Calcula permutaciones, combinaciones y factoriales con aritmética de precisión arbitraria que maneja valores de miles de dígitos sin desbordamiento.
¿Qué es la Combinatoria?
La combinatoria es la rama de las matemáticas que cuenta arreglos y selecciones de colecciones finitas. Los tres bloques básicos — factorial, permutación y combinación — responden juntos casi cualquier pregunta de tipo "¿de cuántas formas...?", desde conteos de manos de póker y probabilidades de lotería hasta tiempos de ejecución de algoritmos y la estructura del código genético. Cada uno se calcula a partir de los otros mediante expresiones cortas con factoriales, así que una sola calculadora cubre todo el campo.
Permutación (nPr)
Una permutación es un arreglo donde el orden importa. El número de formas ordenadas de elegir r elementos de n distintos es nPr = n! / (n − r)!. Equivalentemente, tienes n opciones para el primer lugar, n−1 para el segundo, ..., n−r+1 para el r-ésimo — un producto de r enteros decrecientes empezando en n.
nPr = n! / (n - r)!
Ejemplo: arreglar 3 letras elegidas de {A, B, C, D} da 4P3 = 4!/1! = 24 tripletas ordenadas (ABC, ABD, ACB, ACD, ...). Caso real común: ¿de cuántas formas pueden 5 caballos terminar en los 3 primeros puestos de una carrera? Respuesta: 5P3 = 60.
Combinación (nCr)
Una combinación es una selección donde el orden no importa. El número de formas de elegir r elementos de n es nCr = n! / (r! × (n − r)!). También se escribe C(n,r) o "n elige r" y equivale a nPr dividido por r! — el r! elimina los reordenamientos entre los elegidos.
nCr = n! / (r! × (n - r)!)
Ejemplo: elegir 3 letras de {A, B, C, D} da 4C3 = 4 selecciones ({A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}). Caso real: una lotería que elige 6 números de 49 tiene 49C6 = 13.983.816 boletos posibles, así que la probabilidad de ganar el premio mayor con un boleto es aproximadamente 1 en 14 millones.
Factorial (n!)
El factorial de n es el producto de todos los enteros positivos hasta n: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n, con la convención 0! = 1 (el producto vacío). Cuenta el número de ordenamientos de n elementos distintos y aparece como bloque base tanto de nPr como de nCr.
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1
Los factoriales crecen más rápido que cualquier polinomio o exponencial simple. 10! = 3.628.800, 20! = 2.432.902.008.176.640.000, y 70! ≈ 1,2 × 10¹⁰⁰. Más allá de 170!, los doubles IEEE-754 desbordan — esta calculadora usa BigInt, así que el valor exacto se conserva para cualquier entrada que puedas esperar.
Aplicaciones de la Combinatoria
La combinatoria tiene amplias aplicaciones en muchos campos:
- Probabilidad y Estadística: conteo de manos de póker, paradoja del cumpleaños, muestreo sin reemplazo
- Ciencias de la Computación: conteo de caminos, complejidad de algoritmos, probabilidad de colisiones de hash, códigos correctores de errores
- Criptografía: tamaño del espacio de claves, fortaleza de contraseñas, factibilidad de fuerza bruta
- Teoría de Juegos: conteo de estados, análisis de juego óptimo, evaluación de árboles de decisión
- Biología y Química: combinaciones genéticas, isómeros moleculares, estructuras secundarias de ARN
- Investigación Operativa: planificación, rutas, empaquetado, llaves de torneos
Preguntas Frecuentes
Regla única: ¿importa el orden? Si sí, usa permutación. Si no, combinación. Una permutación cuenta arreglos: posiciones 1°/2°/3° en una carrera, las tres primeras letras de una contraseña, el orden de los discursos en una conferencia. Una combinación cuenta selecciones: qué 5 cartas forman tu mano de póker, qué 3 personas componen un comité, qué 6 números ganan la lotería. La relación es nPr = nCr × r! — cada combinación de r elementos tiene r! ordenamientos, y la permutación los cuenta todos. Ejemplo: elegir 2 letras de {A,B,C,D}. Combinaciones: {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D} = 6. Permutaciones: también AB y BA, AC y CA, ... así que 12. nP2 = 4!/2! = 12; nC2 = 4!/(2!·2!) = 6. Nota que 12 = 6 × 2! = 6 × 2. Ante la duda, escribe a mano un ejemplo pequeño para verificar si AB y BA cuentan como iguales o diferentes en tu problema.
Porque elegir qué r elementos incluir es matemáticamente idéntico a elegir qué n−r elementos dejar fuera. Cada selección de r elementos especifica de forma única un conjunto complementario de n−r excluidos, y viceversa, así que los dos conteos son iguales. Para 10 personas eligiendo un comité de 3, C(10,3) = 120. De forma equivalente, eliges las 7 personas que no estarán en el comité, y C(10,7) = 120 — el mismo número. Esta simetría también se ve en la fórmula: C(n,r) = n!/(r!(n−r)!) no cambia al intercambiar r y n−r. La implicación práctica es computacional: para calcular C(100, 97), no hagas un bucle de 97 — calcula C(100, 3) en su lugar, mismo valor con 3 multiplicaciones. El triángulo de Pascal exhibe esta simetría como el espejo izquierda-derecha de cada fila, y el teorema del binomio (a+b)^n = Σ C(n,k) a^(n−k) b^k usa la simetría para expresar cualquier expansión en la más pequeña de las dos formas equivalentes.
El triángulo de Pascal es el arreglo de coeficientes binomiales dispuesto de modo que cada fila n contiene C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). La fila 0 es solo 1; la fila 1 es 1 1; la fila 2 es 1 2 1; la fila 3 es 1 3 3 1; y así sucesivamente. El patrón se genera por la recurrencia C(n,k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) — cada entrada interior es la suma de las dos de arriba. Razonamiento combinatorio: para elegir k elementos de n, o el n-ésimo está incluido (entonces eliges k−1 de los n−1 restantes) o excluido (entonces eliges k de los n−1 restantes). El triángulo fue estudiado de forma independiente en muchas culturas — China (Yang Hui, 1261), Persia (Al-Karaji, c. 1000), India (comentario de Halayudha a Pingala, c. 950) y Francia (Blaise Pascal, 1654) — y aparece por todos lados, desde el teorema del binomio hasta fractales (el triángulo de Sierpinski es Pascal módulo 2), los números de Catalan y la sucesión de Fibonacci (sumas de diagonales poco profundas).
La repetición invierte las fórmulas. Con repetición permitida, el número de arreglos ordenados de r elementos entre n opciones es n^r — para cada uno de los r espacios eliges independientemente cualquiera de los n elementos. Ejemplo: un PIN de 4 dígitos sobre 10 dígitos = 10^4 = 10.000. El número de selecciones sin orden con repetición ("multiconjuntos") es C(n + r − 1, r) — la fórmula de "estrellas y barras". Ejemplo: distribuir 5 dulces idénticos entre 3 niños es C(5+3−1, 5) = C(7,5) = 21. Sin repetición se aplican los nPr y nCr estándar. Matriz rápida de decisión: orden importa + repetición → n^r; orden importa + sin repetición → nPr; el orden no importa + sin repetición → nCr; el orden no importa + repetición → C(n+r−1, r). Confundir estos cuatro casos es la fuente más común de errores de probabilidad en exámenes y entrevistas de programación.
En una sala de solo 23 personas, la probabilidad de que al menos dos compartan cumpleaños supera el 50%; con 70 personas supera el 99,9%. Esto sorprende porque la intuición espera que se necesiten 365/2 ≈ 180 personas. El truco está en que no preguntamos "¿alguien comparte mi cumpleaños?" (que sí necesitaría ~180 personas), sino "¿coincide algún par de la sala?" — y el número de pares crece cuadráticamente como C(n,2). Con 23 personas hay 253 pares, cada uno con probabilidad ~1/365 de coincidir, dando aproximadamente 253/365 ≈ 69% — cerca del valor exacto. El cálculo exacto usa el complemento: P(todos distintos) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × (365−n+1)/365, y P(al menos una coincidencia) = 1 − P(todos distintos). Esta misma estructura combinatoria es la razón por la que las colisiones de hash aparecen tras aproximadamente √N hashes en hashes de N bits (un ataque llamado ataque de cumpleaños en criptografía) y por la que MD5 (128 bits) ya no se considera resistente a colisiones a 2^64 ≈ 18 trillones de muestras.
La mayoría de loterías elige un conjunto pequeño de números de un pool más grande. La probabilidad de acertar todos es 1 sobre el número de sorteos posibles, que es una combinación porque el orden no importa. Lotto 6/49 (Canadá, España): C(49,6) = 13.983.816 — alrededor de 1 entre 14 millones. Powerball (EE. UU.): elige 5 de 69 bolas blancas y 1 de 26 rojas, así que C(69,5) × 26 = 11.238.513 × 26 = 292.201.338 — alrededor de 1 entre 292 millones. EuroMillones: C(50,5) × C(12,2) = 139.838.160. La probabilidad de ganar algún premio es mucho mejor porque la mayoría de loterías paga premios menores por aciertos parciales (por ejemplo, 3 números de 6). Para Lotto 6/49, acertar exactamente 3 de 6 es C(6,3) × C(43,3) / C(49,6) ≈ 1 en 57. La razón de que la ventaja de la casa sea tan grande no son las probabilidades del bote, sino el premio agregado: las loterías típicas devuelven solo el 50–60% de los ingresos como premios, y el resto va a operaciones, impuestos y causas benéficas.
C(n, 0) es 1 porque hay exactamente una forma de no elegir nada — la selección vacía. Es intuitivo y forzado por la fórmula: C(n, 0) = n! / (0! × n!) = 1, con 0! = 1 por convención. C(n, n) es 1 porque hay exactamente una forma de elegirlo todo — el conjunto completo. La fórmula da C(n, n) = n! / (n! × 0!) = 1. Estos casos límite importan para el teorema del binomio: (1 + x)^n = Σ C(n, k) x^k incluye un término constante (k = 0, coeficiente C(n,0) = 1) y un término principal (k = n, coeficiente C(n,n) = 1). También encajan con la simetría C(n, k) = C(n, n−k) — elegir 0 para incluir es lo mismo que elegir los n para excluir. Ambos extremos de cada fila del triángulo de Pascal son 1, y las sumas de filas valen 2^n porque ese es el número total de subconjuntos de un conjunto de n elementos.
Esta calculadora usa BigInt para precisión arbitraria, así que no hay un límite fijo — solo prácticos. El cuello de botella es multiplicar enteros muy grandes, lo que BigInt hace en aproximadamente O((dígitos)^1,58) con el algoritmo de Karatsuba. Para factoriales: 100! tiene 158 dígitos y se calcula en milisegundos; 1000! tiene 2568 dígitos y tarda una fracción de segundo; 100000! tiene 456.574 dígitos y tarda varios segundos; 1.000.000! tiene 5.565.709 dígitos y puede llevar uno o dos minutos y varios cientos de MB de memoria. Para combinaciones y permutaciones, el resultado suele ser mucho menor que n! por las cancelaciones en la fórmula, así que C(1000, 5) = 8,25 × 10¹² es instantáneo aunque 1000! sea enorme. Para estadística, la aproximación de Stirling log(n!) ≈ n ln(n) − n + 0,5 ln(2πn) da el logaritmo de cualquier factorial en O(1) — útil para entropía, log-verosimilitudes y métricas informacionales donde no necesitas cada dígito.
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