Công cụ Tính toán Tính toánCông cụ Toán học Toán học

Máy tính Sec - sec(x) và arcsec(x)

Tính sec(x) và arcsec(x) theo độ hoặc radian. Nghịch đảo của cos, đẳng thức 1+tan²=sec², tích phân mẹo, ứng dụng thực tế và bảng giá trị thông dụng.

sec

Máy tính sec nghịch

sec-1
°
rad

Hàm sec là gì?

Hàm sec, viết sec(x), là một trong sáu hàm lượng giác và là nghịch đảo của cos. Trong tam giác vuông, sec(θ) là tỷ số giữa cạnh huyền và cạnh kề góc θ — đảo ngược chính xác của cos(θ) = kề/huyền. Trên đường tròn đơn vị, sec(θ) là độ dài đoạn từ gốc tới điểm nơi tiếp tuyến tại điểm góc gặp trục x. Cái tên đến từ tiếng Latin secans (cắt), chỉ một đường cát tuyến trên đường tròn.

Sec xuất hiện trong giải tích (đặc biệt là đẳng thức Pythagoras 1 + tan²(x) = sec²(x), dùng nhiều trong tích phân bằng phép thế lượng giác), trong vật lý (khối lượng không khí mà ánh sáng mặt trời đi qua là sec của góc thiên đỉnh, dùng trong năng lượng mặt trời và quang học khí quyển), trong quang học (phương trình thợ làm kính ở vài dạng dùng sec của góc tới), và trong đồ họa máy tính (việc co giãn trường nhìn trong ma trận chiếu 3D dùng 1/tan(fov/2) = cot(fov/2), với sec xuất hiện trong các công thức liên quan).

Định nghĩa toán học:

sec(x) = 1 / cos(x) = huyền / kề

Các tính chất chính của sec:

  • Miền xác định: sec(x) xác định với mọi số thực x trừ x = (2n+1)π/2 (90°, 270°, 450°, …), nơi cos(x) = 0 và hàm bùng nổ.
  • Tập giá trị: (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Sec không bao giờ nhận giá trị nằm hẳn trong (−1, 1), vì cos bị chặn bởi ±1 và ta lấy 1 chia cho nó.
  • Tính tuần hoàn: sec(x) lặp lại mỗi 2π radian (360°), giống cos.
  • Đối xứng chẵn: sec(−x) = sec(x). Đồ thị đối xứng qua trục y, kế thừa tính chẵn của cos. (Khác với cosec, vốn là lẻ.)
  • Tiệm cận đứng: tại x = π/2 + nπ nơi cos bằng 0. Giữa các tiệm cận đồ thị tạo hình chữ U (hoặc U ngược) với một cực tiểu hoặc cực đại duy nhất có độ lớn 1.
  • Đạo hàm: d/dx sec(x) = sec(x)·tan(x). Luôn xác định nơi sec xác định.

Sec là hàm tự nhiên khi bạn có cạnh huyền và muốn tỷ số trên cạnh kề — bài toán ngược của cos, nơi nếu không bạn sẽ chia cho cos.

Sec nghịch (Arcsec) là gì?

Sec nghịch, viết arcsec(x) hay sec⁻¹(x), nhận giá trị có |x| ≥ 1 và trả về góc có sec bằng giá trị đó. Đây là phép ngược của sec, hạn chế về khoảng chuẩn đơn ánh để nghịch đảo được xác định rõ.

Định nghĩa toán học:

arcsec(x) = arccos(1/x), với |x| ≥ 1

Các tính chất chính của sec nghịch:

  • Miền xác định: arcsec chỉ xác định với |x| ≥ 1. Với |x| < 1 không có góc nào có sec đó.
  • Tập giá trị: đầu ra chuẩn là [0, π/2) ∪ (π/2, π] — góc từ 0° đến 180° loại trừ 90° (nơi sec không xác định). Một số sách dùng khoảng khác; kiểm tra nguồn.
  • Tính đơn điệu: arcsec tăng nghiêm ngặt trên từng nhánh. Khi x tăng từ 1 đến ∞, arcsec(x) tăng từ 0° đến gần 90°; khi x giảm từ −1 đến −∞, arcsec(x) tăng từ 180° đến gần 90°.
  • Giá trị đặc biệt: arcsec(1) = 0 (0°), arcsec(2) = π/3 (60°), arcsec(√2) = π/4 (45°), arcsec(2/√3) = π/6 (30°), arcsec(−1) = π (180°).
  • Đạo hàm: d/dx arcsec(x) = 1 / (|x|·√(x² − 1)). Trị tuyệt đối giữ đạo hàm dương trên cả hai nhánh.

Arcsec là hàm để dùng khi bạn có tỷ số huyền/kề và cần khôi phục góc — ví dụ, tính góc thiên đỉnh của mặt trời từ tỷ số đo được giữa khối lượng không khí nghiêng và khối lượng không khí thẳng đứng.

Các giá trị sec thường gặp

Các giá trị sec quan trọng cho góc thông dụng:

  • sec(0°) = 1 (giá trị dương nhỏ nhất)
  • sec(30°) = 2/√3 ≈ 1,155
  • sec(45°) = √2 ≈ 1,414
  • sec(60°) = 2
  • sec(90°) = không xác định (tiệm cận đứng)
  • sec(120°) = −2
  • sec(135°) = −√2 ≈ −1,414
  • sec(150°) = −2/√3 ≈ −1,155

Câu hỏi thường gặp

Vì sec(x) = 1 / cos(x), và cos(90°) = 0. Chia cho 0 không xác định, nên sec(90°) — và sec(270°), sec(450°), sec((2n+1)π/2) với mọi số nguyên n — không có giá trị. Về hình học, trên đường tròn đơn vị sec(θ) là hoành độ x mà tiếp tuyến tại điểm góc cắt trục x; khi θ = 90° điểm đó là (0, 1), tiếp tuyến nằm ngang, và đường nằm ngang không bao giờ cắt trục x. Tiến tới 90° từ dưới, sec tăng tới +∞: sec(89°) ≈ 57,30, sec(89,9°) ≈ 572,96. Tiến từ trên, nó lao xuống −∞: sec(91°) ≈ −57,30. Đồ thị sec có tiệm cận đứng tại mọi bội lẻ của π/2, chính nơi cos cắt 0. Đây là cùng mô hình với tiệm cận của tang — cả hai hàm chết tại nơi cos chết, vì cả hai đều có cos ở mẫu.

Vì cos bị chặn giữa −1 và +1, và sec là nghịch đảo của nó. Nếu 0 < |cos(x)| ≤ 1, thì |1/cos(x)| ≥ 1. Nên sec(x) luôn có độ lớn tối thiểu 1. Khi cos(x) tiến đến 1 (cực đại), sec(x) tiến tới 1 từ trên; khi cos(x) tiến đến 0 (giới hạn trước khi không xác định), sec(x) lao tới ±∞. Giá trị chính xác sec(x) = 1 chỉ xảy ra tại x = 2nπ (nơi cos = 1), và sec(x) = −1 chỉ tại x = π + 2nπ (nơi cos = −1). Khoảng trống bị chặn bởi 1 này là dấu nhận diện đồ thị sec: mỗi nhánh là chữ U (hoặc U ngược) đầu mút nằm chính xác tại ±1 và hai cánh phóng đến vô cực ở tiệm cận. Cosec có cấu trúc tương tự cùng lý do. Tang và cotang ngược lại quét qua mọi giá trị thực không có khoảng trống đó.

Bắt đầu từ đẳng thức gốc sin²(x) + cos²(x) = 1. Chia mọi số hạng cho cos²(x): tan²(x) + 1 = sec²(x), vì sin²/cos² = tan² và 1/cos² = sec². Đây là một trong ba đẳng thức Pythagoras — hai cái còn lại là sin² + cos² = 1 gốc và đẳng thức cosec 1 + cot² = csc². Đẳng thức 1 + tan² = sec² là động cơ của tích phân bằng phép thế lượng giác. Khi thấy √(x² + 1) trong biểu thức tích phân, thay x = tan(θ) biến nó thành √(tan²(θ) + 1) = √(sec²(θ)) = |sec(θ)|, loại bỏ căn và đưa tích phân về phép tính sec-tan tiêu chuẩn. Cùng đẳng thức đó khiến đạo hàm của arctan ra 1/(1 + x²) — công thức gọn ghẽ lan tỏa khắp lý thuyết xác suất (phân phối Cauchy) và vật lý.

Đạo hàm: d/dx sec(x) = sec(x)·tan(x). Chứng minh: sec(x) = (cos(x))⁻¹, áp dụng quy tắc dây xích: d/dx (cos(x))⁻¹ = −1·(cos(x))⁻² · (−sin(x)) = sin(x)/cos²(x) = (sin(x)/cos(x)) · (1/cos(x)) = tan(x)·sec(x). Hai dấu trừ triệt tiêu, để lại tích dương của sec và tan. Tích phân: ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C, tương đương ln|tan(x/2 + π/4)| + C. Đây là nguyên hàm «hệ số nhân kỳ diệu» kinh điển: nhân tử và mẫu với (sec(x) + tan(x)), khiến tử bằng đạo hàm của mẫu, rồi thay u = sec(x) + tan(x). Kết quả, dù không thể nhìn thấy ngay, là nền tảng của phép chiếu Mercator — tọa độ y trên bản đồ Mercator chính là ∫sec(θ) dθ từ xích đạo đến vĩ độ θ, đó là lý do các nước gần cực trông to bất hợp lý.

(1) Quang học khí quyển và năng lượng mặt trời: khối lượng không khí mà ánh sáng đi qua xấp xỉ sec(θ_thiên đỉnh), với θ là góc của mặt trời so với phương thẳng đứng. Giữa trưa ở xích đạo sec ≈ 1; lúc hoàng hôn sec → ∞, đó là lý do hoàng hôn đỏ — ánh sáng xanh bước sóng ngắn bị tán xạ ra ngoài trên đường dài; (2) Phép chiếu Mercator: hệ số kéo dài trục y tại vĩ độ φ chính là sec(φ), vì thế Greenland trông khổng lồ trên bản đồ thế giới — độ kéo dài tích lũy từ xích đạo tới cực Bắc là ∫₀^(π/2) sec(φ) dφ, phân kỳ (cực ánh xạ tới vô cực); (3) Tích phân giải tích: phép thế x = a·tan(θ) chuyển tích phân √(a² + x²) thành ∫sec(θ) dθ; (4) Trắc địa: khoảng cách nghiêng = ngang × sec(góc nâng), hữu ích khi bạn đo ngang và muốn biết chiều dài thực của cáp hay dầm; (5) Vật lý hạt: «hệ số gamma» tương đối γ = 1/√(1 − v²/c²) có thể viết là sec(rapidity) trong các công thức hyperbolic của thuyết tương đối hẹp.

Vì ảnh của sec là (−∞, −1] ∪ [1, +∞) — đó là toàn bộ giá trị nó nhận. Hỏi «góc nào có sec bằng 0,5?» giống như hỏi «góc nào có cos bằng 2?» — không tồn tại, vì cos = 2 ngoài phạm vi [−1, 1] của cos. Đa số máy tính trả NaN hoặc lỗi cho arcsec với đầu vào trong (−1, 1); số khác trả về giá trị phức qua tiếp tục giải tích của arccos. Với nghịch đảo chính thực, quy tắc nghiêm ngặt: |x| phải ≥ 1. Hai đầu mút arcsec(1) = 0° và arcsec(−1) = 180° tương ứng với các đầu vào duy nhất tại đó sec đạt giá trị nghịch đảo nhỏ nhất (dương) và lớn nhất (âm). Khi |x| tăng, góc tiến đến 90° — nhưng không bao giờ chạm, vì sec có tiệm cận ở đó. Vậy arcsec ánh xạ miền rời rạc [−∞, −1] ∪ [1, ∞] tới ảnh rời rạc [0, π/2) ∪ (π/2, π].

Câu hỏi quan trọng, hay bị nhầm. sec(x) là sec — nghịch đảo của cos, bằng 1/cos(x). cos⁻¹(x) là hàm cos nghịch, cũng viết arccos(x), trả về góc có cos bằng x. Ký hiệu là cái bẫy: khi viết «cos²(x)» nghĩa là (cos(x))², nên «cos⁻¹(x)» có vẻ phải nghĩa là (cos(x))⁻¹ = 1/cos(x) = sec(x). Nhưng theo quy ước cos⁻¹ nghĩa là hàm nghịch, không phải nghịch đảo. Vậy cos⁻¹(0,5) = 60° (góc), còn sec(0,5) = 1/cos(0,5 rad) ≈ 1,139 (tỷ số). Để tránh lẫn lộn, ưu tiên arccos(x) và arcsec(x) cho hàm nghịch, và dành sec(x) và cos⁻¹ cho ngữ cảnh đã rõ nghĩa. Nhiều ngôn ngữ lập trình làm rối thêm — Math.acos của JavaScript là arccos, nhưng số mũ −1 trên nút máy tính có thể nghĩa gì cũng được tùy đời máy.

Vì cos(x) có chu kỳ 2π và sec(x) = 1/cos(x). Lấy nghịch đảo không thay đổi chu kỳ — nếu hàm lặp lại sau mỗi 2π, nghịch đảo của nó cũng vậy (trừ các điểm 0 trở thành tiệm cận). Kiểm chứng: sec(x + 2π) = 1/cos(x + 2π) = 1/cos(x) = sec(x). Cosec cũng vậy, kế thừa chu kỳ 2π của sin. Ngược lại, tang và cotang có chu kỳ ngắn hơn π vì định nghĩa của chúng liên quan tỷ số sin/cos hay cos/sin trở về cùng giá trị (với hai đổi dấu triệt tiêu) sau nửa vòng. Vậy bốn hàm «cha» (sin, cos, sec, csc) đều chu kỳ 2π, hai hàm «tỷ số» (tang, cotang) chu kỳ π. Đây là lý do arcsec và arccsc có khoảng đầu ra rộng hơn arctan và arccot — chúng cần phủ một chu kỳ đầy đủ, không phải nửa.
Máy tính Sec - sec(x) và arcsec(x) — Tính sec(x) và arcsec(x) theo độ hoặc radian. Nghịch đảo của cos, đẳng thức 1+tan²=sec², tích phân mẹo, ứng dụng thực tế
Máy tính Sec - sec(x) và arcsec(x)
Xem thêm
Máy tính toán họcMáY TíNH TOáN HọC32
WuToolsWUTOOLS