15 �%� 1 (mod 7).

Applications

Domaines clés :

• Cryptographie : RSA, Diffie-Hellman
• Informatique : fonctions de hachage, sommes de contrôle, générateurs pseudo-aléatoires
• Théorie des nombres : tests de primalité, factorisation
• Codage : détection/correction d'erreurs
• Musique : techniques dodécaphoniques
• Calendriers : calcul des jours de la semaine