Centro de calculadoras de trigonometría
Consulta seno, coseno, tangente y sus recíprocos (cosecante, secante, cotangente) más las funciones inversas arcoseno, arcocoseno, arcotangente y atan2 — con fórmulas, valores exactos, dominio y rango, y enlaces a calculadoras dedicadas que computan en vivo en tu navegador. Todas las referencias verificadas contra NIST DLMF e ISO 80000-2.
Revisado por WuTools Engineering Team · Última actualización
¿Qué es la trigonometría y qué significan estas funciones?
La trigonometría es la rama de las matemáticas que conecta ángulos con razones de longitudes de lados en triángulos y, a través del círculo unitario, con el movimiento periódico que impregna la física, la ingeniería y el procesamiento de señales. Seis funciones — seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot) — describen un mismo ángulo de seis maneras relacionadas. Sus funciones inversas — arcoseno (asin), arcocoseno (acos), arcotangente (atan) y la atan2 de dos argumentos — recorren el camino opuesto: dada una razón, recuperan el ángulo.
La forma más limpia de definirlas es el círculo unitario: un círculo de radio 1 centrado en el origen. Para un ángulo θ medido en sentido antihorario desde el eje x positivo, el punto donde el rayo terminal corta al círculo tiene coordenadas (cos θ, sin θ). La tangente es la razón sin θ / cos θ, equivalente a la pendiente de ese rayo terminal. La trío recíproca (csc, sec, cot) son simplemente 1/sin, 1/cos, 1/tan. Esta definición se extiende de forma natural más allá de las razones del triángulo rectángulo a todos los ángulos reales, incluidos los negativos y obtusos.
Un programador que se encuentre con Math.sin, Math.cos y Math.tan de JavaScript debe recordar un detalle por encima de todos: esperan ángulos en radianes, no en grados. Hay 2π radianes en un círculo completo, así que 180° = π radianes y 1° = π/180 ≈ 0,01745329 radianes. Olvidar esta conversión es el error más común en código trigonométrico. La mayoría de las calculadoras de ingeniería incluyen un selector grados/radianes (DEG/RAD) por la misma razón. En el bachillerato español, los radianes se introducen formalmente en el currículo de 1.º de Bachillerato (modalidad de Ciencias).
Las seis funciones trigonométricas, explicadas
Seno (sin) — la coordenada vertical en el círculo unitario
Definido como cateto opuesto sobre hipotenusa en un triángulo rectángulo, o equivalentemente la coordenada y del punto del círculo unitario en el ángulo θ. Dominio: todos los reales. Rango: [−1, 1]. Periodo 2π. Valores clave: sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2 ≈ 0,7071, sin(60°) = √3/2 ≈ 0,8660, sin(90°) = 1. El seno es una función impar: sin(−θ) = −sin(θ). Modela cualquier magnitud que oscile simétricamente en torno a cero — péndulos, voltaje de corriente alterna, presión sonora, olas marinas.
Coseno (cos) — la coordenada horizontal en el círculo unitario
Definido como cateto adyacente sobre hipotenusa, o la coordenada x en el círculo unitario. Dominio: todos los reales. Rango: [−1, 1]. Periodo 2π. Valores clave: cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0. El coseno es par: cos(−θ) = cos(θ). Es un seno desfasado 90° — cos(θ) = sin(θ + π/2) — por eso seno y coseno aparecen juntos en casi todas las ecuaciones de onda, transformadas de Fourier y matrices de rotación.
Tangente (tan) — pendiente del rayo terminal
Definida como sin θ / cos θ, o la pendiente de la recta que va desde el origen al punto del círculo unitario en θ. Dominio: todos los reales excepto π/2 + kπ (donde el coseno es cero). Rango: todos los reales. Periodo π — la mitad que el del seno y el coseno. Valores clave: tan(0°) = 0, tan(30°) = 1/√3 ≈ 0,5774, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3 ≈ 1,7321. Cuando θ se acerca a 90° por debajo, tan crece sin límite; tan(90°) no está definido. La tangente es la elección natural para problemas de pendiente, gradiente y campo de visión.
Cosecante (csc) — recíproco del seno
csc θ = 1 / sin θ. El dominio excluye 0, ±π, ±2π… Rango: (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Periodo 2π. Valores clave: csc(30°) = 2, csc(45°) = √2 ≈ 1,4142, csc(60°) = 2/√3 ≈ 1,1547, csc(90°) = 1. La cosecante apenas se usa en computación moderna porque 1 / Math.sin(x) es igual de rápido y más claro. Sobrevive en identidades clásicas del cálculo (la integral ∫ csc x dx, por ejemplo) y en óptica, donde aparece en deducciones de la ley de Snell.
Secante (sec) — recíproco del coseno
sec θ = 1 / cos θ. Dominio excluye π/2 + kπ. Rango: (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Periodo 2π. Valores clave: sec(0°) = 1, sec(30°) = 2/√3, sec(45°) = √2, sec(60°) = 2. Útil en integrales trigonométricas (la primitiva de sec² x es tan x) y en fórmulas de topografía que relacionan distancia inclinada con distancia horizontal en una pendiente.
Cotangente (cot) — recíproco de la tangente
cot θ = cos θ / sin θ = 1 / tan θ. Dominio excluye 0, ±π, ±2π… Rango: todos los reales. Periodo π. Valores clave: cot(30°) = √3, cot(45°) = 1, cot(60°) = 1/√3, cot(90°) = 0. La cotangente aparece en dinámica de fluidos (la ecuación de Manning expresa la pendiente de un canal en cot), en adaptación de impedancia de redes y en fórmulas topográficas de pendiente y gradiente donde los ingenieros prefieren la relación subida/avance.
Funciones inversas: arcsin, arccos, arctan y atan2
Las funciones inversas responden a la pregunta "¿qué ángulo tiene este seno/coseno/tangente?". Como las funciones trigonométricas son periódicas, cada inversa debe restringirse a una rama principal: asin devuelve un ángulo en [−π/2, π/2], acos en [0, π], atan en (−π/2, π/2). Sus dominios: asin y acos aceptan entradas en [−1, 1]; atan acepta cualquier real. atan2(y, x) es una inversa especial de dos argumentos que usa los signos de x e y para devolver un ángulo en el rango completo (−π, π], gestionando correctamente los cuatro cuadrantes y el caso x = 0. Es la elección estándar en gráficos, robótica y navegación.
Tabla de valores comunes — formas algebraicas exactas
Memorizar cinco filas cubre casi todas las preguntas de examen y constantes en código: 0° → sin 0, cos 1, tan 0; 30° (π/6) → sin 1/2, cos √3/2, tan 1/√3; 45° (π/4) → sin √2/2, cos √2/2, tan 1; 60° (π/3) → sin √3/2, cos 1/2, tan √3; 90° (π/2) → sin 1, cos 0, tan no definida. Observa la simetría: los valores de sin y cos se reflejan a través de 45°, porque sin(θ) = cos(90° − θ). Esta es la identidad cofuncional, y de ahí proviene el prefijo "co-" en coseno, cotangente y cosecante.
Dónde aparece la trigonometría en el trabajo real
- Arquitectura y pendiente del tejado: Un tejado a dos aguas que sube 4 m sobre 6 m de tirada horizontal tiene un ángulo de pendiente atan(4/6) ≈ 33,7°. El Código Técnico de la Edificación (CTE) español exige pendientes mínimas según el material: tejas cerámicas ≥30%, pizarra ≥40%, panel sándwich ≥7%. El "porcentaje" en construcción es la tangente expresada en %.
- Ingeniería eléctrica — formas de onda CA: La tensión de red en España es V(t) = 325·sin(2π·50·t) — una onda senoidal de 50 Hz con pico 325 V (RMS 230 V). En América Latina (México y casi todo el continente), la red opera a 60 Hz (110–127 V RMS). La reactancia, el factor de potencia y el análisis trifásico son ángulos de fase medidos en grados o radianes.
- Navegación y rumbos: Los rumbos GPS se indican en grados desde el norte (0°–360°). Para calcular el cambio de latitud/longitud tras recorrer la distancia d con rumbo β, se usa Δlat = d·cos(β) y Δlon = d·sin(β)/cos(lat). La fórmula del haversine — con sin² y cos — calcula la distancia ortodrómica entre dos puntos. Los aeropuertos de Madrid y Barcelona enrutan vuelos con esta matemática diariamente.
- Procesamiento de señales — Fourier y FFT: Cualquier señal periódica puede descomponerse en suma de componentes sin y cos en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. La Transformada Rápida de Fourier (FFT) es la base de MP3, JPEG, Wi-Fi y 5G; cada plug-in moderno de audio llama a Math.sin y Math.cos millones de veces por segundo.
- Astronomía — paralaje y distancia estelar: La distancia de una estrella en pársecs equivale a 1 / tan(ángulo de paralaje en segundos de arco). Las identidades trigonométricas también gobiernan las transformaciones de coordenadas entre los sistemas ecuatorial, eclíptico y galáctico que utilizan el Observatorio del Roque de los Muchachos en La Palma y el Observatorio de Calar Alto.
- Desarrollo de videojuegos y rotación 3D: Rotar un sprite por un ángulo θ usa x' = x·cos(θ) − y·sin(θ), y' = x·sin(θ) + y·cos(θ). Los motores de juegos llaman a
Math.sinyMath.cosen cada fotograma; el código moderno precalcula una tabla de senos o usa cuaterniones para reducir el coste. - Física — tiro parabólico y ondas: Un proyectil lanzado a velocidad v y ángulo θ tiene alcance v²·sin(2θ)/g. El alcance máximo se da en θ = 45° — un ejercicio clásico del bachillerato de Ciencias. La ley de Snell (n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂) gobierna toda lente, toda fibra óptica y todo prisma.
Resumen de funciones trigonométricas
| Función | Calculado en |
|---|---|
| 1 sin (Sine) | 1 Pa |
| 1 cos (Cosine) | 1 Pa |
| 1 tan (Tangent) | 1 Pa |
| 1 csc (Cosecant) | 1 Pa |
| 1 sec (Secant) | 1 Pa |
| 1 cot (Cotangent) | 1 Pa |
| 1 asin (Arcsine) | 1 Pa |
| 1 acos (Arccosine) | 1 Pa |
| 1 atan (Arctangent) | 1 Pa |
| 1 atan2 (Two-argument arctangent) | 1 Pa |
Preguntas frecuentes sobre trigonometría
¿Cuál es la diferencia entre sin y arcsin?
sin toma un ángulo y devuelve una razón en [−1, 1]: sin(30°) = 0,5. arcsin (también escrito asin o sin⁻¹) hace lo contrario: asin(0,5) = 30°. Son operaciones inversas, pero como el seno es periódico, arcsin solo devuelve ángulos en el rango principal [−90°, 90°] (o [−π/2, π/2] en radianes). Para recuperar otros ángulos válidos, sumas 180° o usas la identidad cofuncional.
¿Por qué las calculadoras dan resultados distintos en grados y radianes?
Porque están calculando la misma función con entradas distintas. sin(90) en modo grados = 1 (el ángulo es 90°). sin(90) en modo radianes ≈ 0,894 (el ángulo es 90 radianes ≈ 5156°). El Math.sin de JavaScript siempre usa radianes; las hojas de cálculo (Excel, Google Sheets) por defecto usan radianes en su función SEN. Comprueba siempre el indicador de modo antes de fiarte de un resultado. La conversión es rad = grad × π/180.
¿Qué significan csc/sec/cot y cuándo los necesito?
Son los recíprocos: csc = 1/sin, sec = 1/cos, cot = 1/tan. En el cálculo cotidiano casi nunca los necesitas — 1/Math.sin(x) funciona perfectamente. Sobreviven porque las integrales trigonométricas y ciertas manipulaciones de identidades resultan más limpias en su lenguaje. Si un libro de texto integra ∫ sec(x)·tan(x) dx = sec(x), las formas recíprocas hacen que el patrón sea claro.
¿Cuánto vale exactamente sin(30°)? ¿Y cos(60°)?
Ambos valen exactamente 1/2. En concreto: sin(30°) = sin(π/6) = 1/2, y cos(60°) = cos(π/3) = 1/2. Coinciden por la identidad cofuncional sin(θ) = cos(90° − θ). Otros valores exactos que conviene memorizar: sin(45°) = cos(45°) = √2/2 ≈ 0,7071, sin(60°) = cos(30°) = √3/2 ≈ 0,8660, tan(45°) = 1. Son conocimientos básicos en exámenes de Selectividad/EBAU.
¿Cómo se resuelve un triángulo rectángulo?
Dados dos lados cualesquiera, o un lado y un ángulo agudo, puedes encontrar todo lo demás. Usa la regla mnemotécnica SOH-CAH-TOA: Sen = Opuesto/Hipotenusa, Cos = Adyacente/Hipotenusa, Tan = Opuesto/Adyacente. Ejemplo: un triángulo rectángulo 3-4-5 tiene el ángulo opuesto al lado 3 igual a asin(3/5) ≈ 36,87°. Después usa el teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) para verificar las longitudes y la suma de ángulos (90° + α + β = 180°) para hallar el tercer ángulo.
¿Por qué tan(90°) no está definida?
Porque tan = sin/cos, y cos(90°) = 0. La división por cero no está definida. Cuando θ se acerca a 90° por debajo, tan(θ) crece sin límite (asíntota vertical). Numéricamente, Math.tan(Math.PI/2) en JavaScript devuelve aproximadamente 1,633e+16 — un número muy grande pero finito, no Infinity, porque π/2 no se puede representar con exactitud en coma flotante IEEE 754. Trata cualquier resultado superior a ~1e15 como infinito a efectos prácticos.
¿Qué es atan2 y en qué se diferencia de atan?
atan(y/x) recibe una sola razón y devuelve un ángulo en (−90°, 90°) — pero no puede saber si el (x, y) original estaba en el cuadrante I o III, ya que ambos producen la misma razón. atan2(y, x) recibe ambas coordenadas y usa sus signos para devolver el ángulo correcto en el rango completo (−180°, 180°], incluyendo el caso x = 0. Es la elección correcta para ángulos de vectores, rumbos GPS y cualquier código que necesite un ángulo único a partir de un punto 2D.
¿Qué precisión tienen las funciones trigonométricas de JavaScript?
Math.sin, Math.cos y Math.tan de JavaScript usan flotantes IEEE 754 de doble precisión — unos 15–17 dígitos decimales significativos. Para la mayoría de aplicaciones sobra. La trampa principal es la reducción de argumento: Math.sin(1e15) puede tener un error notable porque la entrada ya perdió precisión antes de calcular el seno. Para valores cercanos a múltiplos de π (por ejemplo sin(π) devolviendo 1,2e-16 en lugar de 0), espera errores de redondeo a nivel ULP — es normal.
¿Por qué aparecen funciones trigonométricas en las fórmulas de física?
Cualquier cosa que rote, oscile o se enrolle aparece como sin/cos. La posición de un péndulo es A·cos(ωt). Un electrón orbitando un núcleo se describe con armónicos esféricos construidos a partir de senos y cosenos. Las funciones de onda cuánticas, las ecuaciones de Maxwell, la ecuación de Schrödinger e incluso las transformaciones de Lorentz de la relatividad contienen trigonometría (o sus primas hiperbólicas). Razón profunda: las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden como ẍ + ω²x = 0 son exactamente senos y cosenos.
¿Dónde puedo aprender trigonometría desde cero?
El currículo de Matemáticas de 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato del Ministerio de Educación cubre todo, desde triángulos rectángulos hasta identidades. Khan Academy en español tiene un curso gratuito completo. Para profundidad académica, las clases en abierto del MIT (18.01) son rigurosas. Para práctica interactiva, la calculadora gráfica Desmos ayuda a desarrollar intuición visual del seno y el coseno. La Biblioteca Digital NIST (dlmf.nist.gov/4) es la referencia autorizada para definiciones, identidades y desarrollos en serie cuando necesitas verificar una fórmula.
Referencias
Calculadoras de trigonometría dedicadas
CALCULADORAS6