Calculadora de Aritmética Modular

Calcula operaciones de aritmética modular incluyendo módulo, inversa modular y exponenciación modular para criptografía y teoría de números.

¿Qué es la Aritmética Modular?

La aritmética modular es un sistema de aritmética para enteros donde los números "dan la vuelta" después de alcanzar un cierto valor (el módulo). A menudo se describe como "aritmética de reloj".

La expresión a mod m da el resto cuando a se divide entre m. Por ejemplo, 17 mod 5 = 2 porque 17 = 3 × 5 + 2.

Operaciones Básicas

La aritmética modular soporta todas las operaciones básicas:

• Suma: (a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m
• Resta: (a - b) mod m = ((a mod m) - (b mod m)) mod m
• Multiplicación: (a × b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m

Exponenciación Modular

La exponenciación modular calcula a^b mod m eficientemente usando el algoritmo de cuadrado y multiplicación. Esto es crucial para el cifrado RSA.

Por ejemplo, 3^5 mod 7 = 243 mod 7 = 5.

Inversa Modular

La inversa modular de a módulo m es un número x tal que:

a × x ≡ 1 (mod m)

Una inversa modular existe solo cuando a y m son coprimos (mcd(a, m) = 1). Se calcula usando el Algoritmo Euclidiano Extendido.

Por ejemplo, la inversa de 3 mod 7 es 5, porque 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7).

Aplicaciones de la Aritmética Modular

La aritmética modular es fundamental en muchas áreas:

• Criptografía: Cifrado RSA, intercambio de claves Diffie-Hellman
• Ciencias de la Computación: Funciones hash, sumas de verificación, generación de números aleatorios
• Teoría de Números: Pruebas de primalidad, algoritmos de factorización
• Teoría de Codificación: Códigos de detección y corrección de errores
• Teoría Musical: Técnica de doce tonos y clase de altura
• Cálculos de Calendario: Algoritmos del día de la semana