Tính toán
Toán họcMáy tính Tan - Tan(x)
Tính tan(x) và arctan(x) theo độ hoặc radian. Đường tròn đơn vị, bảng giá trị, độ dốc đường thẳng và ví dụ từng bước cho học sinh, kỹ sư.
Tính giá trị tan
Máy tính arctan (tan ngược)
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cảHàm số tang (tan(x))
Hàm tang, ký hiệu tan(x), là một trong ba hàm lượng giác cơ bản, cùng với sin và cos. Trong tam giác vuông, tan(θ) bằng cạnh đối diện góc chia cho cạnh kề — TOA trong câu thần chú SOH-CAH-TOA. Tương đương, tan(x) = sin(x) / cos(x). Về mặt hình học, tan(θ) đo độ dốc của một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo góc θ với trục x dương. Tính kép này — vừa là tỷ số các cạnh, vừa là độ dốc đường thẳng — chính là lý do tan xuất hiện trong trắc địa, thiết kế đường dốc, quang học, xử lý tín hiệu và quy tắc dây xích trong giải tích.
Khác với sin và cos vốn luôn giữ giá trị trong [−1, +1], tan vọt lên ±∞ tại một số góc. Các tính chất chính của tan là:
- Tính tuần hoàn: tan(x) lặp lại mỗi π radian (180°), không phải 2π. Tức là tan(x) = tan(x + kπ) với mọi số nguyên k. Chu kỳ ngắn hơn này xuất hiện trực tiếp từ việc sin và cos đồng thời đổi dấu sau mỗi π.
- Tiệm cận đứng: vì cos(x) = 0 tại x = π/2, 3π/2, 5π/2, …, tan không xác định ở đó — đồ thị bắn lên ±∞. Hàm không bao giờ chạm tới các tiệm cận này; chỉ tiến gần tùy ý.
- Đối xứng lẻ: tan(−x) = −tan(x). Đồ thị có tâm đối xứng tại gốc tọa độ, giống sin.
- Tập giá trị không bị chặn: tan(x) có thể nhận mọi giá trị thực, từ −∞ đến +∞. Vì vậy arctan, hàm ngược của nó, chấp nhận mọi số thực làm đầu vào.
- Đồ thị: mẫu lặp lại các đường cong hình chữ S phân tách bởi các tiệm cận đứng; mỗi nhánh đi qua (kπ, 0) và đơn điệu tăng từ −∞ đến +∞.
Tang được dùng nhiều trong các lĩnh vực mà độ dốc, gradient hoặc góc nâng quan trọng: xây dựng dân dụng (độ dốc đường), trắc địa (đo chiều cao vật không thể trèo lên), đồ họa máy tính (góc nhìn camera), quang học (định luật Snell trong một số dạng) và điện kỹ thuật (góc pha trở kháng). Trong giải tích, tan và arctan đan xen với quy tắc dây xích, tích phân bằng phép thế lượng giác, và phép thế Weierstrass nổi tiếng u = tan(x/2) biến tích phân hữu tỉ chứa sin/cos thành tích phân hữu tỉ thông thường.
Độ (deg °) và Radian (rad) là gì?
Các hàm lượng giác nhận góc theo hai đơn vị tiêu chuẩn: độ và radian. Nhầm lẫn giữa chúng là nguyên nhân hàng đầu khiến bài tập vật lý và kỹ thuật sai kết quả, nên rất đáng để hiểu rõ.
- Độ: một vòng tròn đầy đủ được chia thành 360 phần. Con số 360 mang tính lịch sử — có các ước 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … giúp các nhà thiên văn Babylon khoảng năm 2000 trước Công nguyên dễ dàng chia phân số.
- Radian: một vòng tròn đầy đủ tương đương 2π ≈ 6,283 radian. Một radian là góc tại tâm chắn cung có độ dài bằng bán kính. Radian là đơn vị tự nhiên trong giải tích vì d/dx tan(x) = sec²(x) chỉ đúng khi x tính bằng radian.
Để chuyển đổi giữa hai đơn vị, dùng hai công thức sau — là nghịch đảo của nhau:
- Từ độ sang radian: radian = độ × π180
- Từ radian sang độ: độ = radian × 180π
Bảng giá trị tan thông dụng
| Góc (°) | Góc (Radian) | tan(góc) | tan(góc) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.000 |
| 30° | π/6 | 1/√3 or √3/3 | 0.577 |
| 45° | π/4 | 1 | 1.000 |
| 60° | π/3 | √3 | 1.732 |
| 90° | π/2 | Undefined | - |
| 120° | 2π/3 | -√3 | -1.732 |
| 135° | 3π/4 | -1 | -1.000 |
| 150° | 5π/6 | -1/√3 or -√3/3 | -0.577 |
| 180° | π | 0 | 0.000 |
| 210° | 7π/6 | 1/√3 or √3/3 | 0.577 |
| 225° | 5π/4 | 1 | 1.000 |
| 240° | 4π/3 | √3 | 1.732 |
| 270° | 3π/2 | Undefined | - |
| 300° | 5π/3 | -√3 | -1.732 |
| 315° | 7π/4 | -1 | -1.000 |
| 330° | 11π/6 | -1/√3 or -√3/3 | -0.577 |
| 360° | 2π | 0 | 0.000 |
Lưu ý tan(90°) và tan(270°) không xác định, ở đây đánh dấu bằng gạch ngang. Giá trị thực tế bùng nổ về +∞ ở một phía của các góc đó và −∞ ở phía kia, tùy hướng tiến tới. Về mặt số học, máy tính gần 90° sẽ trả về những số khổng lồ như 1e15 vì cos(89,99999°) rất nhỏ nhưng không phải đúng 0.
Câu hỏi thường gặp
Tang được định nghĩa là sin(x) chia cho cos(x). Tại 90°, sin(90°) = 1 và cos(90°) = 0, nên tan(90°) = 1/0, không xác định — chia cho số 0. Về hình học, tan(θ) là độ dốc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo góc θ với trục x. Tại 90°, đường thẳng đó thẳng đứng, mà đường thẳng đứng không có độ dốc xác định (lên trên bao nhiêu chia cho không tiến ngang). Khi tiến tới 90° từ dưới, tan tăng vô hạn: tan(89°) ≈ 57, tan(89,9°) ≈ 573, tan(89,99°) ≈ 5.729. Khi tiến từ trên, nó lao xuống −∞: tan(91°) ≈ −57. Sự gián đoạn này chính là lý do đồ thị tan có tiệm cận đứng tại mọi bội lẻ của π/2 (90°, 270°, 450°, …). Vấn đề tương tự xảy ra với cot tại bội của π, và với sec, csc — bất cứ chỗ nào mẫu của hàm lượng giác bằng 0.
Vẽ tam giác vuông có cạnh đối (o), cạnh kề (a) và cạnh huyền h. Theo định nghĩa, sin(θ) = o/h, cos(θ) = a/h và tan(θ) = o/a. Chia hai biểu thức đầu: sin(θ)/cos(θ) = (o/h) / (a/h) = (o/h) · (h/a) = o/a = tan(θ). Vậy tan = sin/cos không phải định nghĩa riêng; đó là hệ quả trực tiếp của cách ba hàm này được thiết lập. Đẳng thức này được dùng nhiều nhất trong lượng giác vì nó cho phép chuyển bài toán tan thành bài toán sin/cos (vốn bị chặn và dễ xử lý) và ngược lại. Nó cũng làm rõ tiệm cận của tan: nơi cos bằng 0, ta chia cho 0. Quy tắc đạo hàm tan'(x) = sec²(x) cũng rơi ra khi áp dụng quy tắc thương cho đẳng thức này, cùng với đồng nhất thức Pythagoras sin² + cos² = 1.
Arctan, viết tan⁻¹(x) hoặc atan(x), nhận mọi số thực và trả về một góc. Vì tan lặp mỗi π, arctan phải chọn một khoảng chuẩn — theo quy ước là (−π/2, +π/2), tương đương (−90°, +90°). Do đó arctan(1) = 45°, arctan(−1) = −45°, arctan(số rất lớn) tiến đến 90°, arctan(số rất nhỏ âm) tiến đến −90°. Vấn đề: chỉ arctan thôi không phân biệt được điểm (1, 1) với điểm (−1, −1) — cả hai cùng độ dốc 1, đều cho arctan(1) = 45°, nhưng nằm ở hai phần tư khác nhau. Vì thế các ngôn ngữ lập trình cung cấp atan2(y, x) — nhận cả hai tọa độ và trả về góc đầy đủ trong (−π, π], đặt điểm đúng phần tư. Atan2 là hàm bạn thực sự cần khi tính góc trong đồ họa máy tính, robotics và định vị. Đừng bao giờ tính atan(y/x) khi có sẵn cả x và y; atan2 đúng ở cả bốn phần tư và xử lý x = 0 mượt mà.
Sin và cos đều có chu kỳ 2π — sau một vòng tròn đầy đủ chúng quay lại giá trị ban đầu. Tang thì khác, lặp lại sau mỗi nửa vòng. Lý do: tan(x + π) = sin(x + π) / cos(x + π) = (−sin(x)) / (−cos(x)) = sin(x)/cos(x) = tan(x). Khi quay 180°, cả sin và cos đều đổi dấu, và hai dấu âm triệt tiêu nhau trong thương. Về hình học, đường thẳng qua gốc tọa độ với góc θ chính là cùng đường thẳng với đường ở góc θ + 180° — chúng có cùng độ dốc. Độ dốc chính là thứ tan đo, nên tan không thể phân biệt hai góc đó và hàm lặp lại. Chu kỳ ngắn hơn này cũng là lý do arctan có miền giá trị hẹp hơn arcsin hay arccos.
Với đường thẳng trên mặt phẳng xy, độ dốc được định nghĩa là độ cao tăng chia cho khoảng tiến ngang: y thay đổi bao nhiêu khi x tăng một đơn vị. Nếu đường thẳng tạo góc θ với trục x dương (đo ngược chiều kim đồng hồ), thì với mỗi đoạn ngang cos(θ), đường thẳng dâng lên sin(θ). Vậy độ dốc = sin(θ)/cos(θ) = tan(θ). Đẳng thức này là cây cầu giữa hình học và đại số. Đường thẳng 45° có độ dốc tan(45°) = 1, đường thẳng 30° có độ dốc tan(30°) = 1/√3 ≈ 0,577, đường thẳng đứng có độ dốc tan(90°) — không xác định, đúng với trực giác đại số rằng đường thẳng đứng có độ dốc vô hạn. Kỹ sư xây dựng dùng điều này cho độ dốc đường: dốc 5% là độ dốc 0,05, tương ứng góc arctan(0,05) ≈ 2,86°. Đường dốc cho xe lăn ở Mỹ phải tối đa 1:12, tức tan⁻¹(1/12) ≈ 4,76°.
Khi tích phân các hàm hữu tỉ của sin và cos, học sinh giải tích học phép thế u = tan(x/2). Nó kỳ diệu: chuyển mọi biểu thức hữu tỉ theo sin(x) và cos(x) thành biểu thức hữu tỉ theo u, sau đó có thể xử lý bằng phân thức từng phần. Ba đẳng thức then chốt là sin(x) = 2u/(1+u²), cos(x) = (1−u²)/(1+u²) và dx = 2/(1+u²) du. Ví dụ, ∫ dx / (1 + cos(x)) trở thành ∫ 2 du / (1 + (1−u²)/(1+u²)) · 1/(1+u²) = ∫ du = u + C = tan(x/2) + C. Kỹ thuật này được đặt tên theo Karl Weierstrass, nhà giải tích Đức thế kỷ 19, dù Euler đã dùng từ trước đó một thế kỷ. Đây là một trong những công cụ mạnh nhất của tích phân sơ cấp và thường xuyên giải được những tích phân mà mọi cách tiếp cận khác đều bó tay.
Tan có tiệm cận đứng tại 90° và 270°, nơi cos bằng 0. Gần các điểm đó, cos rất nhỏ nhưng khác 0, và chia cho số rất nhỏ ra kết quả rất lớn. tan(89,9999°) xấp xỉ 572.957 vì cos(89,9999°) ≈ 0,00000175. Giá trị này đúng về mặt toán học, chỉ là gây ấn tượng. Cũng có một cái bẫy số học: nếu tính tan như sin/cos trực tiếp trong số dấu phẩy động, bạn có thể mất độ chính xác gần tiệm cận vì cos rơi vào vùng mà double IEEE-754 không còn biểu diễn được giá trị chính xác. Các thư viện toán chất lượng (MKL của Intel, OpenLibm) dùng kỹ thuật giảm phạm vi và đa thức xấp xỉ chuyên dụng để cho kết quả làm tròn đúng ngay cả ở góc cực hạn. Trên thực tế, nếu bạn làm việc trong phạm vi microdegree quanh 90°, có lẽ nên đặt lại bài toán theo cot(x) = cos(x)/sin(x), vốn ứng xử tốt ở đó.
Trắc địa: đo chiều cao tòa nhà hay ngọn núi mà không cần trèo, bạn đo góc nâng θ từ khoảng cách d đã biết và tính chiều cao = d · tan(θ). Xây dựng dân dụng: độ dốc đường và độ dốc đường dốc xe lăn là tỷ số tan. Quang học: trường nhìn của máy ảnh thỏa mãn tan(FOV/2) = (chiều rộng cảm biến / 2) / tiêu cự, giúp nhiếp ảnh gia tính chính xác phần trong khung hình. Điện kỹ thuật: trong mạch xoay chiều, góc pha giữa điện áp và dòng điện là arctan(điện kháng / điện trở). Đồ họa máy tính: ma trận chiếu phối cảnh dùng cot(fovy/2) — cotang của nửa góc nhìn — để chia tỷ lệ vật thể đúng. Định vị: hướng la bàn giữa hai tọa độ GPS được tính bằng atan2 trên hiệu vĩ độ và kinh độ. Thiên văn: đo thị sai sao dùng tan(θ) ≈ θ với góc rất nhỏ để đổi dịch chuyển quan sát thành khoảng cách tính bằng parsec. Bất cứ khi nào mối liên hệ giữa một góc và tỷ số hai chiều dài đóng vai trò quan trọng, tan đều xuất hiện.
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS