Hàm Versine Là Gì?
Hàm versine, ký hiệu là versin(x) hoặc vers(x), là một hàm lượng giác biểu diễn sin bù của một góc. Nó được định nghĩa là phần bù của hàm cosine, đo khoảng cách thẳng đứng từ tâm của đường tròn đơn vị đến điểm mà một đường thẳng từ tâm tại góc x cắt đường tròn.
Hàm versine là một trong những hàm lượng giác ít được biết đến nhưng có ứng dụng quan trọng trong điều hướng, thiên văn học và hình học cầu. Nó đã được sử dụng lịch sử trong các bảng điều hướng trước khi có máy tính và máy tính hiện đại.
Định nghĩa toán học của versine là:
versin(x) = 1 - cos(x)
Các tính chất chính của hàm versine bao gồm:
- Miền giá trị: Hàm versine có miền giá trị [0, 2], đạt giá trị tối thiểu là 0 khi x = 0 và giá trị tối đa là 2 khi x = π.
- Tính tuần hoàn: Giống như cosine, versine có tính tuần hoàn với chu kỳ 2π.
- Tính đối xứng: versin(x) = versin(-x), làm cho nó trở thành hàm chẵn.
- Đạo hàm: Đạo hàm của versin(x) là sin(x).
- Tích phân: Tích phân của versin(x) là x - sin(x) + C.
Hàm versine đặc biệt hữu ích trong lượng giác cầu và điều hướng, nơi nó giúp tính toán khoảng cách và góc trên bề mặt Trái Đất. Nó cũng được sử dụng trong xử lý tín hiệu và trong phân tích các hàm tuần hoàn.
Nghịch Đảo Versine (Aversine) Là Gì?
Hàm nghịch đảo versine, còn được gọi là aversine hoặc arcversine, là hàm nghịch đảo của versine. Nó trả lời câu hỏi: 'Góc nào có versine bằng y?' Hàm nghịch đảo versine được ký hiệu là aversin(y) hoặc arcversin(y).
Định nghĩa toán học của nghịch đảo versine là:
aversin(y) = arccos(1 - y)
Tính chất của hàm nghịch đảo versine:
- Miền xác định: Nghịch đảo versine được định nghĩa cho y trong khoảng [0, 2].
- Miền giá trị: Miền giá trị đầu ra là [0, π].
- Tính đơn điệu: aversin(y) tăng nghiêm ngặt trên miền xác định của nó.
- Giá trị đặc biệt: aversin(0) = 0, aversin(1) = π/2, aversin(2) = π.
Hàm nghịch đảo versine đặc biệt hữu ích trong điều hướng và trắc địa, nơi nó được sử dụng để tính góc từ các giá trị versine thu được từ phép đo hoặc tính toán.
Các Giá Trị Versine Thông Dụng
Dưới đây là một số giá trị versine quan trọng cho các góc thông dụng:
- versin(0°) = 0
- versin(30°) = 1 - √3/2 ≈ 0.134
- versin(45°) = 1 - √2/2 ≈ 0.293
- versin(60°) = 1 - 1/2 = 0.5
- versin(90°) = 1 - 0 = 1
- versin(120°) = 1 - (-1/2) = 1.5
- versin(180°) = 1 - (-1) = 2
Câu Hỏi Thường Gặp
Versin của một góc, ký hiệu vers(θ) hoặc versin(θ), được định nghĩa là 1 − cos(θ). Về hình học, trên đường tròn đơn vị, versin biểu diễn khoảng cách ngang nhỏ giữa đầu mút của dây cung và điểm bên phải nhất của đường tròn ứng với cung góc θ. Vì cos(θ) chạy từ −1 đến +1, nên versin chạy từ 0 (tại θ = 0°) đến 2 (tại θ = 180°). Với góc nhỏ, vers(θ) ≈ θ²/2, đó là lý do nó xuất hiện khi xấp xỉ độ phồng của một cung ngắn. Versin luôn không âm, khác với cosin, và đặc tính đó khiến các kỹ sư xưa ưa dùng nó trong bảng tra độ cong cầu và đường sắt.
Trước thời máy tính điện tử, cosin của góc nhỏ rất khó dùng vì nó bằng 1 trừ đi một số bé tí — và phép trừ đó làm mất độ chính xác trong bảng logarit 5 chữ số. Versin tránh được điều đó vì chính nó là số bé tí ấy, nên thuyền trưởng đọc thẳng được với đầy đủ chữ số có nghĩa. Thủy thủ dùng bảng versin cùng bảng haversin cho công thức khoảng cách vòng tròn lớn — quãng đường ngắn nhất giữa hai điểm trên Trái Đất. Các nhà thiên văn dùng nó để đổi giữa xích kinh/xích vĩ và khoảng cách thiên đỉnh. Versin chỉ thực sự lỗi thời khi máy tính bỏ túi xuất hiện vào thập niên 1970, nhưng vẫn còn trong sách hàng hải và trắc địa cổ.
Haversin chính xác bằng một nửa versin: hav(θ) = vers(θ)/2 = (1 − cos(θ))/2 = sin²(θ/2). Đẳng thức nửa góc sin²(θ/2) = (1 − cos(θ))/2 khiến haversin đặc biệt hữu ích: luôn nằm giữa 0 và 1, không tràn số và không mất chính xác ở gần 0° hay 180°. Khoảng cách vòng tròn lớn giữa hai điểm vĩ độ–kinh độ dùng haversin của góc trung tâm, không phải versin, vì công thức haversin ổn định số học cho cả điểm đối cực lẫn điểm rất gần nhau. Trong quá khứ thuyền trưởng cầm bảng versin chỉ cần chia đôi giá trị để có haversin, hoặc tra bảng haversin riêng in song song.
Versin nghịch đảo, arcvers(y) hay vers⁻¹(y), trả về góc θ khi biết vers(θ) = y. Vì vers(θ) = 1 − cos(θ), chỉ cần biến đổi: cos(θ) = 1 − y, suy ra θ = arccos(1 − y). Đó là cách chuẩn để tính versin nghịch đảo trên máy tính hiện đại. Hàm này xác định với y ∈ [0, 2] và trả về θ ∈ [0°, 180°] (hay [0, π] radian). Trong thực tế, versin nghịch đảo xuất hiện khi đã biết độ phồng (sagitta) của một cung và cần suy ra góc trung tâm — phổ biến trong kỹ thuật đường bộ và đường sắt nơi người ta đo dây cung và độ phồng nhưng phải suy ngược ra bán kính và góc.
Coversin, viết cvs(θ) hay coversin(θ), là versin của góc phụ: cvs(θ) = vers(90° − θ) = 1 − sin(θ). Tương tự, vers(θ) = 1 − cos(θ) dùng cosin trong khi coversin dùng sin. Cả hai đều không âm khi đối số thuộc [0°, 180°] và đều chạy từ 0 đến 2. Coversin ít gặp hơn versin nhưng cùng thuộc thời kỳ bảng tra hàng hải và các đẳng thức lượng giác cầu. Còn có havercosin hav(180° − θ) và hacoversin, tất cả được định nghĩa để né phép trừ 1 trừ số bé. Kỹ thuật hiện đại hiếm khi dùng chúng trừ trong các công thức kế thừa.
Trong thiết kế đường cong ngang cho đường bộ, đường sắt và ống dẫn, versin đo độ lệch của trung điểm dây cung so với chính đường cong — gọi là sagitta hay đường cao giữa. Nếu R là bán kính cong và 2θ là góc dây cung chắn, thì sagitta s = R × vers(θ). Trắc địa viên xưa đi dọc dây cung với sợi dây và đo độ lệch vuông góc để tìm bán kính mà không cần dụng cụ chuyên dụng: R ≈ dây² / (8 × sagitta) cho góc nhỏ. Cũng đẳng thức này được dùng trong quang học cho sagitta gương cầu, trong gia công làm dưỡng cung tròn, và trong bắn cung để tính chiều cao chân cung.
Từ cos(θ) = 1 − θ²/2! + θ⁴/4! − θ⁶/6! + ..., lấy 1 trừ đi ta được chuỗi Taylor: vers(θ) = θ²/2! − θ⁴/4! + θ⁶/6! − θ⁸/8! + ..., với θ tính bằng radian. Khi θ nhỏ, vers(θ) ≈ θ²/2 với sai số θ⁴/24 ≈ 4 × 10⁻⁵ tại θ = 0,1 rad (khoảng 5,7°). Xấp xỉ bậc hai này là cơ sở công thức sagitta nhỏ và mô hình parabol của cung tròn. Để có độ chính xác cao hơn mà không phải cộng nhiều số hạng, máy tính thường tính cos(θ) bằng rút gọn đối số rồi trừ đi 1 — chịu sai số triệt tiêu — hoặc dùng thuật toán chuyên trả về 1 − cos(θ) không qua phép trừ đó.
Tuy ngày nay versin hiếm khi được gọi tên, hàm 1 − cos(θ) xuất hiện tự nhiên ở bất kỳ ngữ cảnh nào liên quan tới năng lượng hay bình phương khoảng cách. Cửa sổ Hann trong DSP, w(n) = (1 − cos(2π n / N))/2, đúng là một haversin có hệ số — một nửa versin — và thống trị phân tích khung trong âm thanh và tiền xử lý FFT. Trong cơ học, năng lượng của con lắc tại góc θ so với phương thẳng đứng là mgL × vers(θ), đó là lý do con lắc góc nhỏ dao động bậc hai. Trong định dạng xung cosin nâng cho truyền thông số, phổ chứa 1 + cos(πf/B) — lại là họ hàng versin. Vậy dù kỹ sư không còn nói "versin", đẳng thức 1 − cos vẫn ở khắp nơi nơi dao động gặp năng lượng.
Tính toán
Toán học
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cả
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS