Máy tính đạo hàm & tích phân

Máy tính đạo hàm & tích phân là gì?

Máy tính đạo hàm và tích phân là công cụ toán học ký hiệu tính toán đạo hàm (tốc độ thay đổi) và tích phân (diện tích dưới đồ thị) của các hàm số. Khác với máy tính số, nó cung cấp lời giải ký hiệu chính xác và có thể hiển thị các bước giải chi tiết.

Máy tính này xử lý nhiều loại hàm số bao gồm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ và logarit, cùng các tổ hợp của chúng. Đây là công cụ thiết yếu cho sinh viên học giải tích và các chuyên gia làm việc với mô hình toán học.

Đạo hàm

Định nghĩa

Đạo hàm của hàm số f(x) biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời của hàm số theo biến của nó. Được định nghĩa là:

f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x)) / h

Các quy tắc đạo hàm cơ bản

• Quy tắc lũy thừa: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
• Quy tắc tích: d/dx(f·g) = f'·g + f·g'
• Quy tắc thương: d/dx(f/g) = (f'·g - f·g') / g²
• Quy tắc chuỗi: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)

Đạo hàm lượng giác

• d/dx(sin x) = cos x
• d/dx(cos x) = -sin x
• d/dx(tan x) = sec² x

Đạo hàm mũ & logarit

• d/dx(eˣ) = eˣ
• d/dx(ln x) = 1/x
• d/dx(aˣ) = aˣ·ln a

Tích phân

Định nghĩa

Tích phân của hàm số f(x) biểu diễn diện tích dưới đồ thị từ điểm đầu đến điểm cuối. Tích phân bất định (nguyên hàm) là hàm số có đạo hàm là f(x):

∫f(x)dx = F(x) + C, với F'(x) = f(x)

Các quy tắc tích phân cơ bản

• Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
• Quy tắc tổng: ∫(f + g)dx = ∫f dx + ∫g dx
• Nhân với hằng số: ∫k·f dx = k·∫f dx

Tích phân lượng giác

• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫sec² x dx = tan x + C

Tích phân mũ & logarit

• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C

Ứng dụng của đạo hàm và tích phân

Đạo hàm và tích phân có vô số ứng dụng thực tế:

• Vật lý: Vận tốc và gia tốc (đạo hàm), độ dịch chuyển (tích phân)
• Kinh tế: Chi phí biên và doanh thu biên (đạo hàm), tổng chi phí (tích phân)
• Kỹ thuật: Bài toán tối ưu, phân tích ứng suất, xử lý tín hiệu
• Sinh học: Tốc độ tăng trưởng dân số, mô hình nồng độ thuốc
• Đồ họa máy tính: Nội suy đường cong và hoạt hình
• Học máy: Tối ưu hóa gradient descent
• Thống kê: Hàm mật độ xác suất và phân phối tích lũy

Hướng dẫn cú pháp hàm số

Sử dụng cú pháp sau để nhập hàm số:

• Phép toán cơ bản: +, -, *, /, ^ (lũy thừa)
• Hàm: sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), log(x), sqrt(x), abs(x)
• Hằng số: e (số Euler), pi
• Dùng ngoặc đơn để nhóm phép toán: (x+1)^2
• Dùng phép nhân tường minh: viết 2*x, không phải 2x

Mẹo sử dụng máy tính

• Luôn sử dụng ký hiệu nhân tường minh (viết 2*x, không phải 2x)
• Dùng ngoặc đơn để làm rõ thứ tự phép toán
• Với hàm lượng giác, đối số tính theo radian
• Kiểm tra kết quả bằng cách lấy đạo hàm của tích phân (nên được hàm gốc)
• Nhớ rằng tích phân bất định bao gồm hằng số tùy ý C