Plus de jeux sur WuGames.ioSponsoriséDécouvrez des jeux de navigateur gratuits — jouez aussitôt, sans téléchargement ni inscription.Jouer
Calculatrices CalculOutils Mathématiques Math

Calculatrice de cosinus

Calculatrice de cos(x) et arccos(x). Cercle unité, loi des cosinus, série de Taylor, triangle 30-60-90, degrés/radians.

cos
=

Calcul de cosinus

=

Calculatrice de cosinus inverse

cos-1
Degrés
Radians

La fonction cosinus (cos(x))

La fonction cosinus cos(x) associe à un angle un nombre réel dans l'intervalle [−1, 1]. Dans un triangle rectangle, cos(x) est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse — la signification géométrique héritée de ses origines, il y a 2000 ans, dans l'astronomie grecque. Sur le cercle unité (rayon 1 centré à l'origine), cos(x) est simplement l'abscisse du point situé à l'angle x mesuré dans le sens trigonométrique depuis l'axe des x positifs. Cette définition par le cercle unité est la définition moderne car elle s'étend naturellement à tous les angles réels — positifs, négatifs et au-delà d'un tour complet.

Voici les propriétés essentielles du cosinus que cette calculatrice exploite et que vous utiliserez partout, du devoir de physique à l'analyse des circuits AC :

  • Définition sur le cercle unité : pour un angle x (en radians), cos(x) est l'abscisse du point du cercle unité atteint en tournant dans le sens trigonométrique depuis (1, 0) d'un angle x. Cette image est la façon la plus rapide de retrouver n'importe quelle valeur de cosinus — visualisez où l'angle aboutit sur le cercle et lisez la coordonnée horizontale.
  • Périodicité : cos(x) = cos(x + 2πk) pour tout entier k. La fonction se répète à chaque tour — tous les 360° ou tous les 2π radians — c'est pourquoi le cosinus est le modèle naturel pour tout phénomène cyclique (ondes, courant alternatif, orbites planétaires, son).
  • Image : cos(x) est toujours entre −1 et +1 inclus. Des sorties hors de cet intervalle signalent une erreur de calcul — typiquement quand on calcule par erreur arccos d'un nombre supérieur à 1 ou inférieur à −1.
  • Fonction paire : cos(−x) = cos(x) pour tout x — le graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Contraste avec sinus qui est impair, et c'est la source de la moitié des simplifications trigonométriques que vous rencontrerez.
  • Valeurs clés : cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866, cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0, cos(180°) = −1, cos(270°) = 0, cos(360°) = 1. Mémorisez ces huit valeurs et le reste de la table de cosinus tombe en place par symétrie et périodicité.
  • Lien avec le sinus : cos(x) = sin(π/2 − x) — le cosinus est un sinus déphasé, retardé de 90°. L'identité de Pythagore sin²(x) + cos²(x) = 1 découle directement de x² + y² = 1 sur le cercle unité et est l'identité la plus utilisée de toute la trigonométrie.
  • Graphe : une onde douce qui part de (0, 1), descend par (π/2, 0) jusqu'à (π, −1), remonte par (3π/2, 0) à (2π, 1), et se répète indéfiniment. Ce motif est la référence pour visualiser toute oscillation.
  • Applications : analyse des circuits AC (V = V₀ cos(ωt + φ)), ondes sonores et lumineuses, vibrations mécaniques, traitement du signal (toute transformée en cosinus discrète est au cœur des compressions JPEG et MP3), graphisme 3D (les rotations sont des combinaisons linéaires de sin/cos), astronomie (positions planétaires), génie civil (décomposition des forces sur des surfaces inclinées).

En analyse, d/dx cos(x) = −sin(x) et ∫cos(x) dx = sin(x) + C. La série de Taylor cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ... converge pour tout réel x (et tout complexe z), et converge suffisamment vite pour que cinq ou six termes donnent une précision en double pour |x| < 1 — c'est ainsi que toute calculatrice électronique calcule réellement le cosinus en interne.

Que sont les degrés (deg °) et les radians (rad) ?

Les fonctions trigonométriques acceptent les angles en deux unités standard, et les confondre est la cause n°1 d'erreurs en trigonométrie. Vérifiez toujours dans quel mode est votre calculatrice avant de calculer.

  • Degrés : 360 dans un tour complet, hérités du système sexagésimal (base 60) babylonien vers 1500 av. J.-C. Les degrés sont intuitifs pour la navigation, la géométrie, et tout ce qui demande des fractions propres d'un tour (quadrants de 90°, triangles équilatéraux de 60°, diagonales à 45°).
  • Radians : 2π dans un tour complet, définis pour qu'un radian soit l'arc dont la longueur égale le rayon. Les radians sont l'unité naturelle pour l'analyse et la physique — la formule d/dx sin(x) = cos(x) n'est valable qu'en radians ; en degrés il faudrait un facteur 180/π à chaque dérivation. Toute série de Taylor, toute formule de dérivée et toute équation d'onde supposent les radians.

Pour convertir entre degrés et radians, utilisez les deux formules suivantes :

  • Des degrés aux radians :
    radians = degrés × π180
  • Des radians aux degrés :
    degrés = radians × 180π

Questions fréquentes

Du triangle rectangle particulier 30-60-90, l'un des deux triangles dont les rapports de côtés sont exacts et qu'il faut mémoriser. Tracez une perpendiculaire depuis un sommet d'un triangle équilatéral de côté 2 — elle divise la base en deux moitiés égales de longueur 1 et crée deux triangles rectangles congrus 30-60-90. Dans l'un d'eux, l'hypoténuse vaut 2, le petit côté (opposé à l'angle 30°) vaut 1 et le grand côté (opposé à l'angle 60°) est la hauteur manquante. Par Pythagore, hauteur² + 1² = 2², donc hauteur = √3. Maintenant cos(30°) = adjacent/hypoténuse = √3/2 ≈ 0,866. Le même triangle donne cos(60°) = 1/2 (petit côté sur hypoténuse). L'autre triangle particulier, le triangle rectangle isocèle 45-45-90, donne cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707. Ces trois valeurs — 1/2, √2/2, √3/2 — apparaissent en 30°, 45°, 60° et à chaque symétrie/rotation autour du cercle unité. Les mémoriser fournit 16 valeurs exactes de cosinus sur les 360°.

cos(x) est une fonction qui prend un angle et renvoie un nombre ; arccos(x) (aussi cos⁻¹(x)) est sa réciproque, prend un nombre entre −1 et 1 et renvoie un angle. Mais le cosinus n'est pas injectif — cos(60°) = cos(300°) = cos(−60°) = ½, donc une réciproque littérale devrait renvoyer plusieurs valeurs. Pour faire de arccos une vraie fonction, on restreint son image à [0°, 180°] (ou [0, π] en radians). Donc arccos(0,5) = 60°, pas 300° ni −60°. La convention de valeur principale est universelle, mais cela signifie qu'il faut parfois ajouter 2π ou refléter pour trouver toutes les solutions de cos(x) = c. Par exemple, toutes les solutions de cos(x) = 0,5 sont x = ±60° + 360°k pour k entier. C'est la même logique qui restreint arcsin à [−90°, 90°] et arctan à (−90°, 90°). L'ensemble de départ de arccos est [−1, 1] car le cosinus ne prend que ces valeurs — entrer 1,5 ou −2,3 donne « indéfini » ou NaN.

Loi des cosinus : pour tout triangle de côtés a, b, c et l'angle C opposé au côté c, c² = a² + b² − 2ab cos(C). C'est la formule universelle des longueurs de côtés, remplaçant le théorème de Pythagore (cas particulier C = 90°, où cos(90°) = 0, ne laissant que c² = a² + b²). Pour tout autre angle, le terme −2ab cos(C) ajuste : si C < 90° (aigu), cos(C) > 0 et c est plus court que √(a²+b²) ; si C > 90° (obtus), cos(C) < 0 et c est plus long. La loi des cosinus permet de résoudre tout triangle quand on connaît deux côtés et l'angle compris (côté-angle-côté) ou les trois côtés (côté-côté-côté) — les deux cas que la loi des sinus seule ne sait pas traiter. Elle remonte à Euclide (Éléments, vers 300 av. J.-C., Propositions II.12 et II.13, énoncées géométriquement sans trigonométrie), la forme trigonométrique moderne étant due aux mathématiciens islamiques médiévaux vers l'an 1000. La formule apparaît constamment en topographie, navigation, triangulation GPS et génie civil.

À cause de l'endroit où 180° aboutit sur le cercle unité. Partez du point (1, 0) et tournez dans le sens trigonométrique de 180° (un demi-tour). Vous arrivez au point (−1, 0). Le cosinus, par définition, est l'abscisse du point d'arrivée — et cette abscisse vaut −1. La même logique donne toutes les autres valeurs clés : en 0° vous êtes en (1, 0), donc cos(0°) = 1. En 90° vous êtes en (0, 1), donc cos(90°) = 0. En 270° vous êtes en (0, −1), donc cos(270°) = 0. En 360° vous avez bouclé un tour complet et êtes revenu à (1, 0), donc cos(360°) = 1, identique à cos(0°). Les valeurs négatives de cosinus apparaissent dans les quadrants II (90°–180°) et III (180°–270°) où l'abscisse est à gauche de l'axe des ordonnées. Cette image du cercle unité est le modèle mental le plus rapide pour toute la table des cosinus — dès que vous visualisez la rotation, vous ne vous trompez plus jamais de signe.

Trois étapes. (1) Réduction d'argument : si x est en degrés, multipliez par π/180 pour passer en radians ; puis réduisez modulo 2π pour que l'entrée tombe dans [0, 2π) ; réduisez encore à [0, π/2] en utilisant les symétries du cosinus (cos(π−x) = −cos(x), cos(π+x) = −cos(x), cos(2π−x) = cos(x)), en gardant le signe séparément. (2) Approximation polynomiale : sur l'intervalle réduit [0, π/4], évaluez un polynôme court de degré 6 à 10 (typiquement issu de la série de Taylor cos(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + ... ou d'une variante de Tchebychev plus efficace). Six termes donnent 15 chiffres significatifs, la précision d'un double IEEE-754. (3) Appliquez le signe sauvegardé et renvoyez. La série de Taylor converge vite parce que les dénominateurs factoriels grandissent bien plus vite que x^n au numérateur — au terme 10, la contribution descend sous 10^-15 pour tout |x| ≤ π/2. L'algorithme CORDIC est une alternative plus ancienne employée dans les calculatrices de poche des années 1970, qui calcule sin et cos en parallèle uniquement avec des décalages et additions ; il reste utilisé dans les FPGA et systèmes embarqués où la multiplication est coûteuse.

Presque tout ce qui oscille ou tourne. (1) Courant alternatif : la tension d'une prise est V(t) = V₀ cos(2πft + φ), avec f = 50 ou 60 Hz et φ la phase. Tout manuel d'analyse AC est bâti sur le cosinus. (2) Son : les sons purs sont une pression cos(2πft) ; les sons complexes sont des sommes de cosinus (décomposition de Fourier). Le MP3 et l'AAC stockent littéralement les coefficients de cosinus (DCT). (3) Lumière et ondes EM : champ électrique E(x, t) = E₀ cos(kx − ωt) pour une onde plane — base de l'optique, de la radio et de la mécanique quantique. (4) Orbites planétaires : les positions sont des sin/cos de l'angle orbital ; les équations de Kepler dépendent de la trigonométrie. (5) Vibration mécanique : oscillateur masse-ressort x(t) = A cos(ωt + φ) ; mouvement d'un pendule (petites amplitudes) est cosinusoïdal. (6) Graphisme 3D : chaque matrice de rotation a des entrées cos/sin ; toute animation lisse utilise de la trigonométrie. (7) GPS : la trilatération emploie la loi des cosinus sphérique. (8) Calcul de puissance : puissance active = V × I × cos(φ) où φ est le déphasage entre tension et courant — le célèbre « facteur de puissance » en électrotechnique.

sin²(x) + cos²(x) = 1 pour tout réel x. L'identité est littéralement le théorème de Pythagore appliqué au cercle unité : tout point d'un cercle de rayon 1 a pour coordonnées (cos(x), sin(x)), et sa distance à l'origine vaut √(cos²(x) + sin²(x)). Or le point est sur le cercle unité, donc sa distance vaut exactement 1, d'où cos²(x) + sin²(x) = 1. L'identité tient pour tout angle x — positif, négatif, irrationnel, complexe — et c'est la fondation de tout le réseau d'identités trigonométriques : divisez par cos²(x) et vous obtenez 1 + tan²(x) = sec²(x) ; divisez par sin²(x) et vous avez 1 + cot²(x) = csc²(x) ; utilisez-la pour exprimer sin en fonction de cos (sin(x) = ±√(1 − cos²(x))) quand vous connaissez l'un et cherchez l'autre. En analyse, elle simplifie la plupart des intégrales en √(1 − x²) via la substitution x = sin(θ). En physique, la conservation de la probabilité en mécanique quantique est une identité de Pythagore déguisée. Trois mille ans de géométrie résumés dans une équation minuscule.

Oui, mais cela demande de la prudence à cause de la précision en virgule flottante. L'approche naïve — convertir 10⁶ radians en une valeur de [0, 2π) en calculant 10⁶ mod (2π) — échoue parce que 2π est irrationnel et que l'arithmétique standard en double précision n'offre que ~15-16 chiffres significatifs. Quand vous réduisez 10⁶ en soustrayant ~159 154 tours complets de 2π, le résultat n'est précis qu'à environ 10 chiffres dans la fraction de radians — précision qui fuit dans la réponse cosinusoïdale. Pour cos(10⁶) la fuite est petite (~10⁻⁷ d'erreur), mais pour cos(10²⁰) elle écrase totalement la réponse. Les bibliothèques à haute précision (réduction d'argument Payne-Hanek, utilisée dans glibc, MSVC et les bibliothèques mathématiques d'Apple) stockent π avec des milliers de bits de précision et effectuent la réduction en précision étendue pour préserver la fiabilité des cosinus à grand argument. Le Math.cos de JavaScript utilise la double précision partout et est fiable jusqu'à environ 15 chiffres pour des arguments jusqu'à ~10¹⁵ ; au-delà, réduisez l'argument à la main d'abord ou utilisez une bibliothèque multi-précision. Pour les simulations physiques, le plus sûr est de garder les angles modulo 2π dès le départ et de ne jamais les laisser croître.

Table des valeurs courantes de cosinus

Angle (°)Angle (Radians)cos(angle)cos(angle)
0°011
30°π/6√3/20.8660
45°π/4√2/20.7071
60°π/31/20.5
90°π/200
120°2π/3-1/2-0.5
135°3π/4-√2/2-0.7071
150°5π/6-√3/2-0.866
180°π-1-1
210°7π/6-√3/2-0.866
225°5π/4-√2/2-0.7071
240°4π/3-1/2-0.5
270°3π/200
300°5π/31/20.5
315°7π/4√2/20.7071
330°11π/6√3/20.866
360°2π11
Calculatrice de cosinus — Calculatrice de cos(x) et arccos(x). Cercle unité, loi des cosinus, série de Taylor, triangle 30-60-90, degrés/radians.
Calculatrice de cosinus
Voir aussi
Calculatrices MathématiquesCALCULATRICES MATHéMATIQUES32
WuToolsWUTOOLS