Calculatrice de nombres complexes

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Un nombre complexe s'écrit sous la forme a + bi, où a et b sont réels et i est l'unité imaginaire qui vérifie iA = -1. La partie réelle est a et la partie imaginaire est b.

Les nombres complexes étendent la droite réelle en un plan complexe bidimensionnel grâce à l'unité imaginaire i. Ils sont essentiels en mathématiques, physique, ingénierie, traitement du signal et bien d'autres disciplines.

Formes des nombres complexes

Forme rectangulaire (a + bi)

La forme rectangulaire (ou cartésienne) exprime un nombre complexe comme la somme de ses parties réelle et imaginaire : z = a + bi, avec a la partie réelle et b la partie imaginaire.

Exemple : 3 + 4i a pour partie réelle 3 et partie imaginaire 4

Forme polaire (r^θ)

La forme polaire exprime un nombre complexe via sa magnitude (module) et son angle (argument) : z = r^θ ou z = rAe^(iθ), où r est le module et θ l'argument.

Le module r = √(aA + bA) représente la distance à l'origine, et l'argument θ = arctan(b/a) l'angle mesuré à partir de l'axe réel positif.

Exemple : 5∠53.13A est équivalent à 3 + 4i

Conversion entre formes

Rectangulaire vers polaire : r = √(aA + bA), θ = arctan(b/a)

Polaire vers rectangulaire : a = rAcos(θ), b = rAsin(θ)

Opérations sur les nombres complexes

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire en forme rectangulaire, additionnez ou soustrayez séparément les parties réelles puis les parties imaginaires :

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Multiplication

En forme rectangulaire : (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

En forme polaire : (r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)

Division

Pour diviser des nombres complexes, multipliez numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

En forme polaire : (r₁∠θ₁) A (r₂∠θ₂) = (r₁/r₂)∠(θ₁ - θ₂)

Conjugué complexe

Le conjugué de a + bi est a - bi. Géométriquement, c'est la réflexion par rapport à l'axe réel.

Important : z A- zθ = aA + bA (toujours un réel)

Puissances et racines

Théorème de Moivre : (r^θ)ⁿ = rⁿ∠(nθ)

La racine n-ième d'un nombre complexe possède n valeurs distinctes réparties uniformément sur un cercle.

Fonctions complexes

De nombreuses fonctions mathématiques s'étendent aux nombres complexes :

• Exponentielle : e^(a+bi) = e^a(cos b + iAsin b)
• Logarithme naturel : ln(r^θ) = ln(r) + iθ
• Fonctions trigonométriques : définies à l'aide de la formule d'Euler

Applications des nombres complexes

Les nombres complexes ont de nombreuses applications :

• Génie électrique : analyse des circuits AC et calculs d'impédance
• Traitement du signal : transformées de Fourier et analyse fréquentielle
• Mécanique quantique : fonctions d'onde et amplitudes de probabilité
• Théorie du contrôle : analyse de stabilité et fonctions de transfert
• Dynamique des fluides : écoulement potentiel et applications conformes
• Informatique graphique : transformations et fractales (ensemble de Mandelbrot)
• Aérodynamique : conception des ailes et analyse des flux d'air

Conseils d'utilisation

• Choisissez le format d'entrée approprié (rectangulaire ou polaire) selon le problème
• La multiplication et la division sont souvent plus simples en forme polaire
• L'addition et la soustraction sont plus simples en forme rectangulaire
• Basculez entre degrés et radians pour l'argument selon vos besoins
• Le conjugué est utile pour la division et pour calculer les modules