Tính toán
Toán học
Kỹ thuậtMáy tính đạo hàm & tích phân
Tính đạo hàm và tích phân ký hiệu kèm các bước. Quy tắc lũy thừa, quy tắc dây xích, tích phân từng phần, +C và Định lý cơ bản của Giải tích được giải thích.
Có góp ý? Báo lỗi, đề xuất tính năng, hoặc chia sẻ suy nghĩ — chúng tôi đọc tất cảMáy tính đạo hàm & tích phân là gì?
Máy tính đạo hàm và tích phân là công cụ toán học ký hiệu tính đạo hàm (tốc độ thay đổi tức thời) và nguyên hàm hoặc tích phân (diện tích dưới đường cong) của các hàm số. Khác với máy tính số đơn thuần chỉ trả về một con số, công cụ ký hiệu trả về câu trả lời đại số chính xác — chẳng hạn đạo hàm của x³ là 3x², không phải số thập phân tại một điểm cụ thể.
Máy tính này xử lý đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và các tổ hợp tùy ý của chúng. Nó được thiết kế cho học sinh học giải tích một biến, kỹ sư cần kiểm tra phép tính tay và bất cứ ai cần đạo hàm hay tích phân nhanh mà không cần mở Wolfram Mathematica hay SymPy. Hai phép toán — đạo hàm và tích phân — là nghịch đảo của nhau, ý tưởng trung tâm của Định lý cơ bản của Giải tích đã biến đổi toán học cuối thế kỷ 17.
Đạo hàm
Định nghĩa
Đạo hàm của hàm f(x) là tốc độ thay đổi tức thời của f theo x. Về mặt hình học, đó là độ dốc của tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm (x, f(x)). Định nghĩa nghiêm ngặt là giới hạn của độ dốc cát tuyến khi hai điểm cuối lại gần nhau:
f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) − f(x)) / h
Các quy tắc đạo hàm thường gặp
- Quy tắc lũy thừa: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Quy tắc tích: d/dx(f·g) = f'·g + f·g'
- Quy tắc thương: d/dx(f/g) = (f'·g − f·g') / g²
- Quy tắc dây xích: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)
Đạo hàm lượng giác
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec² x
Đạo hàm hàm mũ và logarit
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
Tích phân
Định nghĩa
Tích phân của f(x) biểu diễn diện tích có dấu dưới đường cong y = f(x). Tích phân bất định (nguyên hàm) là họ các hàm có đạo hàm là f(x); tích phân xác định tính một diện tích cụ thể giữa hai cận:
∫f(x) dx = F(x) + C, trong đó F'(x) = f(x)
Các quy tắc tích phân thường gặp
- Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- Quy tắc tổng: ∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx
- Hằng số nhân: ∫k·f dx = k·∫f dx
Tích phân lượng giác
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec² x dx = tan x + C
Tích phân hàm mũ và logarit
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫(1/x) dx = ln|x| + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C
Ứng dụng của đạo hàm và tích phân
Đạo hàm và tích phân xuất hiện trong mọi ngành định lượng:
- Vật lý: vận tốc là đạo hàm của vị trí, gia tốc là đạo hàm của vận tốc; quãng đường là tích phân của vận tốc
- Kinh tế: chi phí và doanh thu biên là đạo hàm; tổng chi phí là tích phân của chi phí biên
- Kỹ thuật: bài toán tối ưu đặt đạo hàm bằng 0; phân tích ứng suất tích phân hàm tải; xử lý tín hiệu dùng cả hai
- Sinh học: tốc độ tăng trưởng dân số và mô hình nồng độ thuốc là phương trình vi phân
- Đồ họa máy tính: đường cong Bézier và B-spline được xác định bằng đạo hàm; hoạt hình dựa vào vật lý tích phân lực theo thời gian
- Máy học: gradient descent — thuật toán đằng sau mọi mạng nơ-ron — hoạt động bằng cách tính đạo hàm của hàm tổn thất
- Thống kê: hàm mật độ xác suất là đạo hàm của hàm phân phối tích lũy; giá trị kỳ vọng là tích phân
Hướng dẫn cú pháp hàm số
Dùng cú pháp sau để nhập hàm:
- Phép toán cơ bản: +, −, *, /, ^ (lũy thừa)
- Hàm số: sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), log(x), sqrt(x), abs(x)
- Hằng số: e (số Euler), pi
- Dùng ngoặc để gom phép toán: (x+1)^2
- Dùng phép nhân tường minh: viết 2*x, không phải 2x
Mẹo dùng máy tính
- Luôn dùng ký hiệu nhân tường minh (viết 2*x, không phải 2x)
- Dùng ngoặc để làm rõ thứ tự phép toán
- Với hàm lượng giác, đối số tính bằng radian
- Kiểm tra kết quả bằng cách lấy đạo hàm tích phân (phải ra hàm gốc)
- Nhớ rằng tích phân bất định bao gồm hằng số tùy ý C
Câu hỏi thường gặp
Nó nói hai điều, cả hai đều bất ngờ. Thứ nhất (phần đạo hàm): nếu bạn định nghĩa F(x) là diện tích dưới đồ thị của f từ một điểm cố định a tới x, thì F khả vi và F'(x) = f(x). Tích lũy diện tích chính là phép nghịch đảo của việc lấy độ dốc tức thời. Thứ hai (phần tính giá trị): để tính tích phân xác định ∫ᵃᵇ f(x) dx — diện tích thực — bạn tìm bất kỳ nguyên hàm F nào của f rồi tính F(b) − F(a). Bạn không bao giờ phải đánh giá định nghĩa giới hạn; chỉ cần tra một nguyên hàm trong bảng. Định lý duy nhất này, được Newton (1666) và Leibniz (1675) khám phá độc lập, đã biến giải tích từ điều kỳ thú thành động cơ của vật lý. Trước đó, tính diện tích dưới một parabol là kết quả mức luận văn đại học bằng phương pháp vét cạn; sau đó, mọi học sinh trung học có thể làm trong hai dòng. Định lý này cũng giải thích vì sao nhà vật lý thoải mái viết «công = ∫ F·dx»: họ biết tích phân lực theo vị trí cũng là phép ngược của đạo hàm, kết nối trực tiếp với thế năng.
Áp dụng định nghĩa giới hạn: f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) − f(x))/h. Với f(x) = x², tử số là (x+h)² − x² = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h². Chia cho h: 2x + h. Bây giờ lấy giới hạn khi h tiến đến 0: số hạng chứa h biến mất, còn lại 2x. Vậy f'(x) = 2x. Về hình học, điều đó khớp: tại x = 0 đường cong nằm ngang (độ dốc 0 = 2·0), tại x = 1 độ dốc là 2 (tiếp tuyến tăng một đơn vị mỗi nửa đơn vị ngang), tại x = −3 độ dốc là −6 (dốc xuống mạnh). Quy tắc lũy thừa d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ tổng quát chính lập luận đó: với x³ bạn được 3x² vì khai triển bậc ba có số hạng dẫn 3x²h tồn tại; với x⁴ bạn được 4x³; vân vân. Mô hình này hoạt động với mọi số mũ thực — phân số, âm, vô tỷ — dù chứng minh cho số mũ không nguyên cần quy tắc dây xích và đạo hàm logarit. Vì vậy quy tắc lũy thừa là điều đầu tiên mọi sinh viên giải tích thuộc lòng: nó xử lý đa thức và phần lớn biểu thức đại số ngay lập tức.
Dùng quy tắc dây xích bất cứ khi nào hàm của bạn là hợp của hai hàm — một hàm "ngoài" tác động lên một hàm "trong". Ví dụ sin(x²) là sin của x bình phương; cos(3x + 1) là cos của một biểu thức tuyến tính; e^(−x²) là exp của −x². Quy tắc nói: lấy đạo hàm của hàm ngoài tại hàm trong, rồi nhân với đạo hàm của hàm trong. Vậy d/dx[sin(x²)] = cos(x²) · 2x. Với e^(−x²), hàm ngoài là exp (đạo hàm cũng là exp), hàm trong là −x² (đạo hàm −2x), cho −2x · e^(−x²). Nhận diện hợp bằng cách hỏi "nếu x là biến duy nhất u thì tôi sẽ làm gì?" — rồi áp dụng câu trả lời cho u = g(x) và nhân với g'(x). Quy tắc dây xích là quy tắc dùng nhiều nhất trong giải tích vì hầu hết mọi hàm thú vị đều là hợp: ln(sin x), (3x+5)^7, √(x²+1), v.v. Đó cũng là điều khiến mạng nơ-ron huấn luyện được — lan truyền ngược chỉ là quy tắc dây xích áp dụng lặp lại qua các lớp.
Vì hai hàm khác nhau ở một hằng số có cùng đạo hàm. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x), thì F(x) + 7, F(x) + π, hay F(x) − 1000 cũng vậy — tất cả đều đạo hàm về f(x), vì đạo hàm của hằng số bằng 0. Vì thế khi bạn tính ∫f(x) dx, đáp số không phải một hàm duy nhất mà là cả họ hàm, mỗi hàm dịch lên xuống so với các hàm khác. Ta viết "+ C" để công nhận rằng có thể là bất kỳ hằng số nào ở đó. Đây không phải vụ vặt — nó quan trọng trong vật lý. Nếu bạn tích phân gia tốc để tìm vận tốc, +C là vận tốc ban đầu, không thể khôi phục chỉ từ gia tốc. Nếu bạn tích phân vận tốc để tìm vị trí, +C là vị trí ban đầu. Trong tích phân xác định ∫ᵃᵇ f(x) dx, +C triệt tiêu vì bạn tính F(b) + C − (F(a) + C), chỉ còn F(b) − F(a). Vậy tích phân xác định không cần +C, nhưng tích phân bất định luôn cần. Quên +C trong bài kiểm tra mất một điểm; quên điều kiện ban đầu trong bài vật lý mất luôn đáp án.
Tích phân ký hiệu cho ra công thức chính xác: ∫x² dx = x³/3 + C, ∫sin(x) dx = −cos(x) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C. Đáp án là biểu thức đại số bạn có thể thao tác tiếp. Máy tính này làm tích phân ký hiệu. Tích phân số cho ra một con số xấp xỉ tích phân xác định: ∫₀¹ e^(−x²) dx ≈ 0,7468. Nó không cho biết nguyên hàm trông như thế nào, nhưng nó cho diện tích. Hầu hết tích phân trong thực tế được tính bằng số bằng các phương pháp như quy tắc Simpson, quy tắc hình thang hoặc tích phân Gauss — vì các hàm dưới dấu tích phân trong thực tế hiếm khi có nguyên hàm dạng đóng đẹp đẽ. scipy.integrate.quad của SciPy, integral() của MATLAB và thư viện chuẩn Python đều dùng các sơ đồ số tinh vi. Chọn ký hiệu khi bạn cần công thức (đạo hàm tiếp, giải phương trình vi phân đại số, đơn giản hóa); chọn số khi bạn chỉ cần giá trị xác định với độ chính xác nhất định và hàm có thể không có nguyên hàm sơ cấp.
Đây là hai nghịch đảo của các quy tắc đạo hàm — phép thế đảo quy tắc dây xích, tích phân từng phần đảo quy tắc tích. Phép thế (u-substitution): khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó cùng có mặt trong biểu thức, đặt u bằng hàm bên trong và thay dx bằng du/g'(x). Ví dụ: ∫ 2x·cos(x²) dx — đặt u = x², du = 2x dx, tích phân trở thành ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C. Tích phân từng phần: khi biểu thức là một tích, ∫u dv = uv − ∫v du. Chọn u sao cho u' đơn giản hơn u, và dv sao cho v dễ tìm. Ví dụ: ∫x·eˣ dx — đặt u = x (vậy du = dx) và dv = eˣ dx (vậy v = eˣ), cho x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C. Câu thần chú LIATE (Logarit, Lượng giác ngược, Đại số, Lượng giác, Exponential) giúp chọn u — thử loại xuất hiện sớm hơn trong danh sách. Hai mẹo này cộng với phân thức từng phần xử lý phần lớn các tích phân bạn gặp trong một khóa giải tích.
Vì họ các hàm sơ cấp — đa thức, hàm mũ, logarit, lượng giác và nghịch đảo, kết hợp bằng cộng, nhân, chia và hợp — đóng kín với đạo hàm nhưng KHÔNG đóng kín với tích phân. Phản ví dụ kinh điển là ∫e^(−x²) dx, tích phân cho phân phối chuẩn. Mặc dù biểu thức trông giống một hợp đơn giản của exp và một bậc hai, không tồn tại tổ hợp hữu hạn nào của hàm sơ cấp mà đạo hàm là e^(−x²). Joseph Liouville đã chứng minh điều này năm 1835: ông chỉ ra rằng nếu nguyên hàm như vậy tồn tại, nó phải có dạng đại số cụ thể, rồi suy ra mâu thuẫn. Số phận tương tự đến với ∫(sin x)/x dx, ∫√(1 + x³) dx, ∫1/ln(x) dx và nhiều hàm khác. Các tích phân này có nguyên hàm — chúng tồn tại như hàm — chỉ là không thể viết bằng bộ công cụ sơ cấp. Các nhà toán học đã đặt tên hàm đặc biệt: tích phân của e^(−x²) gọi là hàm sai số erf(x), tích phân của (sin x)/x gọi là Si(x), v.v. Vậy "không tích phân được" không nghĩa là "bất khả thi" — nghĩa là "không có công thức sơ cấp, nên ta đặt tên mới hoặc tính bằng số".
Mọi mô hình học máy hiện đại đều được huấn luyện bằng gradient descent, đó là giải tích lặp lại hàng triệu lần. Bạn có hàm tổn thất L(θ) — một con số duy nhất đo mức độ sai lệch giữa dự đoán của mô hình và dữ liệu huấn luyện, tính theo các tham số θ (có thể là hàng tỷ con số trong một mô hình ngôn ngữ lớn). Bạn muốn tìm θ làm L cực tiểu. Giải tích nói: tại cực tiểu, gradient ∇L bằng 0. Gradient descent dùng quy tắc dây xích để tính ∂L/∂θᵢ cho mọi tham số θᵢ, rồi bước nhỏ theo hướng gradient âm: θ ← θ − α·∇L. Lặp lại hàng nghìn lần. Quy tắc dây xích là then chốt vì L là một hợp sâu: đầu vào đi qua lớp 1, rồi lớp 2, ..., rồi tính tổn thất. Lan truyền ngược — Linnainmaa phát minh (1970), Rumelhart, Hinton và Williams phổ biến lại (1986) — là quy tắc dây xích áp dụng ngược qua các lớp, tính hiệu quả tất cả đạo hàm riêng trong một lượt. Không có đạo hàm ký hiệu (hoặc anh em hiện đại là đạo hàm tự động trong PyTorch và TensorFlow), mạng nơ-ron sẽ không huấn luyện được. Vậy khi ChatGPT sinh ra một câu, bên dưới chính là giải tích đang gánh việc nặng.
MáY TíNH TOáN HọC32
WUTOOLS