Máy tính ma trận

Máy tính ma trận là gì?

Máy tính ma trận là công cụ toán học thực hiện các phép toán khác nhau trên ma trận - các mảng số hình chữ nhật được sắp xếp theo hàng và cột. Ma trận là nền tảng trong đại số tuyến tính và được sử dụng rộng rãi trong vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác.

Máy tính này có thể thực hiện các phép toán ma trận cơ bản bao gồm tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tính trị riêng và vector riêng, cộng trừ nhân ma trận, và phép chuyển vị.

Các phép toán ma trận

Định thức

Định thức là một giá trị vô hướng có thể tính từ các phần tử của ma trận vuông. Nó cung cấp thông tin quan trọng về ma trận, chẳng hạn như ma trận có khả nghịch hay không (định thức khác 0) hoặc ma trận suy biến (định thức bằng 0). Định thức được ký hiệu là det(A) hoặc |A|.

Với ma trận 2×2 [[a,b],[c,d]], định thức là: ad - bc

Ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A⁻¹, là ma trận mà khi nhân với A cho ra ma trận đơn vị. Chỉ có ma trận vuông với định thức khác 0 mới có nghịch đảo. Ma trận nghịch đảo hữu ích để giải hệ phương trình tuyến tính.

Với ma trận A, nếu A × A⁻¹ = I (ma trận đơn vị), thì A⁻¹ là nghịch đảo của A.

Chuyển vị

Chuyển vị của ma trận được tạo bằng cách lật ma trận qua đường chéo chính, biến các hàng thành cột và ngược lại. Chuyển vị của ma trận A được ký hiệu là Aᵀ hoặc A'.

Nếu A = [[1,2],[3,4]], thì Aᵀ = [[1,3],[2,4]]

Trị riêng và vector riêng

Trị riêng là các giá trị vô hướng λ thỏa mãn phương trình Av = λv, trong đó v là vector khác 0 được gọi là vector riêng. Chúng biểu thị mức độ vector riêng bị co giãn khi áp dụng phép biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi ma trận.

Trị riêng và vector riêng rất quan trọng trong nhiều ứng dụng bao gồm phân tích thành phần chính (PCA), cơ học lượng tử, phân tích dao động, và thuật toán PageRank của Google.

Cộng và trừ ma trận

Ma trận có cùng kích thước có thể được cộng hoặc trừ bằng cách thực hiện phép toán theo từng phần tử. Với ma trận A và B cùng kích thước, (A + B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ.

Nhân ma trận

Phép nhân ma trận được thực hiện bằng cách lấy tích vô hướng của các hàng từ ma trận thứ nhất với các cột từ ma trận thứ hai. Để phép nhân A × B hợp lệ, số cột trong A phải bằng số hàng trong B.

Nếu A có kích thước m×n và B có kích thước n×p, thì A × B có kích thước m×p.

Nhân ma trận với số

Nhân ma trận với một số vô hướng (một số đơn) nghĩa là nhân mọi phần tử của ma trận với số đó. Với số vô hướng k và ma trận A, (kA)ᵢⱼ = k × Aᵢⱼ.

Ứng dụng của ma trận

Ma trận có nhiều ứng dụng thực tế:

• Đồ họa máy tính: Các phép biến đổi, xoay và co giãn hình ảnh
• Vật lý: Cơ học lượng tử, thuyết tương đối và cơ học sóng
• Kỹ thuật: Phân tích kết cấu, mạch điện và hệ thống điều khiển
• Kinh tế: Mô hình đầu vào-đầu ra và lý thuyết trò chơi
• Thống kê: Phân tích đa biến và hồi quy
• Học máy: Mạng nơ-ron và biến đổi dữ liệu
• Mật mã học: Các thuật toán mã hóa và giải mã

Mẹo sử dụng máy tính ma trận

• Đảm bảo kích thước ma trận phù hợp với phép toán bạn muốn thực hiện
• Để tính nghịch đảo, ma trận phải là ma trận vuông và có định thức khác 0
• Trị riêng chỉ có thể tính cho ma trận vuông
• Với phép nhân ma trận, hãy kiểm tra số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai
• Sử dụng phép chuyển vị để chuyển vector hàng thành vector cột và ngược lại